Уравнение трёх моментов: почему защемление

Неразрезная балка расчленяется на простые балки, шарнирно соединённые над опорами. Неизвестные — опорные моменты. Уравнение для опоры \(n\) выражает одно: смежные торцы не расходятся, то есть угол их взаимного поворота равен нулю,

\[\tau_B^{(n)} + \tau_A^{(n+1)} = 0.\]

Подставив концевые углы по (5.131)–(5.133), получаем трёхчленное уравнение (5.184): в него входят моменты только трёх соседних опор — от этого и название.

После умножения на \(6EI_c\) и введения приведённых длин \(l' = l\,I_c/I\) оно принимает привычный вид (5.184б):

\[M_{n-1} l'_n + 2 M_n (l'_n + l'_{n+1}) + M_{n+1} l'_{n+1} = -6EI_c(\dots)\]

Защемление

Обычно защемлённый конец выводят отдельно. Но посмотрите на уравнение ещё раз: если приведённая длина крайнего пролёта равна нулю, то

\[2 M_1 (0 + l'_2) + M_2 l'_2 = \dots\]

— уравнение остаётся осмысленным и выражает ровно то, что торец не поворачивается. Защемление — это пролёт нулевой длины: балка нулевой длины повернуться не может.

Отдельного вывода для защемлённого конца не нужно. Нужен один и тот же вывод и одно значение \(l' = 0\).

В расчёте это и сделано: защемление задаётся типом опоры и превращается в нулевую приведённую длину, а дальше работает общий код. Проверка сверяет такую схему с прямым решением методом начальных параметров — расхождение \(10^{-8}\).

Как решается система

Не матрицей. Система трёхдиагональная, и справочник решает её так, как это делается вручную, — встречным исключением неизвестных. Цепные коэффициенты считаются сверху вниз (5.189), (5.190) и снизу вверх (5.189′), (5.190′), после чего каждое неизвестное получается отдельно по (5.188):

\[M_n = -\frac{\text{числитель}}{\text{знаменатель}}\]

Это не экономия ради экономии. Попутно выводятся величины, которые матричное решение не даёт вовсе:

фокусные отношения \(k = -1/c\) (5.191) — они говорят, где эпюра \(M\)

в незагруженном пролёте пересекает ось;

числа влияния \(b_{ik}\) (5.192) — как момент на опоре \(i\) отзывается

на единичное воздействие у опоры \(k\);

контрольные равенства (5.193), (5.194), проверяющие сам счёт.

Проверка сверяет числа влияния с обратной матрицей системы и убеждается, что таблица симметрична — как и положено по теореме о взаимности.

Что ещё в этом расчёте

Пункт 5.5.8 даёт к тому же уравнению два приёма, и оба здесь:

решение системы чертежом — метод делителей;
линии влияния неразрезной балки по (5.195)–(5.197): за основную систему

берётся ряд простых балок, к их линиям влияния прибавляются линии влияния опорных моментов.

Схема вводится один раз — все три приёма работают с ней.

Считать: неразрезная балка.

Про расчёт Неразрезная балка — уравнение трёх моментов.