В справочнике, рядом с уравнением трёх моментов, стоит рис. 5.58 — способ решить ту же систему построением. Компьютеров не было, а неразрезные балки считать было надо.
Приём стоит знать не из уважения к старине. Он показывает, что цепные коэффициенты — не расчётная уловка, а геометрия задачи.
Основа построения — точка \(G\) между двумя вертикалями. Прямая, проведённая через точку одной вертикали и через делитель, отсекает на соседней вертикали отрезок, отличающийся множителем
где \(t\) — доля расстояния между вертикалями. Иначе говоря, делитель есть геометрическая форма цепного коэффициента (5.189). Всё встречное исключение неизвестных выполняется чертёжными средствами.
На вертикалях в порядке непрерывного зигзага откладываются коэффициенты уравнений: \(B_1C_1 = a_{11}\), \(C_1D_1 = a_{12}\), \(A_2B_2 = a_{21}\), \(B_2C_2 = a_{22}\) и так далее, причём \(D_n\) и \(A_{n+1}\) лежат на одной горизонтали. Отсюда \(B_{n+1}\) оказывается на уровне \(C_n\) — эта горизонталь и служит опорной.
Делитель есть точка её пересечения с прямой \(B'_n A_{n+1}\), а прямая \(D_n G\) даёт следующую точку \(B'\). Идя обратно от \(C_N\), получают точки \(C'\). Утолщённые отрезки \(B'_n C'_n\) равны знаменателям дробей (5.188).
На тех же вертикалях откладываются свободные члены \(M_n N_n = a_{np}\), проводятся диагонали \(N_n M_{n+1}\), на них проектируются те же делители, и через делители проводятся ломаные \(M_1 M'_2 M'_3\ldots\) и \(N_N N'_{N-1}\ldots\). Утолщённые отрезки между ломаными равны числителям.
Ответ — отношение отрезков:
Красивое следствие. Делитель стоит на доле \(k/(k+1)\) расстояния между вертикалями, а действительный моментный фокус — на доле \(1/(k+1)\) пролёта. Значит, если расстояния между вертикалями взять равными пролётам, перекрёстные фокусы \(G\) совпадают с зеркальными отображениями действительных фокусов \(F\).
Расчёт отмечает эти точки на эпюре \(M\): в незагруженных пролётах эпюра проходит ровно через них. Это готовая проверка вашего собственного решения — без всякой программы.
Программа строит чертёж точно и «снимает» с него длины отрезков. Графическое решение сходится с аналитическим до \(10^{-16}\) — то есть до машинного нуля: обе дороги ведут в одну точку, и это лучшая из возможных проверок обеих.
При построении от руки точность определяется размером чертежа. Справочник указывает, что листа писчей бумаги достаточно.
Считать: неразрезная балка — эпюры знаменателей и числителей строятся вместе с обычным решением.
Про расчёт Неразрезная балка — уравнение трёх моментов.