У равнопролётной неразрезной балки на жёстких опорах есть свойство, которое сильно упрощает счёт: опорные моменты убывают вдоль балки по геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии — не подгонка, а корень квадратного уравнения.
Всё строится на эпюре гибкости \(1/EI\). Для пролёта постоянного сечения её площадь \(F_ф\), момент инерции \(I_ф\) и радиус инерции
Отсюда положения фокусов:
Представим балку бесконечной. Тогда все пролёты одинаковы, и фокусное отношение \(k\) должно повторяться от пролёта к пролёту:
Число \(2+\sqrt3\) — это неподвижная точка отображения, задаваемого цепным коэффициентом. Ничего мистического: балка «забывает» свои концы, и отношение выходит на предел.
Метод бесконечной основной системы: считать длинную балку как бесконечную, а концы учитывать поправкой. Проверка сверяет его с точным расчётом — расхождение \(8 \cdot 10^{-12}\).
И готовые проверки для расчёта от руки:
сверяет это с точностью \(8\cdot10^{-4}\);
пролётов совпадение уже до \(3\cdot10^{-4}\).
Формулы (5.153) справочника выведены для балки с шарнирными концами. При защемлённых концах они неприменимы — и расчёт об этом прямо говорит, помечая их, а не выдавая молча неверное число. Точный расчёт при этом продолжает работать и остаётся равновесным: проверка это подтверждает.
Это общее правило раздела: у каждой формулы есть область применимости, и программа не притворяется, будто её нет.
Считать: равнопролётные балки · общий случай — уравнение трёх моментов.
Про расчёт Равнопролётные неразрезные балки.