Формула (11.60) для распора, передаваемого вантами на контурное кольцо, выглядит нелинейной и неприятной:
Здесь \(R = R(\varphi)\) — полярное уравнение оси кольца, штрих — производная по полярному углу. Кажется, что подбирать форму под заданный распор придётся итерациями.
Подставим \(u = 1/R\). Тогда
и весь числитель сворачивается:
Это тождество Бине — то самое, которым в небесной механике из закона тяготения получают конические сечения. Подставив его в (11.60), получаем
Уравнение линейное и с постоянными коэффициентами.
Прямая задача — по форме найти распор — считается подстановкой. Обратная — по заданному распору найти форму, при которой кольцо работает без изгиба, — раскладывается в ряд Фурье. Если
то почленно
Итераций нет вовсе: одно преобразование Фурье и обратная подстановка \(R = 1/u\).
При \(n = 1\) знаменатель \(C(1 - n^2)\) равен нулю, и коэффициент \(u_1\) не существует ни при каком \(h_1 \ne 0\). Это не изъян выкладки, а физика: первая гармоника распора — это его равнодействующая. Кольцо, замкнутое само на себя, уравновесить ненулевую равнодействующую не может ничем.
Форма кольца, свободного от изгиба, существует тогда и только тогда, когда приложенный к нему распор самоуравновешен.
В программе это проверяется до решения: если первая гармоника заданного распора отлична от нуля, расчёт останавливается и сообщает, чему она равна, — а не выдаёт молча испорченную форму.
Тождество Бине в программе не принимается на веру. Обе части считаются независимо — левая по формуле, правая численным дифференцированием \(u(\varphi)\), — и сходятся с точностью до \(10^{-8}\). Отдельно собираются заново, без обращения к (11.57), (11.58) и (11.60), оба уравнения равновесия криволинейного стержня: невязка нормального равновесия \(10^{-16}\), касательного — \(10^{-10}\).
Смотрите сам расчёт: контурное кольцо.
Про расчёт Контурное кольцо.