Метод начальных параметров: четыре числа вместо четырёх интегрирований

Прогиб балки — решение дифференциального уравнения четвёртого порядка

\[EI\,\frac{d^4v}{dx^4} = q(x).\]

Четыре интегрирования дают четыре постоянные. Обычный путь — разбить балку на участки, проинтегрировать на каждом и сшить решения по непрерывности. У балки с пятью нагрузками участков шесть, постоянных двадцать четыре, и уравнений столько же.

Приём, который убирает эту работу

Метод начальных параметров говорит: постоянных всё равно четыре, и это величины на левом торце —

\[v_0,\qquad \varphi_0,\qquad M_0,\qquad Q_0.\]

Каждая нагрузка добавляет к решению своё слагаемое, включающееся только правее точки её приложения. Уравнения (5.119)–(5.122) справочника выглядят так:

\[M(x) = M_0 + Q_0 x - \sum P_i\,(x-a_i) - \sum \frac{q_j (x-c_j)^2}{2} + \dots\]

\[EI\,v(x) = EI\,v_0 + EI\,\varphi_0 x + \frac{M_0 x^2}{2} + \frac{Q_0 x^3}{6} - \dots\]

Сшивать нечего: непрерывность встроена в саму запись. Скобка \((x-a_i)\) работает как выключатель — левее точки приложения слагаемого просто нет.

Откуда берутся уравнения

Четыре параметра находятся из условий на опорах: под шарнирной опорой \(v = 0\), в защемлении \(v = 0\) и \(\varphi = 0\), в шарнире Гербера \(M = 0\). Каждая промежуточная опора даёт ещё одно уравнение и ещё одну неизвестную реакцию — система остаётся линейной и решается один раз.

Осадка опоры — это не особый случай, а правая часть: вместо \(v = 0\) пишется \(v = \Delta\). Поэтому балка с заданными осадками считается тем же кодом, что и балка на жёстких опорах.

Переменное сечение

Эпюры \(Q\) и \(M\) от жёсткости не зависят вовсе — они определяются равновесием. А вот \(\varphi\) и \(v\) зависят, и для ступенчатой или плавно меняющейся жёсткости справочник даёт (5.124), (5.126) с функциями влияния и комоментами (5.127).

Это видно прямо в расчёте: переключите сечение с постоянного на переменное — эпюры \(Q\) и \(M\) не дрогнут, а прогибы изменятся.

Как это проверено

Программа сверена с замкнутыми решениями сопромата, которые выписаны в проверке отдельно и независимо:

задача	ответ	сходится
простая балка под \(q\)	\(M = ql^2/8\), \(v = 5ql^4/384EI\)	точно
консоль с силой на конце	\(v = Pl^3/3EI\)	точно
защемлённая балка под \(q\)	\(M_{on} = -ql^2/12\), \(v = ql^4/384EI\)	точно
два равных пролёта	\(M = -ql^2/8\), \(V_{ср} = 1{,}25\,ql\)	точно
одним концом защемлённая	\(M = -ql^2/8\), \(V = 3ql/8\)	точно

Отдельно проверяется равновесие: суммы \(\sum Y\) и \(\sum M\) по семи схемам дают невязку \(10^{-12}\), в шарнире момент равен нулю машинно, заданная осадка выдержана.

А для переменного сечения проверка тоньше: ступенчатая балка с одинаковой жёсткостью на всех ступенях обязана дать в точности то же, что балка постоянного сечения по (5.122). Расхождение — \(2 \cdot 10^{-14}\).

Считать: обыкновенная балка.

Про расчёт Обыкновенная балка — метод начальных параметров.