Жёсткость железобетонного элемента без трещин

Жёсткость железобетонного элемента без трещин — первый расчёт по деформациям в разделе «Трещины и деформации». Он даёт изгибную жёсткость на участке, где в растянутой зоне нет трещин:

\[D = E_{b1} I_{red} \quad (8.143).\]

По ней считают кривизну \(1/r = M/D\) (8.142) и прогибы изгибаемых элементов без трещин по общим правилам строительной механики (п. 8.2.22). Сечения — прямоугольное, тавровое полкой вверх или вниз и двутавровое с арматурой у верхней и нижней граней.

Две жёсткости

Модуль деформации бетона зависит от продолжительности действия нагрузки:

при непродолжительном \(E_{b1} = 0{,}85 E_b\) (8.146);
при продолжительном \(E_{b1} = E_{b\tau} = E_b/(1 + \varphi_{b,cr})\) (8.147), коэффициент ползучести — по таблице 6.12 от класса бетона и влажности воздуха.

Момент инерции — как для сплошного тела, со всей площадью бетона: \(I_{red} = I + I_s\alpha + I'_s\alpha\) (8.144), \(\alpha = E_s/E_{b1}\) (8.145). У двух длительностей разные \(\alpha\), а значит, и разные центры тяжести приведённого сечения — программа показывает оба. Свод разрешает считать \(I_{red}\) без арматуры — это переключатель.

Кривизна

Если заданы усилия, программа сначала проверяет по п. 8.2.23, что участок действительно без трещин: условие (8.116) не выполняется при полной нагрузке. Затем полная кривизна по (8.140):

\[\frac{1}{r} = \left(\frac{1}{r}\right)_1 + \left(\frac{1}{r}\right)_2,\]

первая — от непродолжительного действия кратковременных нагрузок \(M - M_l\), вторая — от продолжительного действия постоянных и длительных \(M_l\). Момент в (8.142) — с учётом момента от продольной силы относительно центра тяжести приведённого сечения своей длительности.

Если трещины образуются, участок считают по п. 8.2.27. Жёсткость без трещин при этом не пропадает зря: с трещинами её «принимают не более жёсткости без трещин».

Пример

Балка 300×600 мм, бетон B25, влажность 55 %, внизу 1256 мм², вверху 226 мм² А500:

	непродолжительное	продолжительное
\(E_{b1}\), МПа	25 500	8 571
\(\alpha\)	7,843	23,333
центр тяжести от низа, мм	289,6	272,2
\(D\), кН·м²	155 922	63 624

У бетонного сечения с начальным модулем \(E_b I = 162\,000\) кН·м²: неупругие деформации и ползучесть снижают жёсткость, арматура частично возвращает. При \(M = 40\) и \(M_l = 30\) кН·м трещин нет (\(M_{crc} = 61{,}75\) кН·м), кривизна \(1/r = 5{,}36 \cdot 10^{-4}\) 1/м, из них на длительную часть приходится почти девять десятых.

Как проверено

Прямоугольник сверен с формулами в конечном виде, тавр и двутавр — с разложением на прямоугольники по теореме Штейнера, совпадение до \(10^{-12}\). При \(E_{b1} = E_b\) центр тяжести и момент инерции совпали с приведённым сечением п. 8.2.12 из расчёта момента образования трещин. Коэффициент ползучести сверен с таблицей 6.12 по всем трём строкам влажности, включая границы 40 и 75 %. Кривизна пересчитана отдельно, с переносом момента от продольной силы.

Изменения № 1 и № 2 пп. 8.2.23–8.2.26 не затрагивают, как и таблицы 6.11, 6.12 и п. 6.2.12, откуда берутся модули.

Про расчёт Жёсткость железобетонного элемента без трещин.