Самый общий расчёт прочности нормального сечения в своде — и самый большой на сайте: деформационная модель, пп. 8.1.20–8.1.30.
Все прежние расчёты раздела 8 говорили о «сжатой зоне», «граничной относительной высоте» и разбирались по случаям: изгиб отдельно, сжатие отдельно, растяжение отдельно. Здесь ничего этого нет.
Есть три вещи: гипотеза плоских сечений, диаграммы состояния материалов и равновесие. Неизвестных тоже три — относительная деформация \(\varepsilon_0\) волокна в начале координат и две кривизны \(1/r_x\), \(1/r_y\). Уравнений столько же: (8.39)–(8.41).
Поэтому сечение может быть любым. Прямоугольник, тавр полкой вверх или вниз, двутавр, круг, кольцо — или свой контур, заданный вершинами. Арматура — координатами стержней, сколько угодно и где угодно.
Пункт 8.1.21 требует «условно разделить нормальное сечение на малые участки»: при изгибе и сжатии в плоскости оси симметрии — только по высоте, при косом — по высоте и ширине. Напряжения в пределах участка принимаются равномерными.
Границы полос программа сажает на характерные уровни сечения — те высоты, где ширина меняется скачком: грани полок у тавра и двутавра. Тогда правило средней точки, которого свод и требует, даёт для таких сечений точную площадь, а не приближённую. Проверено: у прямоугольника, обоих тавров и двутавра сумма площадей участков совпадает с площадью контуров до последнего знака при любом числе полос.
У окружности характерных уровней нет, и полосы идут равномерно. Сама окружность приближается правильным многоугольником из 180 сторон: площадь занижена на 0,02 % — на два порядка меньше погрешности разбивки.
Коэффициенты \(D_{ij}\) собраны из коэффициентов упругости \(\nu\), а те по формулам (8.35) и (8.36) сами зависят от деформаций — то есть от решения. Способа решать такую систему свод не даёт. Здесь идут последовательные приближения: по деформациям считаются \(\nu\), по ним собираются \(D_{ij}\), из системы находятся новые деформации.
Сходимость проверяется по невязке самих уравнений равновесия (8.26)–(8.28), а не по тому, насколько мало изменились неизвестные. Так честнее, и на то есть основание: подстановка (8.29) в (8.47) обращает уравнение (8.41) ровно в (8.28). Неподвижная точка приближений — это и есть равновесие.
Пункт 8.1.23 велит получать \(\nu\) делением напряжения на деформацию и «на модуль упругости бетона \(E_b\) (при двухлинейной диаграмме состояния бетона — на приведённый модуль деформации сжатого бетона \(E_{b,red}\))».
Значит, и в произведении \(E_b\nu_{bi}\) формул (8.42)–(8.47) должен стоять тот же модуль. Иначе произведение перестанет быть секущим модулем \(\sigma/\varepsilon\), и уравнения (8.39)–(8.41) разойдутся с уравнениями равновесия (8.26)–(8.28). Расчёт при двухлинейной диаграмме везде берёт \(E_{b,red}\), при трёхлинейной — \(E_b\). Проверено прямо: \(E\nu\varepsilon = \sigma\) выполняется для каждого участка и каждого стержня с точностью до \(5\cdot10^{-14}\) МПа.
Упругая стадия. При малых усилиях, трёхлинейной диаграмме и учёте растянутого бетона всё сечение работает по закону Гука с одним модулем. Тогда \(\varepsilon_0\) и \(1/r_x\) обязаны совпасть с решением задачи о приведённом сечении из сопротивления материалов — а его модель не знает вовсе. Совпали до шестого знака; остаток — погрешность разбивки.
Сверка с предельными усилиями. Свод даёт два способа считать прочность нормального сечения, и это два совершенно разных расчёта: метод предельных усилий идеализирует эпюру сжатого бетона прямоугольником с ординатой \(R_b\) и делит задачу на случаи; деформационная модель не знает ни случаев, ни сжатой зоны. Общего кода у них нет вовсе. Предельное усилие для обоих ищется одинаково — делением отрезка пополам, пока вывод о прочности не перевернётся.
Изгиб, п. 8.1.8. Предельный момент, кН·м:
| сечение и арматура | предельные усилия | деформационная модель | разница |
|---|---|---|---|
| 300×600, A_s = 500 | 114,7 | 114,2 | −0,4 % |
| 300×600, A_s = 1000 | 217,3 | 215,9 | −0,6 % |
| 300×600, A_s = 1520 | 311,1 | 308,0 | −1,0 % |
| 300×600, A_s = 2500 | 448,2 | 438,2 | −2,2 % |
| 300×600, 1520 и A′_s = 760 | 339,8 | 339,0 | −0,2 % |
| тавр 200/600, полка 600×100 | 339,0 | 337,8 | −0,4 % |
| 400×800, A_s = 3000 | 822,1 | 812,9 | −1,1 % |
Внецентренное сжатие, п. 8.1.14. Предельная сила, кН:
| сечение, арматура, e₀ | предельные усилия | деформационная модель | разница |
|---|---|---|---|
| 300×400, 760+760, e₀ = 30 мм | 1885,8 | 1835,2 | −2,7 % |
| 300×400, 760+760, e₀ = 50 мм | 1687,8 | 1632,7 | −3,3 % |
| 300×400, 760+760, e₀ = 100 мм | 1305,0 | 1256,8 | −3,7 % |
| 300×400, 760+760, e₀ = 200 мм | 857,9 | 831,6 | −3,1 % |
| 300×400, 760+760, e₀ = 400 мм | 417,6 | 413,6 | −1,0 % |
| 300×400, 1520+402, e₀ = 200 мм | 764,5 | 729,8 | −4,5 % |
| 400×600, 1520+1520, e₀ = 150 мм | 2673,9 | 2575,5 | −3,7 % |
Сравнение честное: элемент взят коротким, гибкость меньше 14, и коэффициент влияния прогиба обращается в единицу — в сечении продольного изгиба нет. Случайный эксцентриситет тоже выключен.
Внецентренное растяжение, п. 8.1.19. Предельная сила, кН, сечение 300×400:
| арматура и e₀ | случай | предельные усилия | деформационная модель | разница |
|---|---|---|---|---|
| 760+760, e₀ = 0 | а | 661,2 | 661,2 | 0,0 % |
| 760+760, e₀ = 50 мм | а | 503,8 | 503,8 | 0,0 % |
| 760+760, e₀ = 100 мм | а | 406,9 | 406,6 | −0,1 % |
| 760+760, e₀ = 200 мм | б | нет правила | 299,4 | — |
| 760+760, e₀ = 400 мм | б | нет правила | 193,4 | — |
| 1520+402, e₀ = 50 мм | а | 508,7 | 508,7 | 0,0 % |
| 1520+402, e₀ = 200 мм | б | 486,3 * | 593,7 | — |
| 1520+402, e₀ = 400 мм | б | 382,8 | 383,1 | +0,1 % |
| 1520+402, e₀ = 800 мм | б | 222,1 | 221,6 | −0,2 % |
\* здесь предел свода — не исчерпание прочности, а граница применимости формулы.
Итог по двадцати сопоставимым задачам: среднее расхождение 1,4 %, наибольшее 4,5 %, и деформационная модель выше свода лишь в четырёх случаях из двадцати. Она почти всегда строже — настоящая диаграмма бетона не так щедра, как прямоугольник \(R_b\), а предельная деформация при однозначной эпюре падает по формуле (8.53).
Числового примера расчёта по деформационной модели пособие не даёт — зато даёт свой алгоритм (п. 3.2.64), и устроен он совершенно иначе, чем система свода.
Свод идёт от усилий: собирает жёсткости \(D_{ij}\), решает систему (8.39)–(8.41) относительно \(\varepsilon_0\) и кривизн и сравнивает деформации с предельными. Пособие идёт от деформаций: сразу назначает предельную эпюру — в крайней сжатой точке \(\varepsilon_{b2}\), а если раньше исчерпается арматура, то 0,025 в самом растянутом стержне, — из равновесия продольных сил подбирает нейтральную ось и уже потом считает предельный момент.
Алгоритм пособия написан заново, отдельно от расчёта: общего у них только разбивка сечения и сами диаграммы состояния. Предельный момент, кН·м (сжатие — минус, п. 8.1.22):
| сечение, арматура, N | пособие, п. 3.2.64 | программа, (8.39)–(8.41) | эпюра |
|---|---|---|---|
| 300×600, A_s = 1000, N = 0 | 215,9 | 215,9 | двузначная |
| 300×600, A_s = 1520, N = 0 | 308,0 | 308,0 | двузначная |
| 300×600, A_s = 2500, N = 0 | 438,2 | 438,2 | двузначная |
| 300×600, 1520+760, N = 0 | 339,0 | 339,0 | двузначная |
| тавр 200/600 + 600×100, N = 0 | 337,8 | 337,8 | двузначная |
| 300×400, 760+760, N = −300 | 153,6 | 153,6 | двузначная |
| 300×400, 760+760, N = −800 | 169,2 | 169,2 | двузначная |
| 300×400, 760+760, N = −1500 | 98,6 | 98,6 | двузначная |
| 300×400, 760+760, N = −1900 | 46,4 | 46,4 | однозначная |
| 300×400, 760+760, N = +200 | 76,3 | 76,3 | двузначная |
| 300×400, 1520+402, N = +400 | 150,5 | 150,5 | двузначная |
| 400×800, A_s = 3000, N = −1000 | 766,5 | 766,5 | двузначная |
Расхождение — 0,0000 % во всех двенадцати задачах. Два разных пути к одному предельному состоянию приводят в одну точку.
Совпал и характер эпюры. Пособие определяет его признаком, которого в своде нет вовсе: сравнивают продольную силу с внутренним усилием \(N_c\) при деформациях в крайних точках \(\varepsilon_{b2}\) и нуль. Этот признак дал ровно то же, что решение системы (8.39)–(8.41), — в том числе и единственный случай однозначной эпюры при N = −1900 кН.
Все три программа и так выполняла — теперь это проверено:
Пособие пишет растяжение со знаком «минус» (п. 3.2.61), свод в п. 8.1.22 — ровно наоборот, «минус» у сжатия. Числа от этого не меняются, но при чтении двух документов подряд легко запутаться. Программа следует своду и говорит об этом в отчёте прямым текстом.
Пособие ищет верхний предел момента и молча считает, что всё, что меньше, сечение несёт. Это не всегда так. При большой продольной силе и резко несимметричной арматуре малый момент недостижим не меньше большого: слабому ряду стержней пришлось бы взять больше \(R_s\).
Для сечения 300×400 с арматурой 1520 и 402 мм² при растяжении 400 кН область несомого момента — от 8,0 до 150,5 кН·м. Верхнюю границу пособие даёт точно, о нижней не говорит. Деформационная модель находит обе: ниже восьми она честно сообщает, что равновесия нет. У симметричной арматуры нижней границы не возникает.
Сверка растянутых элементов показала то, что раньше было видно только для симметричной арматуры. Числитель формулы (8.25) обращается в нуль при \(N = R_s A_s - R_{sc}A'_s\), и дальше этого порога высота сжатой зоны выходит отрицательной при любом эксцентриситете и любом сечении. При симметричном армировании порог равен нулю — случай «б» не считается вовсе; при несимметричном расчёт обрывается на середине: для 1520 и 402 мм² это 486,3 кН, а прочности сечения хватает на 593,7.
Расчёт растянутых элементов теперь называет этот порог числом, а не просто сообщает, что высота вышла отрицательной.
Есть ещё одно пособие — «Пособие по расчёту бетонных и железобетонных конструкций на ЭВМ» НИИЖБ им. А. А. Гвоздева и НПКТБ «Оптимизация», Москва, 2013. Оно писалось именно для проверки программ и целиком состоит из тестовых примеров с напечатанными ответами: исходные данные, найденные кривизны и ε₀, наибольшие деформации бетона и арматуры, вывод о прочности.
Сверены все четырнадцать его примеров расчёта нормальных сечений по деформационной модели с ненапрягаемой арматурой — пять разделов: изгиб, косой изгиб, внецентренное сжатие круглого сечения, внецентренное и косое внецентренное растяжение.
| пример | что | 1/r_x | 1/r_y | ε₀ |
|---|---|---|---|---|
| IY.В.2.1 | косой изгиб 340×1195, лёгкий бетон | +4,2 % | +3,2 % | +3,5 % |
| IY.Г.2.1 | круглое Ø400, сжатие | −0,02 % | — | −0,00 % |
| IY.Е.2.1 | растяжение 500×300, 4Ø25 | −0,41 % | — | −0,30 % |
| IY.Е.2.2 | то же, несимметрично | −0,52 % | — | +0,38 % |
| IY.Е.2.3 | то же, малый эксцентриситет | −0,22 % | — | +0,12 % |
| IY.Ж.2.1 | косое растяжение 1000×200 | −0,24 % | +1,35 % | +0,65 % |
| IY.Ж.2.2 | то же, несимметрично | −0,16 % | −0,19 % | +1,09 % |
Среднее расхождение — 1,0 %, наибольшее 4,2 %. Вывод о прочности совпал во всех четырнадцати примерах, включая шесть, где пособие пишет «требования не выполнены».
Пособие написано к редакции СП 63.13330.2012, поэтому в сверке закреплены его исходные величины: арматура А400 тогда имела \(R_s = 350\) МПа (теперь 340), а деформационные параметры диаграмм пособие берёт кратковременные даже при \(\gamma_{b1} = 0{,}9\). Иначе сверялись бы не расчёты, а редакции свода.
Главная находка. В примере IY.Б.2.1 напечатано, что наибольшая относительная деформация бетона равна 0,0026. По их же ε₀ и кривизне крайнее волокно имеет 0,00296, а центр крайней из десяти полос — ровно 0,00261.
То есть пособие печатает деформацию в центре крайнего участка, а не в крайнем волокне. Условие (8.37) свода записано для «наиболее сжатого волокна бетона». На грубой разбивке разница доходит до 15 %, и она идёт не в запас: сечение может пройти проверку, хотя крайнее волокно уже за пределом. Расчёт берёт волокно.
Состояние примера IY.Б.2.1 на их же разбивке из десяти полос даёт N = −1,0 кН вместо нуля и M = 199,5 вместо 200 кН·м; в примере IY.В.2.1 — N = 0,5 кН и моменты 93,9 и 39,7 вместо 95 и 40. Пособие и само пишет «≈ 200 кНм», «≈ 0 кН». Наше решение уравновешено точно: N = 0,000 кН, M = 200,00 кН·м.
В примере IY.Б.2.1 сжатая зона почти целиком лежит на полке диаграммы, и равновесие очень отзывчиво к площади арматуры: изменение \(A_s\) с 1236 до 1250 мм² — на 1,1 % — меняет кривизну на 33 %. А сама площадь «12,36 см²» в пособии округлена. Поэтому там сверялись деформации крайних точек: 0,00300 против их 0,00296, расхождение 1,3 %.
Заодно это проверило и наш решатель: на четырёх площадях арматуры он совпал с решением, выписанным для двухлинейной диаграммы в замкнутом виде, до шестого знака.
В IY.Г.2.1 (круглое Ø400, внецентренное сжатие) напечатанные кривизна и ε₀ — точное состояние равновесия: наша модель при N = 475 кН и M = 151 кН·м даёт ровно их числа (расхождение 0,02 %). Но в условии примера стоит N = 600 кН. Момент 151 против 140 объясняется влиянием прогиба (η ≈ 1,08), продольная сила — нет.
Вывод о прочности при этом совпадает: с моментом, увеличенным на η, 6Ø25 проходят, а 6Ø22 — нет, как и у пособия.
Если заданные усилия сечение не выдерживает, равновесие недостижимо ни при каких деформациях. Условия (8.37) и (8.38) записаны для деформаций «от действия внешней нагрузки» — а их в этом случае попросту не существует.
Расчёт так и говорит: прочность не обеспечена, деформаций нет, показывать вместо них последнее приближение было бы обманом. Признака недостижимости равновесия свод не устанавливает — об этом сказано прямо.
Три вещи, и все три названы в отчёте: число участков разбивки (п. 8.1.21 требует только «малых участков»); способ решения системы (8.39)–(8.41); признак, по которому судить о недостижимости равновесия. Всё это вычислительная сторона, и выдавать её за требования свода расчёт не станет.
Про расчёт Нормальное сечение по деформационной модели.