Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет).
Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.
Графоаналитический метод — балка Гербера Графоаналитический метод — метод фиктивной балки, п. 5.5.1, формулы (5.129)–(5.131)
1. Исходные данные Параметр Обозн. Значение Ед. Длина балки \(L\) 12.000 м Закрепление левого конца — защемление — Закрепление правого конца — шарнирная опора — Изгибная жёсткость \(EI\) \(20000\) кН·м²
\(a\), м \(b\), м \(q_1\), кН/м \(q_2\), кН/м 0.000 7.000 15.000 15.000
\(x\), м \(P\), кН (вниз +) 10.000 30.000
15 кН/м 30 кН 117 18 7 5 L = 12 м Расчётная схема 2. Статико-кинематическая аналогия Уравнения углов поворота и прогибов
(5.130) \[\varphi_x=\varphi_0-\int\frac{M}{EI}du;\qquad v_x=v_0+\varphi_0x-\int\frac{M}{EI}(x-u)\,du\]
устроены так же, как уравнения поперечных сил и изгибающих моментов
(5.129) \[Q_x=Q_0-\int p\,du;\qquad M_x=M_0+Q_0x-\int p(x-u)\,du\]
если принять
\[p_ф=\frac{M}{EI};\qquad m_ф=\frac{Q}{GF_y}=0;\qquad \varphi_0=Q_{ф0};\qquad v_0=M_{ф0}\]
Тогда φ = Q ф и v = M ф
Действительная балка Фиктивная балка свободный конец жёсткое защемление жёсткое защемление свободный конец шарнирная опора на конце шарнирная опора на конце промежуточная опора шарнир шарнир промежуточная опора скользящая заделка скользящая заделка
3. Проверка применимости Схема статически определима: опорных связей 3 (вертикальных 2, угловых 1), уравнений статики 3 (2 условия равновесия и 1 условий в шарнирах).
Вертикальных связей Угловых связей Всего связей Уравнений статики Степень неопределимости 2 1 3 3 0
4. Эпюра M действительной балки Эпюра M кН·м −451.50 −451.50 36.00 0 Эпюра изгибающих моментов M — она же фиктивная нагрузка 5. Фиктивная нагрузка по участкам На каждом участке p ф = M /EI — многочлен от t = x − a . Площадь участка эпюры и абсцисса её центра тяжести берутся интегрированием этого многочлена.
\(a\), м \(b\), м \(p_ф(t)\), рад/м \(\Omega\), рад \(x_c\), м 0 7 \(-0.022575+0.00585t-0.000375t^{2}\) \(-0.057575\) 1.899 7 10 \(0.0006t\) \(0.0027\) 9.000 10 12 \(0.0018-0.0009t\) \(0.0018\) 10.667
\[R_ф=\sum\Omega_i=-0.053075\ \text{рад};\qquad x_c=1.2403\ \text{м}\]
6. Фиктивная балка и её усилия Фиктивная балка и нагрузка pᵩ = M/EI -0.022575 → 0 кН/м -0 → 0.0018 кН/м 0.0018 → 0 кН/м -0.114214 0.061139 7 5 L = 12 м Фиктивная балка: закрепления по правилу соответствия, нагрузка — эпюра M/EI Реакции фиктивной балки — это концевые (и опорные) углы поворота действительной балки по (5.131):
\(x\), м \(R_ф\) = угол поворота, рад 7.000 \(-0.114214\) 12.000 \(0.061139\)
7. Эпюры перемещений Эпюра φ = Qᵩ ·10⁻³ рад 0 57.575 −56.639 −59.339 −61.139 0 Эпюра углов поворота: φ = Q ф Эпюра v = Mᵩ мм 293.694 121.078 121.077 0 0 Эпюра прогибов: v = M ф 8. Проверка Та же балка решена независимо — методом начальных параметров по (5.121), (5.122). Совпадение эпюр перемещений и есть проверка аналогии.
Величина Наибольшее относительное расхождение Угол поворота φ \(5.5045\cdot 10^{-14}\) Прогиб v \(5.5161\cdot 10^{-14}\)
9. Результаты Величина Наибольшее по модулю Сечение x , м Изгибающий момент M, кН·м -451.500 0.000 Угол поворота φ, рад \(-0.06114\) 12.000 Прогиб v, м \(0.29369\) 7.000
Приложение. Использованные формулы № Формула Назначение 5.129 \(Q_x=Q_0-\int p\,du;\;\;M_x=M_0+Q_0x-\int p(x-u)du\) уравнения усилий 5.130 \(\varphi_x=\varphi_0-\int\frac{M}{EI}du;\;\;v_x=v_0+\varphi_0x-\int\frac{M}{EI}(x-u)du\) уравнения перемещений — то же строение — \(p_ф=M/EI;\;\;\varphi=Q_ф;\;\;v=M_ф\) подстановка, обращающая одни уравнения в другие 5.131 \(\tau_A=R_ф b/l;\;\;\tau_B=R_ф a/l\) концевые углы как фиктивные реакции
Метод применим к статически определимым балкам: эпюра M должна быть известна до расчёта перемещений. Для неопределимых схем перемещения даёт расчёт «Обыкновенная балка» по (5.121), (5.122).