Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Рама с параболическим ригелем

Одноконтурная (простая) рама — п. 5.6.6, формулы (5.260), (5.214)–(5.216)
Дата формирования: 01.09.2026 12:57

1. Исходные данные

ПараметрОбозн.ЗначениеЕд.
Тип рамы—бесшарнирная—
Степень статической неопределимости\(n\)3—
Очертание ригеля—квадратная парабола—
Пролёт\(l\)12.000м
Высота левой стойки\(h_1\)6.000м
Высота правой стойки\(h_2\)6.000м
Подъём ригеля\(f\)2.000м
Жёсткость ригеля\(EI_p\)50000.0кН·м²
Жёсткость левой стойки\(EI_{c1}\)40000.0кН·м²
Жёсткость правой стойки\(EI_{c2}\)40000.0кН·м²
№Участок\(q_1\)\(q_2\)\(a_1\), м\(a_2\), мНаправление
1ригель20.00020.0000.0006.000вертикальная ↓
2левая стойка6.0000.0000.0006.000горизонтальная →
20.00 кН/м6.00…0.00 кН/мAEFBl = 12.000 мh₁ = 6.000 мh₂ = 6.000 мf = 2.000 м
Расчётная схема. Параметр \(a\) отсчитывается по высоте стойки от пяты либо вдоль пролёта ригеля от левого узла
Рамы рассчитываются приёмами арок с упрощением, которое вытекает из ломаного очертания оси: упругими перемещениями от удлинения и сдвига всюду пренебрегают по сравнению с перемещениями от изгиба (стр. 276).

2. Основная система

Основная система — ломаная балка на двух опорах: в левой пяте неподвижный шарнир, в правой подвижный. Обход ведём \(A\to E\to F\to B\); усилия основной системы обозначаем \(M^{0}\), \(Q^{0}\), \(N^{0}\).

\[V_A^{0}=87\ \text{кН},\qquad H_A^{0}=-18\ \text{кН},\qquad V_B^{0}=33\ \text{кН}\]
\[M^{0}=V^{0}_A x-H^{0}_A y+\sum M_{\text{пройд.}},\qquad Q^{0}=\Sigma V\cos\theta-\Sigma H\sin\theta,\qquad N^{0}=-\Sigma V\sin\theta-\Sigma H\cos\theta\]
Участок\(a\), м\(x\), м\(y\), м\(\theta\)\(M^{0}\), кН·м\(Q^{0}\), кН\(N^{0}\), кН
левая стойка0.0000.0000.00090°018-87
левая стойка1.5000.0001.50090°20.81210.125-87
левая стойка3.0000.0003.00090°31.54.5-87
левая стойка4.5000.0004.50090°35.4371.125-87
левая стойка6.0000.0006.00090°360-87
ригель0.0000.0006.00033.7°3672.388-48.259
ригель3.0003.0007.50018.4°20725.614-8.538
ригель4.3384.3387.84710.5°225.2240.227-0.042
ригель6.0006.0008.0000°198-330
ригель9.0009.0007.500-18.4°99-31.307-10.436
ригель12.00012.0006.000-33.7°0-27.458-18.305
правая стойка0.00012.0000.000-90°00-33
правая стойка1.50012.0001.500-90°00-33
правая стойка3.00012.0003.000-90°00-33
правая стойка4.50012.0004.500-90°00-33
правая стойка6.00012.0006.000-90°00-33

3. Гибкость рамы

Гибкость рамы складывается из гибкости ригеля, гибкости стоек и податливостей оснований стоек при повороте (стр. 278). Фиктивная «толщина» участка равна \(1/EI\):

\[F^{ф}=\int\frac{ds}{EI}+\varepsilon_1+\varepsilon_2,\qquad x_0=\frac{S^{ф}_y}{F^{ф}},\qquad y_0=\frac{S^{ф}_x}{F^{ф}}\]
\[I^{ф}_x=\int\frac{(y-y_0)^{2}}{EI}ds+\sum\varepsilon(y-y_0)^{2},\qquad I^{ф}_y=\int\frac{(x-x_0)^{2}}{EI}ds+\sum\varepsilon(x-x_0)^{2}\]
Слагаемое гибкостиЗначение, 1/(кН·м)Доля
левая стойка\(1.5\cdot 10^{-4}\)26.94 %
ригель\(2.5675\cdot 10^{-4}\)46.12 %
правая стойка\(1.5\cdot 10^{-4}\)26.94 %
итого \(F^{ф}\)\(5.5675\cdot 10^{-4}\)100.00 %

В обозначениях справочника при единичной жёсткости \(EI_c=EI_p\) это даёт \(F^{ф}EI_p=l+h_1\prime+h_2\prime+(\varepsilon_1+\varepsilon_2)EI_p\):

\[F^{ф}EI_p=27.8374\ \text{м},\qquad l+h_1\prime+h_2\prime=12.000+7.500+7.500=27.0000\ \text{м}\]
ХарактеристикаЗначениеЕд.
\(x_0\) — центр гибкости6.0000м
\(y_0\)4.9827м
\(I^{ф}_x\)\(0.003552\)м/кН
\(I^{ф}_y\)\(0.014038\)м/кН
\(I^{ф}_{xy}\)\(4.8789\cdot 10^{-19}\)м/кН
\(s\) — длина оси рамы24.8374м

4. Фиктивные грузы

Фиктивные грузы \(\Theta\) — площади эпюры \(M^{0}\) с ординатами, уменьшенными в \(EI\) раз; они приложены в центрах тяжести соответствующих площадей. В расчёте они берутся интегрированием по оси рамы:

(5.222, 5.260)\[\sum\Theta=\int\frac{M^{0}}{EI}ds=P^{ф},\qquad \sum\Theta y_\Theta=\int\frac{M^{0}(y-y_0)}{EI}ds=L^{ф}_x,\qquad \sum\Theta x_\Theta=-L^{ф}_y\]
ВеличинаЗначение
\(\sum\Theta=P^{ф}\)\(0.038697\)
\(\sum\Theta y_\Theta=L^{ф}_x\)\(0.083145\)
\(\sum\Theta x_\Theta=-L^{ф}_y\)\(-0.057433\)

5. Лишние неизвестные

Изгибающий момент от лишних неизвестных получается по формуле внецентренного сжатия фиктивного профиля фиктивной нагрузкой:

(5.260)\[M_{x,y}=M^{0}_{x,y}-\left(\frac{\sum\Theta}{F^{ф}}+\frac{\sum\Theta y_\Theta}{I^{ф}_x}\,y+\frac{\sum\Theta x_\Theta}{I^{ф}_y}\,x\right)\]

Это и есть формула (5.214), если положить \(X_1=P^{ф}/F^{ф}\), \(H=L^{ф}_x/I^{ф}_x\), \(V=L^{ф}_y/I^{ф}_y\); координаты отсчитываются от центра гибкости.

У бесшарнирной рамы неизвестных три, оси проходят через центр гибкости, поэтому они разделяются:

(5.223)\[X_1=\frac{P^{ф}}{F^{ф}}=69.5053\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[X_1=69.5053\ \text{кН}\cdot\text{м},\qquad H=23.4112\ \text{кН},\qquad V=4.0913\ \text{кН}\]

Начало осей — центр гибкости \((6.000;\ 4.983)\) м.

6. Усилия в сечениях

(5.214)\[M=M^{0}-X_1-H(y-y_0)+V(x-x_0)\]
(5.215, 5.216)\[Q=Q^{0}+V\cos\theta-H\sin\theta,\qquad N=N^{0}-V\sin\theta-H\cos\theta\]

Например, в сечении «ригель» при \(a=4.338\) м — точка \((4.338;\ 7.847)\):

\[M=225.224-69.505-23.411\cdot(7.847-4.983)+4.091\cdot(4.338-6.000)=81.873\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
Участок\(a\), м\(x\), м\(y\), м\(M^{0}\)\(M\), кН·м\(Q\), кН\(N\), кН
левая стойка0.0000.0000.000022.598-5.411-91.091
левая стойка1.5000.0001.50020.8128.294-13.286-91.091
левая стойка3.0000.0003.00031.5-16.136-18.911-91.091
левая стойка4.5000.0004.50035.437-47.315-22.286-91.091
левая стойка6.0000.0006.00036-81.869-23.411-91.091
ригель0.0000.0006.00036-81.86962.806-70.008
ригель3.0003.0007.50020766.28822.093-32.042
ригель4.3384.3387.847225.22481.8730-23.807
ригель6.0006.0008.00019857.856-28.909-23.411
ригель9.0009.0007.50099-17.165-20.022-31.352
ригель12.00012.0006.0000-68.774-11.067-35.515
правая стойка0.00012.0000.000071.69323.411-28.909
правая стойка1.50012.0001.500036.57623.411-28.909
правая стойка3.00012.0003.00001.45923.411-28.909
правая стойка4.50012.0004.5000-33.65723.411-28.909
правая стойка6.00012.0006.0000-68.77423.411-28.909

Наибольший по модулю изгибающий момент \(M=81.873\) кН·м — «ригель», \(a=4.338\) м; распор \(H_A=5.411\) кН.

7. Опорные реакции и проверки

Реакции сняты с усилий в пятах: продольная и поперечная силы разложены на вертикаль и горизонталь.

ВеличинаЛевая пята AПравая пята BЕд.
\(M\)22.597871.693кН·м
\(V\)91.091328.9087кН
\(H\)5.4112-23.4112кН
ПроверкаВыражениеНевязкаЕд.
Сумма горизонтальных сил\(\Sigma X\)0кН
Сумма вертикальных сил\(\Sigma Y\)0кН
Сумма моментов относительно B\(\Sigma M_B\)143.385987кН·м
Невязки равновесия имеют порядок ошибки округления, расчёт согласован.

8. Эпюры усилий

Эпюра M, кН·м22.68.29-16.14-47.31-81.87-81.8766.2981.8757.86-17.16-68.7771.6936.581.46-33.66-68.77
Эпюра изгибающих моментов — ординаты отложены со стороны растянутого волокна
Эпюра Q, кН-5.41-13.29-18.91-22.29-23.4162.8122.090-28.91-20.02-11.0723.4123.4123.4123.4123.41
Эпюра поперечных сил
Эпюра N, кН-91.09-91.09-91.09-91.09-91.09-70.01-32.04-23.81-23.41-31.35-35.51-28.91-28.91-28.91-28.91-28.91
Эпюра продольных сил (сжатие отрицательно)

9. Приложение — использованные формулы

ФормулаЗаписьСмысл
5.260\(M_{x,y}=M^{0}_{x,y}-\left(\dfrac{\sum\Theta}{F^{ф}}+\dfrac{\sum\Theta y_\Theta}{I^{ф}_x}y+\dfrac{\sum\Theta x_\Theta}{I^{ф}_y}x\right)\)изгибающий момент рамы — внецентренное сжатие фиктивного профиля
5.260\(\sum\Theta=P^{ф};\;\;\sum\Theta y_\Theta=L^{ф}_x;\;\;\sum\Theta x_\Theta=-L^{ф}_y\)переход к обозначениям арок и формуле (5.214)
5.214–5.216\(M=M^{0}-X_1-H(y-y_0)+V(x-x_0)\)усилия через лишние неизвестные в центре гибкости
стр. 278\(F^{ф}=l+2h\prime+2\varepsilon;\;\;h\prime=h\dfrac{I_c}{I_h};\;\;\varepsilon=\dfrac{EI_c}{k_0I_A}\)гибкость рамы и податливость основания стойки
стр. 278\(I^{ф}_y=\dfrac{l^{3}}{12}+2(h\prime+\varepsilon)\left(\dfrac{l}{2}\right)^{2}\)момент инерции гибкости — для рамы с параболическим ригелем
стр. 276\(M_A=-M^{0}_A;\;\;V_Ax_C-H_Ay_C+M^{0}_C=0\)трёхшарнирная рама: подбор реакций по условиям M = 0 в шарнирах
стр. 276перемещения от удлинения и сдвига не учитываютсяосновное упрощение расчёта рам
Определив изгибающие моменты, продольные и поперечные силы находят из уравнений равновесия рамы в целом и одной из полурам — так же, как реакции трёхшарнирной арки (стр. 278).