Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Ферма с параллельными поясами (пролёт 24 м)

Метод конечных элементов — матричная форма метода перемещений (п. 5.7.3)
Дата формирования: 01.09.2026 12:31

1. Исходные данные

Узел\(x\), м\(y\), мЗакрепление\(P_x\), кН\(P_y\), кН ↓\(M\), кН·м
Н10.0000.000неподвижный шарнир000
Н24.0000.000свободный узел000
Н38.0000.000свободный узел000
Н412.0000.000свободный узел000
Н516.0000.000свободный узел000
Н620.0000.000свободный узел000
Н724.0000.000подвижная опора (по x)000
В24.0003.000свободный узел0600
В38.0003.000свободный узел0600
В412.0003.000свободный узел0800
В516.0003.000свободный узел0600
В620.0003.000свободный узел0600
ЭлементТипУзлы\(l\), мНаклон\(EA\), кН
1ферменный стерженьН1 — Н24.0000°\(1.26\cdot 10^{6}\)
2ферменный стерженьН2 — Н34.0000°\(1.26\cdot 10^{6}\)
3ферменный стерженьН3 — Н44.0000°\(1.26\cdot 10^{6}\)
4ферменный стерженьН4 — Н54.0000°\(1.26\cdot 10^{6}\)
5ферменный стерженьН5 — Н64.0000°\(1.26\cdot 10^{6}\)
6ферменный стерженьН6 — Н74.0000°\(1.26\cdot 10^{6}\)
7ферменный стерженьВ2 — В34.0000°\(1.68\cdot 10^{6}\)
8ферменный стерженьВ3 — В44.0000°\(1.68\cdot 10^{6}\)
9ферменный стерженьВ4 — В54.0000°\(1.68\cdot 10^{6}\)
10ферменный стерженьВ5 — В64.0000°\(1.68\cdot 10^{6}\)
11ферменный стерженьН2 — В23.00090°\(630000\)
12ферменный стерженьН3 — В33.00090°\(630000\)
13ферменный стерженьН4 — В43.00090°\(630000\)
14ферменный стерженьН5 — В53.00090°\(630000\)
15ферменный стерженьН6 — В63.00090°\(630000\)
16ферменный стерженьН1 — В25.00036.9°\(1.05\cdot 10^{6}\)
17ферменный стерженьН7 — В65.000143.1°\(1.05\cdot 10^{6}\)
18ферменный стерженьВ2 — Н35.000-36.9°\(840000\)
19ферменный стерженьВ3 — Н45.000-36.9°\(840000\)
20ферменный стерженьВ5 — Н45.000-143.1°\(840000\)
21ферменный стерженьВ6 — Н55.000-143.1°\(840000\)
60.00 кН60.00 кН80.00 кН60.00 кН60.00 кНН1Н2Н3Н4Н5Н6Н7В2В3В4В5В6(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)
Расчётная схема; в скобках — номера элементов

2. Степени свободы

В каждом узле плоской задачи три перемещения: два линейных и поворот. Нумерация сквозная: узлу с номером \(k\) отвечают степени свободы \(3k-2,\ 3k-1,\ 3k\).

Всего степеней свободыЗакреплено опорамиСнято за отсутствием жёсткостиНеизвестных
3631221
Поворот узла, в котором сходятся одни ферменные стержни, ни на что не влияет: шарнирный стержень момента не передаёт. Такие степени свободы сняты — иначе матрица жёсткости была бы вырождена. Сняты: \(\varphi_{Н1}\), \(\varphi_{Н2}\), \(\varphi_{Н3}\), \(\varphi_{Н4}\), \(\varphi_{Н5}\), \(\varphi_{Н6}\), \(\varphi_{Н7}\), \(\varphi_{В2}\), \(\varphi_{В3}\), \(\varphi_{В4}\), \(\varphi_{В5}\), \(\varphi_{В6}\).

3. Матрицы жёсткости элементов

Ферменный стержень работает только на растяжение-сжатие, балочный — ещё и на изгиб (5.291):

\[k^{\text{ферма}}=\frac{EA}{l}\begin{bmatrix}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix},\qquad k^{\text{балка}}=\begin{bmatrix}\frac{EA}{l}&0&0&-\frac{EA}{l}&0&0\\0&\frac{12EI}{l^3}&\frac{6EI}{l^2}&0&-\frac{12EI}{l^3}&\frac{6EI}{l^2}\\0&\frac{6EI}{l^2}&\frac{4EI}{l}&0&-\frac{6EI}{l^2}&\frac{2EI}{l}\\-\frac{EA}{l}&0&0&\frac{EA}{l}&0&0\\0&-\frac{12EI}{l^3}&-\frac{6EI}{l^2}&0&\frac{12EI}{l^3}&-\frac{6EI}{l^2}\\0&\frac{6EI}{l^2}&\frac{2EI}{l}&0&-\frac{6EI}{l^2}&\frac{4EI}{l}\end{bmatrix}\]

Переход к общим осям — матрицей поворота, составленной из направляющих косинусов оси элемента:

\[T=\begin{bmatrix}c&s&0&0&0&0\\-s&c&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&c&s&0\\0&0&0&-s&c&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix},\qquad c=\cos\alpha,\ s=\sin\alpha,\qquad K_e=T^{\mathsf T}kT\]

Элемент 1 — ферменный стержень, узлы Н1 — Н2, \(l=4.000\) м, \(\alpha=0^\circ\):

\[k=\begin{bmatrix}315000&0&0&-315000&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\-315000&0&0&315000&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}\]
\[K_e=T^{\mathsf T}kT=\begin{bmatrix}315000&0&0&-315000&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\-315000&0&0&315000&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}\]

Элемент 2 — ферменный стержень, узлы Н2 — Н3, \(l=4.000\) м, \(\alpha=0^\circ\):

\[k=\begin{bmatrix}315000&0&0&-315000&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\-315000&0&0&315000&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}\]
\[K_e=T^{\mathsf T}kT=\begin{bmatrix}315000&0&0&-315000&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\-315000&0&0&315000&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}\]
Показаны первые 2 элементов из 21; остальные строятся так же.

4. Грузовой вектор

Нагрузка, приложенная не в узлах, приводится к узловой согласованным вектором через функции формы; у ферменного стержня изгиба нет, поэтому поперечная нагрузка делится между узлами по правилу рычага:

\[f=\int_0^{l}N^{\mathsf T}q\,dx\]

Температура даёт начальные деформации: равномерный нагрев — продольную, перепад по высоте — кривизну:

\[N_0=EA\,\alpha\,\Delta T,\qquad \kappa_0=\frac{\alpha\,\Delta T_h}{h},\qquad f_t=\int_0^{l}B^{\mathsf T}\left(EA\,\varepsilon_0+EI\,\kappa_0\right)dx\]
Нагрузка приложена только в узлах — грузовые векторы элементов нулевые.

5. Сборка и решение системы

Вклад элемента раскладывается по строкам и столбцам, отвечающим степеням свободы его узлов; закреплённые строки и столбцы вычёркиваются, а заданные смещения опор переносятся в правую часть:

\[KU=F,\qquad K_{ff}U_f=F_f-K_{fs}U_s,\qquad R=K_{sf}U_f+K_{ss}U_s-F_s\]
Портрет матрицы жёсткости: тёмные клетки — ненулевые коэффициенты, светлые относятся к закреплённым степеням свободы
Порядок матрицыНенулевых коэффициентовЗаполненностьПолуширина ленты
361189.1 %22
ВеличинаЗначение
Порядок решаемой системы21
Наибольший коэффициент матрицы\(947520\)
Наибольшая правая часть\(80\)

6. Перемещения узлов

Узел\(u_x\), мм (вправо +)\(u_y\), мм (вниз +)\(\varphi\), мрад
Н1\(0\)\(0\)\(0\)
Н2\(0.677\)\(7.76\)\(0\)
Н3\(1.354\)\(13.251\)\(0\)
Н4\(2.455\)\(15.659\)\(0\)
Н5\(3.556\)\(13.251\)\(0\)
Н6\(4.233\)\(7.76\)\(0\)
Н7\(4.91\)\(0\)\(0\)
В2\(4.233\)\(7.76\)\(0\)
В3\(3.407\)\(13.728\)\(0\)
В4\(2.455\)\(16.04\)\(0\)
В5\(1.503\)\(13.728\)\(0\)
В6\(0.677\)\(7.76\)\(0\)

Наибольшее перемещение — узел В4: \(16.2265\) мм.

Между узлами перемещения меняются по упругой линии, которая получается интегрированием полной кривизны — изгибной и начальной температурной:

\[\varphi(x)=\varphi_A+\int_0^{x}\left(\frac{M}{EI}+\kappa_0\right)dx,\qquad w(x)=w_A+\int_0^{x}\varphi\,dx\]

Отсчёт ведётся от первого торца, а перемещения второго в него не подставляются — их совпадение служит проверкой. У шарнирного примыкания угол поворота торца не равен углу узла: шарнир их разъединяет, и собственный угол торца восстанавливается из условия равенства нулю момента на нём. Ферменный стержень изгиба не воспринимает, поэтому его ось остаётся прямой.

ЭлементТипУзлынаибольший прогиб, мм\(x\), м
1ферменный стерженьН1 — Н2\(-7.76\)4.000
2ферменный стерженьН2 — Н3\(-13.251\)4.000
3ферменный стерженьН3 — Н4\(-15.659\)4.000
4ферменный стерженьН4 — Н5\(-15.659\)0.000
5ферменный стерженьН5 — Н6\(-13.251\)0.000
6ферменный стерженьН6 — Н7\(-7.76\)0.000
7ферменный стерженьВ2 — В3\(-13.728\)4.000
8ферменный стерженьВ3 — В4\(-16.04\)4.000
9ферменный стерженьВ4 — В5\(-16.04\)0.000
10ферменный стерженьВ5 — В6\(-13.728\)0.000
11ферменный стерженьН2 — В2\(-4.233\)3.000
12ферменный стерженьН3 — В3\(-3.407\)3.000
13ферменный стерженьН4 — В4\(-2.455\)0.000
14ферменный стерженьН5 — В5\(-3.556\)0.000
15ферменный стерженьН6 — В6\(-4.233\)0.000
16ферменный стерженьН1 — В2\(-8.748\)5.000
17ферменный стерженьН7 — В6\(5.802\)5.000
18ферменный стерженьВ2 — Н3\(-9.788\)5.000
19ферменный стерженьВ3 — Н4\(-11.054\)5.000
20ферменный стерженьВ5 — Н4\(14\)5.000
21ферменный стерженьВ6 — Н5\(12.734\)5.000
Прогиб отсчитывается по местной оси стержня: у горизонтального элемента отрицательное значение означает прогиб вниз, у стойки — смещение влево. В общих осях перемещения даны в таблице узлов выше.
ПроверкаВыражениеНевязкаЕд.
Упругая линия сходится на втором торце элемента\(\varphi(l)-\varphi_B\)\(0\)рад
То же по прогибу\(w(l)-w_B\)\(0\)м
07.7613.2515.6613.257.7607.7613.7316.0413.737.760.684.231.353.412.462.463.561.54.230.687.7607.767.7613.2513.7315.6613.7315.667.7613.25Эпюра прогибов, мм
Эпюра прогибов: у ригелей подписан прогиб вниз, у стоек — смещение вправо; ординаты отложены в сторону смещения
Н1Н2Н3Н4Н5Н6Н7В2В3В4В5В6Изогнутая ось (перемещения увеличены в 148 раз)
Деформированная схема: перемещения показаны в увеличенном масштабе

7. Усилия в элементах

Усилия на торцах получаются обратным ходом по каждому элементу:

\[u_e=T\,U_e,\qquad F_e=k\,u_e-f\]
ЭлементУзлы\(N\), кНРабота\(\sigma\), МПа
1Н1 — Н2213.333растянут\(35.556\)
2Н2 — Н3213.333растянут\(35.556\)
3Н3 — Н4346.667растянут\(57.778\)
4Н4 — Н5346.667растянут\(57.778\)
5Н5 — Н6213.333растянут\(35.556\)
6Н6 — Н7213.333растянут\(35.556\)
7В2 — В3-346.667сжат\(-43.333\)
8В3 — В4-400сжат\(-50\)
9В4 — В5-400сжат\(-50\)
10В5 — В6-346.667сжат\(-43.333\)
11Н2 — В20—\(0\)
12Н3 — В3-100сжат\(-33.333\)
13Н4 — В4-80сжат\(-26.667\)
14Н5 — В5-100сжат\(-33.333\)
15Н6 — В60—\(0\)
16Н1 — В2-266.667сжат\(-53.333\)
17Н7 — В6-266.667сжат\(-53.333\)
18В2 — Н3166.667растянут\(41.667\)
19В3 — Н466.667растянут\(16.667\)
20В5 — Н466.667растянут\(16.667\)
21В6 — Н5166.667растянут\(41.667\)

Наибольшее продольное усилие \(N=-400\) кН — элемент 9.

60.00 кН60.00 кН80.00 кН60.00 кН60.00 кН213.3213.3346.7346.7213.3213.3-346.7-400.0-400.0-346.70.0-100.0-80.0-100.00.0-266.7-266.7166.766.766.7166.7
Усилия в стержнях фермы: растяжение красным, сжатие синим, толщина линии пропорциональна усилию
213.3213.3213.3346.7346.7346.7213.3213.3213.3-346.7-346.7-400-400-400-346.7-346.700-100-100-80-80-100-10000-266.7-266.7-266.7-266.7166.7166.766.766.766.7166.7166.7Эпюра N, кН
Эпюра продольных сил (сжатие отрицательно)

8. Опорные реакции

Узел\(H\), кН (вправо +)\(V\), кН (вверх +)\(M\), кН·м (против часовой +)
Н101600
Н701600

9. Проверки

Решение проверяется тем, что в нём не участвовало: равновесием конструкции в целом, равновесием каждого элемента и энергетическим тождеством.

ПроверкаВыражениеНевязкаЕд.
Равновесие сил по горизонтали\(\Sigma X\)\(4.8317\cdot 10^{-13}\)кН
Равновесие сил по вертикали\(\Sigma Y\)\(5.6843\cdot 10^{-14}\)кН
Равновесие моментов относительно начала координат\(\Sigma M_O\)\(-6.8212\cdot 10^{-12}\)кН·м
Равновесие каждого элемента\(\Sigma F_e-R_e\)\(0\)кН
Энергия деформации и работа сил\(\tfrac12 U^{\mathsf T}KU-\tfrac12(F+R)^{\mathsf T}U\)\(0\)кН·м
Наибольшая нагрузка в задаче — \(160\) кН, поэтому невязки равновесия порядка \(4.8317\cdot 10^{-13}\) — это ошибка округления, а не расчёта. Энергия деформации \(1.9308\) кН·м.