Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Равнопролётная неразрезная балка, 5 пролётов

Равнопролётная неразрезная балка на жёстких опорах — п. 5.5.4, формулы (5.146)–(5.153)
Дата формирования: 01.09.2026 12:31

1. Исходные данные

ПараметрОбозн.ЗначениеЕд.
Число пролётов\(n\)5—
Длина пролёта\(l\)6.000м
Полная длина\(L=nl\)30.000м
Изгибная жёсткость\(EI\)\(20000\)кН·м²
Левый конец—шарнирная опора—
Правый конец—шарнирная опора—
\(a\), м\(b\), м\(q_1\), кН/м\(q_2\), кН/м
0.00012.00020.00020.000
20 кН/м46.0766143.54155.8373-6.889951.72249-0.28708166666L = 30 мфокусфокус
Расчётная схема; штрихами отмечены моментные фокусы

Загружены пролёты: 1, 2; свободны: 3, 4, 5 (нумерация с нуля, слева направо).

2. Фокусные характеристики пролёта

Положение моментных фокусов совпадает с точками редукции площади эпюры гибкости пролёта; расстояние фокусов от середины пролёта равно радиусу инерции этой эпюры.

\[F_ф=\frac{l}{EI}=3\cdot 10^{-4};\qquad I_ф=\frac{l^{3}}{12EI}=9\cdot 10^{-4}\]
(5.146)\[r_ф=\sqrt{\frac{I_ф}{F_ф}}=1.73205\ \text{м}=0.28868\,l\]
(5.147)\[e=\frac{l}{2}-r_ф=1.26795\ \text{м};\qquad f=\frac{l}{2}+r_ф=4.73205\ \text{м}\]
(5.148, 5.150)\[k=\frac{f}{e}=3.732051;\qquad c=-\frac{1}{k}=-0.267949\]
(5.149)\[e=\frac{l}{k+1}=1.26795;\qquad f=\frac{lk}{k+1}=4.73205\]
ВеличинаРасчётТеория при EI = constРасхождение
\(r_ф\)1.732051\(l/(2\sqrt3)\) = 1.732051\(1.282\cdot 10^{-16}\)
\(k\)3.732051\(2+\sqrt3\) = 3.732051\(1.1899\cdot 10^{-16}\)
\(c\)-0.267949\(-(2-\sqrt3)\) = -0.267949\(2.0717\cdot 10^{-16}\)
\(e\) двумя путями1.2679491.267949\(0\)

3. Точный расчёт: опорные моменты

Балка решена методом начальных параметров — этот путь верен при любых концах и служит эталоном для остального.

Опора\(x\), м\(M\), кН·м
00.0000.0000
16.000-83.5407
212.000-25.8373
318.0006.8900
424.000-1.7225
530.0000.0000
Сечение x, мРеакция R, кН
0.00046.0766
6.000143.5407
12.00055.8373
18.000-6.8900
24.0001.7225
30.000-0.2871

Проверки равновесия: ΣY даёт невязку \(5.6843\cdot 10^{-14}\), ΣM — \(2.0759\cdot 10^{-10}\).

4. Метод бесконечной основной системы

К балке пристроены по 8 дополнительных пролёта с каждой стороны — так получается практически бесконечная балка. Концевые воздействия подбираются так, чтобы моменты на концах действительной балки обратились в нуль:

(5.151)\[\eta=\left(-\frac{1}{k}\right)^{n}=-0.001381\]
(5.153)\[X_A=\frac{M_A^{\infty}-\eta M_B^{\infty}}{1-\eta^{2}};\qquad X_B=\frac{M_B^{\infty}-\eta M_A^{\infty}}{1-\eta^{2}}\]
\[M_A^{\infty}=-27.84610;\qquad M_B^{\infty}=0.53570;\qquad X_A=55.69082;\qquad X_B=-0.99448\]
ОпораБесконечная система \(M^\infty\), кН·мС поправкой \(X_A\), \(X_B\), кН·мТочный расчёт, кН·мРасхождение
0-27.84610.00000.0000\(0\)
1-76.0770-83.5407-83.5407\(3.9913\cdot 10^{-10}\)
2-27.8461-25.8373-25.8373\(3.3283\cdot 10^{-10}\)
37.46136.89006.8900\(1.6123\cdot 10^{-10}\)
4-1.9993-1.7225-1.7225\(6.7433\cdot 10^{-10}\)
50.53570.00000.0000\(2.0918\cdot 10^{-10}\)

Наибольшее относительное расхождение двух путей — \(8.0718\cdot 10^{-12}\).

5. Прогрессия опорных моментов

В полубесконечной балке опорные моменты убывают по закону геометрической прогрессии \(M_{n+1}=c\,M_n\). У конечной балки это справедливо в цепочке незагруженных пролётов, уходящей от нагрузки к концу: пролёт, зажатый между нагруженными, получает моменты с обеих сторон, и прогрессия к нему не относится.

ПролётНаправлениеОтношение моментов\(c=-1/k\)РасхождениеПримечание
3вправо-0.266667-0.267949\(0.005\)
4вправо-0.250000-0.267949\(0.067\)
5вправо0.000000-0.267949\(1\)последний пролёт: момент на конце задан закреплением

Ближайший к нагрузке пролёт даёт \(0.005\), к концу балки отклонение растёт (наибольшее \(0.067\)) — это краевой эффект конечной балки, а не ошибка расчёта.

6. Моментные фокусы

В незагруженном пролёте эпюра M линейна; если пролёт входит в цепочку, её нуль лежит в фокусе — на расстоянии e = 1.2679 м или f = 4.7321 м от опоры.

Пролёт\(x\), мОт левой опоры, мОт правой опоры, мВ цепочкеОтклонение от фокуса, доли l
316.73684.73681.2632да\(7.9855\cdot 10^{-4}\)
422.80004.80001.2000да\(0.011\)

7. Линия влияния опорного момента

Строится по определению: единичный груз проходит по балке, для каждого его положения балка решается заново.

Линия влияния опорного момента M1м00000000
Линия влияния опорного момента
Опора\(x\), мОрдината л. в., м
00.0000.00000000
16.0000.00000000
212.0000.00000000
318.0000.00000000
424.0000.00000000
530.0000.00000000

Ординаты над всеми опорами равны нулю — это проверка построения. Наибольшая ордината -0.61818 м при x = 3.375 м.

Для сравнения — аналитическое решение для бесконечной балки (с. 245):

\[M_0=-\left[(\xi'-\xi'^{3})-(2-\sqrt3)(\xi-\xi^{3})\right]\frac{\sqrt3}{6}l\]
\(\xi\)\(x\), мРасчётБесконечная балкаРазность
0.207.200-0.380325-0.409723\(0.029\)
0.408.400-0.472651-0.509169\(0.037\)
0.509.000-0.441388-0.475481\(0.034\)
0.609.600-0.374813-0.403754\(0.029\)
0.8010.800-0.184651-0.198892\(0.014\)

8. Эпюры

Эпюра QкН46.0846.08−73.9269.62−50.385.455.45−1.44−1.440.290.290
Эпюра поперечных сил Q
Эпюра MкН·м0−83.54−83.54−25.84−25.846.896.89−1.720
Эпюра изгибающих моментов M
Эпюра vмм00000000
Эпюра прогибов v

Приложение. Использованные формулы

№ФормулаНазначение
5.146\(r_ф=\sqrt{I_ф/F_ф}\)радиус инерции эпюры гибкости пролёта
5.147\(e=l/2-r_ф;\quad f=l/2+r_ф\)фокусные отрезки
5.148\(k=f/e=(l+2r_ф)/(l-2r_ф)\)фокусное отношение
5.149\(e=l/(k+1);\quad f=lk/(k+1)\)то же через k
5.150\(c=-1/k\)знаменатель прогрессии моментов
5.151–5.153\(\eta=(-1/k)^{n};\quad X_A=\dfrac{M_A^{\infty}-\eta M_B^{\infty}}{1-\eta^{2}}\)метод бесконечной основной системы
с. 245\(M_0=-[(\xi'-\xi'^{3})-(2-\sqrt3)(\xi-\xi^{3})]\dfrac{\sqrt3}{6}l\)л. в. опорного момента бесконечной балки
Все выводы этого пункта опираются на равенство пролётов и постоянство EI. Балку с разными пролётами или жёсткостями считает расчёт «Уравнение трёх опорных моментов».