Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет).
Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.
Балка на упруго оседающих опорах
Равнопролётная балка на упруго оседающих опорах — п. 5.5.5, формулы (5.154)–(5.156), рис. 5.51 Дата формирования: 01.09.2026 12:57
1. Исходные данные
Параметр
Обозн.
Значение
Ед.
Число пролётов
\(n\)
5
—
Пролёт
\(l\)
5.000
м
Изгибная жёсткость
\(EI\)
\(20000\)
кН·м²
Отпорность промежуточных опор
\(\varkappa\)
\(4000\)
кН/м
Левый конец
—
упругая опора, κ₀ = \(6000\) кН/м
—
Правый конец
—
упругая опора, κ_n = \(6000\) кН/м
—
\(a\), м
\(b\), м
\(q_1\), кН/м
\(q_2\), кН/м
0.000
25.000
18.000
18.000
\(x\), м
\(P\), кН
12.500
60.000
Расчётная схема; все опоры упругие, реакция V = κv
2. Отпорность опоры и отвлечённое число c
(5.154)\[V_n=-P_n=\varkappa\,v_n\]
Реакция пропорциональна прогибу опорного сечения и потому заранее неизвестна: эпюра Q получает над каждой опорой скачок, равный реакции. Неизвестными остаются только четыре начальных параметра.
Функции влияния (5.155) здесь вычисляются, а не берутся из таблицы. По существу это элементы степеней матрицы перехода: через пролёт состояние переносится обычными уравнениями метода начальных параметров, а над упругой опорой поперечная сила получает скачок κv. В безразмерных переменных y = (v, φl, Ml²/EI, Ql³/EI):
Грузовые члены {·}n — свободная часть переноса до опоры n; их же даёт развёртывание (5.156) через функции влияния.
\(n\)
\(\{v_n\}\)
\(\{\varphi_n\}\)
\(\{M_n\}\)
\(\{Q_n\}\)
(5.156): \(\{v_n\}\)
\(\{\varphi_n\}\)
\(\{M_n\}\)
\(\{Q_n\}\)
1
\(0.02344\)
\(0.01875\)
\(-225\)
\(-90\)
\(0.02344\)
\(0.01875\)
\(-225\)
\(-90\)
2
\(0.27734\)
\(0.09141\)
\(-431.25\)
\(-86.25\)
\(0.27734\)
\(0.09141\)
\(-431.25\)
\(-86.25\)
3
\(-0.0306\)
\(-0.41211\)
\(4309.375\)
\(873.125\)
\(-0.0306\)
\(-0.41211\)
\(4309.375\)
\(873.125\)
4
\(-5.54308\)
\(-1.93991\)
\(7838.02083\)
\(660.72917\)
\(-5.54308\)
\(-1.93991\)
\(7838.02083\)
\(660.72917\)
5
\(2.28995\)
\(9.56407\)
\(-99944.87847\)
\(-21601.57986\)
\(2.28995\)
\(9.56407\)
\(-99944.87847\)
\(-21601.57986\)
6. Проверки
Проверка
Требуется
Относительная невязка
Равновесие ΣY: ΣV = ΣP
510.0000 = 510.0000
\(3.0094\cdot 10^{-15}\)
Условие упругой опоры V = κv
выполняется
\(7.5359\cdot 10^{-14}\)
Опорные ординаты по (5.155) против прямого переноса
совпадают
\(1.0658\cdot 10^{-12}\)
Эпюры от начальных параметров против переноса
совпадают
\(4.6628\cdot 10^{-13}\)
Замыкание эпюры Q за последней опорой
Q = 0
\(0\)
Замыкание эпюры M за последней опорой
M = 0
\(0\)
Независимое решение (жёсткие опоры с подобранными осадками)
совпадает
\(5.3845\cdot 10^{-9}\)
Опора
Осадка по (5.155), м
Осадка независимым способом, м
Разность
0
\(0.006418\)
\(0.006418\)
\(-1.6667\cdot 10^{-10}\)
1
\(0.023079\)
\(0.023079\)
\(-1.5543\cdot 10^{-15}\)
2
\(0.031044\)
\(0.031044\)
\(8.4932\cdot 10^{-15}\)
3
\(0.031044\)
\(0.031044\)
\(2.133\cdot 10^{-14}\)
4
\(0.023079\)
\(0.023079\)
\(-1.5099\cdot 10^{-13}\)
5
\(0.006418\)
\(0.006418\)
\(-1.6716\cdot 10^{-10}\)
Независимое решение получено так: балка ставится на жёсткие опоры с заданными осадками, реакции таких опор линейно зависят от осадок, R = Rнагр + K·δ, а упругая опора требует Ri = κiδi; отсюда (K − diag κ)·δ = −Rнагр. С методом начальных параметров этого пункта путь не связан ничем, кроме исходных данных.
7. Эпюры
Эпюра поперечных сил Q — над каждой опорой скачок, равный её реакцииЭпюра изгибающих моментов MЭпюра углов поворота φЭпюра прогибов v: ординаты над опорами — их осадки
Приложение. Использованные формулы
№
Формула
Назначение
5.154
\(V_n=-P_n=\varkappa v_n\)
реакция упругой опоры
5.155
\(v_n=v_0A_n+\varphi_0B_n-M_0C_n-Q_0D_n+\{v_n\}\) и ещё три