Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Трёхэтажная рама с ломаным ригелем (пример 5.12)

Сложная рама — распределение моментов методом последовательных приближений, п. 5.7.4
Дата формирования: 01.09.2026 12:25

1. Исходные данные

Узел	\(x\), м	\(y\), м	Закрепление	Уровень	\(P_x\), кН
K	0.000	0.000	заделка	0	0
L	8.000	0.000	заделка	0	0
M	13.000	0.000	заделка	0	0
G	0.000	6.000	свободный узел	1	4
H	8.000	6.000	свободный узел	1	0
I	13.000	6.000	свободный узел	1	0
D	0.000	12.000	свободный узел	2	3.4
E	8.000	12.000	свободный узел	2	0
F	13.000	12.000	свободный узел	2	0
A	0.000	16.000	свободный узел	3	1.6
B	8.000	16.500	свободный узел	3	0
C	13.000	16.000	свободный узел	3	0

Стержень	Узлы	\(l\), м	Вид	\(EI\), кН·м²	\(i=EI/l\), кН·м	Примыкание
1	A — B	8.016	ригель	60117.1	7500.00	оба конца жёстко
2	B — C	5.025	ригель	60299.3	12000.00	оба конца жёстко
3	D — A	4.000	стойка	6000.0	1500.00	оба конца жёстко
4	E — B	4.500	стойка	9000.0	2000.00	оба конца жёстко
5	F — C	4.000	стойка	4000.0	1000.00	оба конца жёстко
6	D — E	8.000	ригель	80000.0	10000.00	оба конца жёстко
7	E — F	5.000	ригель	80000.0	16000.00	оба конца жёстко
8	G — D	6.000	стойка	18000.0	3000.00	оба конца жёстко
9	H — E	6.000	стойка	24000.0	4000.00	оба конца жёстко
10	I — F	6.000	стойка	12000.0	2000.00	оба конца жёстко
11	G — H	8.000	ригель	80000.0	10000.00	оба конца жёстко
12	H — I	5.000	ригель	80000.0	16000.00	оба конца жёстко
13	K — G	6.000	стойка	30000.0	5000.00	оба конца жёстко
14	L — H	6.000	стойка	36000.0	6000.00	оба конца жёстко
15	M — I	6.000	стойка	24000.0	4000.00	оба конца жёстко

Стержень	Нагрузка	Положение	Направление
1	сила 4.50 кН	2.00 м	по вертикали вниз
1	сила 4.50 кН	4.01 м	по вертикали вниз
1	сила 4.50 кН	6.01 м	по вертикали вниз
2	сила 4.50 кН	1.67 м	по вертикали вниз
2	сила 4.50 кН	3.35 м	по вертикали вниз
6	сила 4.50 кН	2.00 м	по вертикали вниз
6	сила 4.50 кН	4.00 м	по вертикали вниз
6	сила 4.50 кН	6.00 м	по вертикали вниз
7	сила 4.50 кН	1.67 м	по вертикали вниз
7	сила 4.50 кН	3.33 м	по вертикали вниз
11	сила 4.50 кН	2.00 м	по вертикали вниз
11	сила 4.50 кН	4.00 м	по вертикали вниз
11	сила 4.50 кН	6.00 м	по вертикали вниз
12	сила 4.50 кН	1.67 м	по вертикали вниз
12	сила 4.50 кН	3.33 м	по вертикали вниз

Расчётная схема; в скобках — номера стержней

2. Правило знаков и коэффициенты метода

Положительными считаются моменты, вращающие узел по часовой стрелке (стр. 291). Отсюда следует, что при повороте вследствие смещения оси стержня по часовой стрелке в узле создаётся положительный момент. Отношение части момента, приходящейся на стержень, ко всему неуравновешенному моменту узла называется коэффициентом распределения узловых моментов:

\[\bar k=\frac{m_n}{\Sigma m}=\frac{i_n}{\Sigma i},\qquad i=\frac{EI}{l}\]

Отношение поперечной силы в стойке к сумме поперечных сил стоек этажа при его горизонтальном смещении называется коэффициентом распределения поперечных сил; момент в узле, вызванный линейным смещением, равен поперечной силе стойки, умноженной на плечо, равное для брусьев постоянного сечения половине длины стойки:

\[\gamma_n=\frac{i_n/h_n^{2}}{\Sigma\,i_k/h_k^{2}},\qquad M=\gamma_n Q\,\frac{h_n}{2}\]

Отношение момента на противоположном конце стержня к моменту в рассматриваемом узле называется коэффициентом переноса; для стержней постоянного сечения \(\beta=0{,}5\).

3. Коэффициенты распределения узловых моментов

Жёстко защемлённый узел не уравновешивается — он воспринимает любой момент, поэтому коэффициенты для него не нужны.

Узел	Стержень	\(i\) (приведённая)	\(\Sigma i\)	\(\bar k\)
G	8	3000.00	18000.00	\(3000/18000=0.1667\)
G	11	10000.00	18000.00	\(10000/18000=0.5556\)
G	13	5000.00	18000.00	\(5000/18000=0.2778\)
H	9	4000.00	36000.00	\(4000/36000=0.1111\)
H	11	10000.00	36000.00	\(10000/36000=0.2778\)
H	12	16000.00	36000.00	\(16000/36000=0.4444\)
H	14	6000.00	36000.00	\(6000/36000=0.1667\)
I	10	2000.00	22000.00	\(2000/22000=0.0909\)
I	12	16000.00	22000.00	\(16000/22000=0.7273\)
I	15	4000.00	22000.00	\(4000/22000=0.1818\)
D	3	1500.00	14500.00	\(1500/14500=0.1034\)
D	6	10000.00	14500.00	\(10000/14500=0.6897\)
D	8	3000.00	14500.00	\(3000/14500=0.2069\)
E	4	2000.00	32000.00	\(2000/32000=0.0625\)
E	6	10000.00	32000.00	\(10000/32000=0.3125\)
E	7	16000.00	32000.00	\(16000/32000=0.5000\)
E	9	4000.00	32000.00	\(4000/32000=0.1250\)
F	5	1000.00	19000.00	\(1000/19000=0.0526\)
F	7	16000.00	19000.00	\(16000/19000=0.8421\)
F	10	2000.00	19000.00	\(2000/19000=0.1053\)
A	1	7500.00	9000.00	\(7500/9000=0.8333\)
A	3	1500.00	9000.00	\(1500/9000=0.1667\)
B	1	7500.00	21500.00	\(7500/21500=0.3488\)
B	2	12000.00	21500.00	\(12000/21500=0.5581\)
B	4	2000.00	21500.00	\(2000/21500=0.0930\)
C	2	12000.00	13000.00	\(12000/13000=0.9231\)
C	5	1000.00	13000.00	\(1000/13000=0.0769\)

4. Этажи и коэффициенты распределения поперечных сил

Этаж образуют стойки между двумя соседними уровнями. Правая часть этажного уравнения — сумма горизонтальных сил, приложенных выше сечения, проведённого через стойки этажа; внеузловые горизонтальные нагрузки учитываются моментом \(W\) собственной нагрузки стойки относительно её нижнего узла (стр. 295):

\[\sum_n\frac{M_{\text{низ}}+M_{\text{верх}}+W_n}{h_n}=F_{\text{выше}},\qquad D=F_{\text{выше}}-\sum_n\frac{W_n}{h_n}\]

Этаж	Стойка	Узлы	\(h\), м	\(i/h^{2}\)	\(\Sigma\,i/h^{2}\)	\(\gamma\)
1	13	K — G	6.000	\(138.8889\)	\(416.6667\)	0.3333
1	14	L — H	6.000	\(166.6667\)	\(416.6667\)	0.4000
1	15	M — I	6.000	\(111.1111\)	\(416.6667\)	0.2667
2	8	G — D	6.000	\(83.3333\)	\(250\)	0.3333
2	9	H — E	6.000	\(111.1111\)	\(250\)	0.4444
2	10	I — F	6.000	\(55.5556\)	\(250\)	0.2222
3	3	D — A	4.000	\(93.75\)	\(255.0154\)	0.3676
3	4	E — B	4.500	\(98.7654\)	\(255.0154\)	0.3873
3	5	F — C	4.000	\(62.5\)	\(255.0154\)	0.2451

Этаж	\(F_{\text{выше}}\), кН	\(D\), кН
1	9	9
2	5	5
3	1.6	1.6

5. Начальные моменты защемления (строка 1)

В основной системе каждый стержень работает как балка с защемлёнными концами; моменты защемления берутся по формулам (5.292) и (5.295) п. 5.7.3 и переводятся в правило знаков настоящего пункта:

\[M_{\text{книга}}(\text{узел }i)=-M_A^{\,\text{н.з}},\qquad M_{\text{книга}}(\text{узел }j)=+M_B^{\,\text{н.з}}\]

Стержень	Узлы	\(M\) у первого узла, кН·м	\(M\) у второго узла, кН·м
1	A — B	11.25	-11.25
2	B — C	5	-5
6	D — E	11.25	-11.25
7	E — F	5	-5
11	G — H	11.25	-11.25
12	H — I	5	-5

6. Начальные моменты от смещения этажей (строка 2)

Сумма поперечных сил в стойках этажа умножается на множитель \(\gamma_n h_n/2\). Если местная нагрузка уже создала в стойках поперечную силу, начальное смещение подбирается так, чтобы этажное уравнение выполнялось сразу:

\[Q_s=D_s-\sum_n\frac{M_{\text{низ}}+M_{\text{верх}}}{h_n},\qquad M_n=\gamma_n Q_s\,\frac{h_n}{2}\]

Этаж	Стойка	\(Q_s\), кН	\(\gamma\)	\(h\), м	\(M\) внизу, кН·м	\(M\) вверху, кН·м
1	13	9	0.3333	6.000	9	9
1	14	9	0.4000	6.000	10.8	10.8
1	15	9	0.2667	6.000	7.2	7.2
2	8	5	0.3333	6.000	5	5
2	9	5	0.4444	6.000	6.667	6.667
2	10	5	0.2222	6.000	3.333	3.333
3	3	1.6	0.3676	4.000	1.176	1.176
3	4	1.6	0.3873	4.500	1.394	1.394
3	5	1.6	0.2451	4.000	0.784	0.784

7. Таблица распределения моментов

Строки повторяют порядок расчёта примера 5.12: распределение неуравновешенных узловых моментов со сменой знака, перенос на противоположные концы стержней с коэффициентом \(\beta=0{,}5\), корректировка линейного смещения этажей. Последняя строка — алгебраическая сумма, то есть истинные опорные моменты.

Начиная со строки 28 приращения становятся меньше единицы младшего разряда таблицы (\(0.005\) кН·м), поэтому строки 28–47 сведены в одну — их сумму. Итог от этого не меняется: он по-прежнему равен сумме всех строк.

Узлы	K	L	M	G			H
Стержни	13	14	15	8	11	13	9	11	12	14
\(\bar k\)	—	—	—	0.167	0.556	0.278	0.111	0.278	0.444	0.167
\(\gamma\)	0.333	0.400	0.267	0.333	—	0.333	0.444	—	—	0.400
1	—	—	—	—	11.25	—	—	-11.25	5	—
2	9	10.8	7.2	5	—	9	6.67	—	—	10.8
3	—	—	—	-4.21	-14.03	-7.01	-1.25	-3.12	-4.99	-1.87
4	-3.51	-0.93	-0.5	-1.8	-1.56	—	-0.11	-7.01	-2.01	—
5	2.47	2.97	1.98	2.42	—	2.47	3.23	—	—	2.97
6	—	—	—	-0.26	-0.85	-0.43	0.33	0.82	1.31	0.49
7	-0.21	0.25	-0.1	0.01	0.41	—	0.11	-0.43	-0.42	—
8	0.04	0.04	0.03	-0.01	—	0.04	-0.01	—	—	0.04
9	—	—	—	-0.07	-0.25	-0.12	0.08	0.2	0.31	0.12
10	-0.06	0.06	-0.05	-0.01	0.1	—	0.02	-0.12	-0.21	—
11	0.03	0.03	0.02	0.01	—	0.03	0.02	—	—	0.03
12	—	—	—	-0.02	-0.07	-0.04	0.03	0.07	0.12	0.04
13	-0.02	0.02	-0.02	—	0.04	—	—	-0.04	-0.06	—
14	0.01	0.01	—	—	—	0.01	—	—	—	0.01
15	—	—	—	-0.01	-0.02	-0.01	0.01	0.02	0.04	0.01
16	-0.01	0.01	-0.01	—	0.01	—	—	-0.01	-0.02	—
17	0.002	0.003	0.002	0.001	—	0.002	0.001	—	—	0.003
18	—	—	—	—	-0.01	—	—	0.01	0.01	0.01
19	—	—	—	—	—	—	—	—	-0.01	—
20	0.001	0.001	0.001	—	—	0.001	—	—	—	0.001
21	—	—	—	—	—	—	—	—	0.01	—
22	-0.001	0.001	-0.001	0.001	0.002	—	-0.001	-0.002	-0.003	—
23	0.0003	0.0004	0.0002	—	—	0.0003	—	—	—	0.0004
24	—	—	—	—	-0.002	-0.001	0.001	0.002	0.002	0.001
25	—	—	—	—	0.001	—	-0.001	-0.001	-0.001	—
26	0.0001	0.0002	0.0001	—	—	0.0001	—	—	—	0.0002
27	—	—	—	—	-0.001	—	—	0.001	0.001	—
28–47	—	0.001	—	—	—	—	—	—	—	0.001
48	7.74	13.26	8.55	1.06	-4.99	3.93	9.13	-20.86	-0.93	12.66

Продолжение таблицы распределения моментов

Узлы	I			D			E
Стержни	10	12	15	3	6	8	4	6	7	9
\(\bar k\)	0.091	0.727	0.182	0.103	0.690	0.207	0.062	0.312	0.500	0.125
\(\gamma\)	0.222	—	0.267	0.368	—	0.333	0.387	—	—	0.444
1	—	-5	—	—	11.25	—	—	-11.25	5	—
2	3.33	—	7.2	1.18	—	5	1.39	—	—	6.67
3	-0.5	-4.02	-1.01	-1.8	-12.02	-3.61	-0.11	-0.57	-0.91	-0.23
4	0.05	-2.49	—	-1.04	-0.28	-2.1	0.23	-6.01	0.37	-0.62
5	1.62	—	1.98	0.88	—	2.42	1.05	—	—	3.23
6	-0.1	-0.83	-0.21	0.01	0.08	0.02	0.11	0.55	0.88	0.22
7	-0.09	0.65	—	-0.07	0.27	-0.13	0.1	0.04	-0.7	0.16
8	-0.01	—	0.03	0.02	—	-0.01	0.03	—	—	-0.01
9	-0.05	-0.43	-0.11	-0.01	-0.06	-0.02	0.02	0.12	0.19	0.05
10	-0.02	0.16	—	-0.03	0.06	-0.04	0.05	-0.03	-0.13	0.04
11	0.01	—	0.02	0.01	—	0.01	0.01	—	—	0.02
12	-0.02	-0.12	-0.03	—	-0.01	—	—	0.01	0.02	0.01
13	—	0.06	—	-0.02	0.01	-0.01	0.02	—	-0.02	0.01
14	—	—	—	0.01	—	—	0.01	—	—	—
15	-0.01	-0.04	-0.01	—	0.01	—	—	-0.01	-0.01	—
16	—	0.02	—	-0.01	—	—	0.01	—	—	—
17	0.001	—	0.002	0.001	—	0.001	0.001	—	—	0.001
18	—	-0.02	—	—	0.01	—	—	-0.01	-0.01	—
19	—	0.01	—	—	—	—	—	—	—	—
20	—	—	0.001	0.001	—	—	0.001	—	—	—
21	—	-0.01	—	—	—	—	—	—	-0.01	—
22	—	0.003	—	-0.001	-0.002	-0.001	0.002	0.002	0.004	0.001
23	—	—	0.0002	0.0002	—	—	0.0003	—	—	—
24	—	-0.003	-0.001	—	0.003	0.001	-0.001	-0.003	-0.005	-0.001
25	—	0.001	—	-0.001	-0.001	—	0.001	0.001	0.002	—
26	—	—	0.0001	0.0002	—	—	0.0002	—	—	—
27	—	-0.001	—	—	0.002	—	—	-0.002	-0.003	-0.001
28–47	—	—	—	—	—	—	0.001	—	—	—
48	4.21	-12.08	7.87	-0.87	-0.68	1.55	2.93	-17.15	4.67	9.55

Продолжение таблицы распределения моментов

Узлы	F			A		B			C
Стержни	5	7	10	1	3	1	2	4	2	5
\(\bar k\)	0.053	0.842	0.105	0.833	0.167	0.349	0.558	0.093	0.923	0.077
\(\gamma\)	0.245	—	0.222	—	0.368	—	—	0.387	—	0.245
1	—	-5	—	11.25	—	-11.25	5	—	-5	—
2	0.78	—	3.33	—	1.18	—	—	1.39	—	0.78
3	0.05	0.74	0.09	-10.36	-2.07	1.69	2.71	0.45	3.89	0.32
4	0.16	-0.45	-0.25	0.85	-0.9	-5.18	1.95	-0.06	1.36	0.02
5	0.59	—	1.62	—	0.88	—	—	1.05	—	0.59
6	-0.09	-1.4	-0.18	-0.69	-0.14	0.78	1.25	0.21	-1.82	-0.15
7	-0.08	0.44	-0.05	0.39	0.01	-0.35	-0.91	0.05	0.63	-0.04
8	0.02	—	-0.01	—	0.02	—	—	0.03	—	0.02
9	-0.02	-0.27	-0.03	-0.35	-0.07	0.41	0.65	0.11	-0.55	-0.05
10	-0.02	0.09	-0.03	0.2	—	-0.17	-0.28	0.01	0.33	-0.01
11	—	—	0.01	—	0.01	—	—	0.01	—	—
12	—	-0.05	-0.01	-0.17	-0.03	0.15	0.24	0.04	-0.3	-0.02
13	-0.01	0.01	-0.01	0.08	—	-0.09	-0.15	—	0.12	—
14	—	—	—	—	0.01	—	—	0.01	—	—
15	—	—	—	-0.07	-0.01	0.08	0.13	0.02	-0.11	-0.01
16	—	—	—	0.04	—	-0.03	-0.06	—	0.06	—
17	0.001	—	0.001	—	0.001	—	—	0.001	—	0.001
18	—	0.01	—	-0.03	-0.01	0.03	0.05	0.01	-0.06	—
19	—	-0.01	—	0.02	—	-0.02	-0.03	—	0.03	—
20	0.001	—	—	—	0.001	—	—	0.001	—	0.001
21	—	0.01	—	-0.01	—	0.02	0.03	—	-0.02	—
22	—	—	—	0.01	—	-0.01	-0.01	—	0.01	—
23	0.0001	—	—	—	0.0002	—	—	0.0003	—	0.0001
24	—	—	—	-0.01	—	0.01	0.01	—	-0.01	—
25	—	—	—	—	—	—	-0.01	—	0.01	—
26	0.0001	—	—	—	0.0002	—	—	0.0002	—	0.0001
27	—	—	—	—	—	—	0.01	—	-0.01	—
28–47	—	—	—	—	—	—	—	0.001	—	—
48	1.38	-5.88	4.49	1.14	-1.14	-13.92	10.58	3.34	-1.45	1.45

Строки	Содержание	Как получены
1	моменты защемления от местной нагрузки	формулы (5.292), (5.295)
2	начальные моменты от смещения этажей	\(\gamma_n Q_s h_n/2\)
3, 6, … , 45	распределение узловых моментов	\(-\bar k\left(\Sigma M-L\right)\)
4, 7, … , 46	перенос на противоположные концы	\(\beta=0{,}5\) от распределённого момента
5, 8, … , 47	корректировка смещения этажей	\(-\gamma_n Q h_n/2\) по невязке этажного уравнения
48	истинные опорные моменты	алгебраическая сумма всех строк

8. Сходимость

Процесс приближений заканчивается на цикле, в котором и неуравновешенные этажные поперечные силы, и распределяемые моменты являются малыми величинами, практически не отражающимися на требуемой точности расчёта (стр. 295).

Цикл	наибольший распределяемый момент, кН·м	наибольший корректирующий момент, кН·м
1	\(14.028\)	\(3.232\)
2	\(1.816\)	\(0.044\)
3	\(0.654\)	\(0.034\)
4	\(0.298\)	\(0.008\)
5	\(0.126\)	\(0.003\)
6	\(0.059\)	\(0.001\)
7	\(0.026\)	\(3.6408\cdot 10^{-4}\)
8	\(0.012\)	\(2.0608\cdot 10^{-4}\)
9	\(0.005\)	\(6.8386\cdot 10^{-5}\)
10	\(0.003\)	\(3.6923\cdot 10^{-5}\)
11	\(0.001\)	\(1.5731\cdot 10^{-5}\)
12	\(5.7249\cdot 10^{-4}\)	\(7.8524\cdot 10^{-6}\)
13	\(2.6309\cdot 10^{-4}\)	\(3.8654\cdot 10^{-6}\)
14	\(1.2748\cdot 10^{-4}\)	\(1.936\cdot 10^{-6}\)
15	\(5.9368\cdot 10^{-5}\)	\(9.562\cdot 10^{-7}\)

Расчёт оборван на цикле 15: приращения стали меньше \(1\cdot 10^{-4}\) кН·м.

9. Опорные моменты и эпюры

Стержень	Узлы	\(M\) у 1-го узла	\(M\) у 2-го узла	\(M_A\)	\(M_B\)	\(Q_A\), кН	\(Q_B\), кН	\(N\), кН
1	A — B	1.14	-13.925	-1.14	-13.925	5.142	-8.332	-2.428
2	B — C	10.582	-1.453	-10.582	-1.453	6.294	-2.661	-0.083
3	D — A	-0.869	-1.14	0.869	-1.14	-0.502	-0.502	-5.283
4	E — B	2.928	3.342	-2.928	3.342	1.393	1.393	-14.472
5	F — C	1.381	1.453	-1.381	1.453	0.709	0.709	-2.745
6	D — E	-0.684	-17.148	0.684	-17.148	4.521	-8.979	-2.462
7	E — F	4.672	-5.875	-4.672	-5.875	4.259	-4.741	-0.742
8	G — D	1.063	1.552	-1.063	1.552	0.436	0.436	-9.804
9	H — E	9.132	9.548	-9.132	9.548	3.113	3.113	-27.71
10	I — F	4.21	4.494	-4.21	4.494	1.451	1.451	-7.486
11	G — H	-4.989	-20.863	4.989	-20.863	3.518	-9.982	-2.492
12	H — I	-0.929	-12.077	0.929	-12.077	1.899	-7.101	-1.286
13	K — G	7.736	3.926	-7.736	3.926	1.944	1.944	-13.323
14	L — H	13.259	12.661	-13.259	12.661	4.32	4.32	-39.59
15	M — I	8.552	7.867	-8.552	7.867	2.736	2.736	-14.587

Первые два столбца — правило знаков справочника (момент, вращающий узел по часовой стрелке, положителен), следующие два — обычное правило эпюр: \(M_A=-M_{\text{книга}}(i)\), \(M_B=+M_{\text{книга}}(j)\). Поперечные силы найдены из статики стержня по концевым моментам, продольные — из равновесия узлов.

Наибольший по модулю изгибающий момент \(M_{\max}=-20.8635\ \text{кН}\cdot\text{м}\) — стержень 11, сечение 8.000 м от первого узла.

Эпюра изгибающих моментов — ординаты отложены со стороны растянутого волокна

Эпюра поперечных сил

Эпюра продольных сил (сжатие отрицательно)

Узел	\(H\), кН (вправо +)	\(V\), кН (вверх +)	\(M\), кН·м (против часовой +)
K	-1.944	13.323	7.736
L	-4.32	39.59	13.259
M	-2.736	14.587	8.552

10. Проверки

Сошедшийся процесс обязан удовлетворять тем же уравнениям, что и метод перемещений: моментному равновесию каждого узла и этажным уравнениям поперечных сил.

Узел	\(\Sigma M\), кН·м	\(L\), кН·м	невязка
G	0	0	\(9.1764\cdot 10^{-6}\)
H	0	0	\(-1.7679\cdot 10^{-5}\)
I	0	0	\(1.0907\cdot 10^{-5}\)
D	0	0	\(-1.7704\cdot 10^{-5}\)
E	0	0	\(3.9732\cdot 10^{-5}\)
F	0	0	\(-2.3717\cdot 10^{-5}\)
A	0	0	\(2.0769\cdot 10^{-5}\)
B	0	0	\(-4.964\cdot 10^{-5}\)
C	0	0	\(3.1096\cdot 10^{-5}\)

Этаж	\(\Sigma(M_{\text{низ}}+M_{\text{верх}}+W)/h\), кН	\(F_{\text{выше}}\), кН	невязка
1	9	9	\(0\)
2	5	5	\(0\)
3	1.6	1.6	\(4.4409\cdot 10^{-16}\)

Проверка	Величина	Значение
Сверка с методом перемещений (п. 5.7.3)	наибольшее расхождение концевых моментов	\(2.2273\cdot 10^{-4}\) кН·м
То же в долях наибольшего момента	—	\(1.0676\cdot 10^{-5}\)

Метод перемещений решает ту же систему уравнений напрямую, поэтому совпадение подтверждает и сходимость приближений, и правильность знаков.

11. Углы поворота и прогибы

Метод последовательных приближений даёт опорные моменты без нахождения перемещений. Если они всё же нужны, упругая линия получается интегрированием кривизны вдоль стержней:

\[\varphi(x)=\varphi_A+\int_0^{x}\frac{M\,dx}{EI},\qquad w(x)=w_A+\int_0^{x}\varphi\,dx\]

Узел	\(\varphi\), мрад	\(u_x\), мм	\(u_y\), мм
K	\(-3.975\cdot 10^{-7}\)	\(1.1303\cdot 10^{-6}\)	\(-3.1168\cdot 10^{-6}\)
L	\(-3.975\cdot 10^{-7}\)	\(-4.6472\cdot 10^{-7}\)	\(7.8651\cdot 10^{-6}\)
M	\(-3.975\cdot 10^{-7}\)	\(-6.6562\cdot 10^{-7}\)	\(-4.7483\cdot 10^{-6}\)
G	\(-0.381\)	\(2.309\)	\(-1.2709\cdot 10^{-5}\)
H	\(-0.05\)	\(2.309\)	\(-1.5889\cdot 10^{-5}\)
I	\(-0.086\)	\(2.309\)	\(-1.7877\cdot 10^{-5}\)
D	\(-0.299\)	\(4.787\)	\(-2.4474\cdot 10^{-5}\)
E	\(0.002\)	\(4.787\)	\(-4.0828\cdot 10^{-5}\)
F	\(-0.015\)	\(4.787\)	\(-3.1351\cdot 10^{-5}\)
A	\(-0.39\)	\(5.719\)	\(-3.0479\cdot 10^{-5}\)
B	\(0.106\)	\(5.719\)	\(-3.3767\cdot 10^{-5}\)
C	\(0.021\)	\(5.719\)	\(-3.5743\cdot 10^{-5}\)

Проверка	Выражение	Невязка	Ед.
Упругая линия сходится на втором торце стержня	\(\varphi(l)-\varphi_B\)	\(1.3146\cdot 10^{-18}\)	рад
То же по прогибу	\(w(l)-w_B\)	\(1.3174\cdot 10^{-8}\)	м

Эпюра углов поворота сечений (против часовой стрелки — положительные)

Эпюра прогибов: у ригелей подписан прогиб вниз, у стоек — смещение вправо; ординаты отложены в сторону смещения

Изогнутая ось рамы: перемещения показаны в увеличенном масштабе