Плоская двухпоясная вантовая система — п. 11.2.3 справочника, формулы (11.31)–(11.36)
Дата формирования: 01.09.2026 13:00
| Величина | Обозначение | Значение | Ед. |
|---|---|---|---|
| Полупролёт | \(l\) | \(20\) | м |
| Полный пролёт | \(2l\) | \(40\) | м |
| Стрела напрягающего пояса (вверх) | \(f_1\) | \(1.5\) | м |
| Жёсткость напрягающего пояса | \(EF_1\) | \(150000\) | кН |
| Стрела несущего пояса (вниз) | \(f_2\) | \(2.5\) | м |
| Жёсткость несущего пояса | \(EF_2\) | \(250000\) | кН |
| Нагрузка на левой половине | \(q^{л}\) | \(3\) | кН/м |
| Нагрузка на правой половине | \(q^{п}\) | \(8\) | кН/м |
| Разнос точек крепления поясов на опоре | \(e\) | \(0\) | м |
| Шаг связей между поясами | \(d\) | \(4\) | м |
| Доля нагрузки на напрягающий пояс | \(\alpha\) | \(0\) | — |
Начальные очертания поясов — квадратные параболы; такая форма равновесна для равномерно распределённой нагрузки:
Стрелы при этом остаются стрелами: каждый пояс на полупролёте меняет ординату ровно на свою \(f\). Расстояние между поясами
равно \(e\) на опоре и \(f_1+f_2-e=4\ \text{м}\) в середине. При \(e=0\ \text{м}\) и \(f_1+f_2=4\ \text{м}\) — пояса сходятся у опор — система линзовидная. Производные \(z'=\pm2f x/l^{2}\) и \(z''=\pm2f/l^{2}\) от \(e\) не зависят вовсе, поэтому ни одно число расчёта от этого выбора не меняется — только чертёж, таблица очертаний и то, сжаты связи между поясами или растянуты.
Система настолько полога, что
— и это уничтожает различие между усилиями в вантах \(T_{1(2)}\) и их горизонтальными проекциями — распорами \(H_{1(2)}\), а также между вертикальной и нормальной к ванте составляющей внешней нагрузки. Связи между поясами считаются недеформируемыми и распределёнными непрерывно, поэтому прогиб у обоих поясов общий:
| Величина | Значение | Ед. |
|---|---|---|
| \(\Psi_1=1/EF_1\) | \(6.6667\cdot 10^{-6}\) | 1/кН |
| \(\eta_1=f_1/l\) | \(0.075\) | — |
| \(\Psi_2=1/EF_2\) | \(4\cdot 10^{-6}\) | 1/кН |
| \(\eta_2=f_2/l\) | \(0.125\) | — |
| \(k=\delta_{11}/(2l)\) | \(0\) | м/(кН·м) |
| \(P=\frac{l}{4}\left(q^{п}-q^{л}\right)\) | \(25\) | кН |
| \(Q=\frac{l}{4}\left(q^{п}+q^{л}\right)\) | \(55\) | кН |
В ненагруженной системе усилия предварительного напряжения уравновешивают друг друга через связи: кривизна поясов противоположна, поэтому
Первые два уравнения — совместности: упругая, температурная и опорная деформации пояса равны изменению его длины от изменения очертания. Третье и четвёртое — равновесия кососимметричной и симметричной частей нагрузки:
Система нелинейная. По книге она решается шаговым методом: нагрузка прикладывается малыми долями, и на каждом этапе решается линеаризованная система (табл. 11.3), коэффициенты которой — производные уравнений (11.33) в достигнутом состоянии. При этом
| Этап | доля нагрузки | \(T_1\), кН | \(T_2\), кН | \(V\) | \(Z\) | \(\Delta T_2\), кН |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.050 | \(394.08461\) | \(256.43164\) | \(0.00195\) | \(3.9436\cdot 10^{-4}\) | \(16.4316\) |
| 2 | 0.100 | \(388.61159\) | \(273.06866\) | \(0.00381\) | \(7.8074\cdot 10^{-4}\) | \(16.637\) |
| 3 | 0.150 | \(383.3885\) | \(289.80803\) | \(0.0056\) | \(0.00116\) | \(16.7394\) |
| 10 | 0.500 | \(352.2193\) | \(408.69408\) | \(0.01645\) | \(0.00372\) | \(17.0822\) |
| 19 | 0.950 | \(320.4212\) | \(562.12789\) | \(0.02693\) | \(0.00682\) | \(16.9679\) |
| 20 | 1.000 | \(317.22552\) | \(579.06581\) | \(0.02791\) | \(0.00716\) | \(16.9379\) |
Тот же ответ даёт решение полной системы методом Ньютона (сошлось за 3 итераций) — это независимая проверка шагового хода:
| Величина | Шаговый метод | Ньютон | Расхождение |
|---|---|---|---|
| \(T_1\), кН | \(317.22552\) | \(317.25121\) | \(0.026\) |
| \(T_2\), кН | \(579.06581\) | \(579.05021\) | \(-0.016\) |
| \(V\) | \(0.027908\) | \(0.027892\) | \(-1.536\cdot 10^{-5}\) |
| \(Z\) | \(0.007155\) | \(0.007154\) | \(-8.7619\cdot 10^{-7}\) |
| Величина | Значение | Ед. |
|---|---|---|
| Усилие в напрягающем поясе \(T_1\) | \(317.25121\) | кН |
| Усилие в несущем поясе \(T_2\) | \(579.05021\) | кН |
| Сумма \(T=T_1+T_2\) | \(896.30142\) | кН |
| Прогиб в середине \(W_0=Zl\) | \(0.14309\) | м |
| Параметр кососимметричного прогиба \(V\) | \(0.027892\) | — |
| Относительный прогиб \(Z=W_0/l\) | \(0.007154\) | — |
Горизонтальные перемещения середин поясов — они появляются только от кососимметричной части нагрузки:
Нагрузка распределяется между поясами по их кривизне — каждый пояс воспринимает \(p=-Tz''\), где \(z\) — очертание после деформации. Кривизна прогиба своя в каждой половине пролёта, \(w''=-2W_0/l^{2}\mp2V/l\), поэтому доли выписаны отдельно слева и справа:
| Пояс | Слева, кН/м | Справа, кН/м |
|---|---|---|
| Напрягающий | \(-3.0373\) | \(-1.2675\) |
| Несущий | \(6.0373\) | \(9.2675\) |
| Сумма | \(3\) | \(8\) |
| Приложено | \(3\) | \(8\) |
| Передаётся связями \(F_1\) | \(-3.0373\) | \(-1.2675\) |
По третьей расчётной предпосылке связи считаются распределёнными непрерывно, поэтому их шаг не входит ни в одно уравнение (11.33): ни усилия в поясах, ни прогиб от него не зависят. Шаг нужен лишь для того, чтобы разнести погонное взаимодействие поясов по отдельным элементам.
Из нагрузки, приходящейся на напрягающий пояс, доля \(\alpha q\) приложена к нему извне, остальное передают связи:
Пролёт разбит на 10 панелей, шаг связей 4.0000 м. Усилие в связи равно погонному, умноженному на грузовую длину: у рядовой связи это шаг, у средней — по половине панели слева и справа, где погонные усилия разные. Приопорные полупанели передают своё прямо в опоры:
| № | \(x\), м | Длина, м | Грузовая длина, м | \(N\), кН | Тип |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(-16\) | \(1.44\) | \(4\) | \(12.1492\) | сжатие |
| 2 | \(-12\) | \(2.56\) | \(4\) | \(12.1492\) | сжатие |
| 3 | \(-8\) | \(3.36\) | \(4\) | \(12.1492\) | сжатие |
| 4 | \(-4\) | \(3.84\) | \(4\) | \(12.1492\) | сжатие |
| 5 | \(0\) | \(4\) | \(4\) | \(8.6096\) | сжатие |
| 6 | \(4\) | \(3.84\) | \(4\) | \(5.0701\) | сжатие |
| 7 | \(8\) | \(3.36\) | \(4\) | \(5.0701\) | сжатие |
| 8 | \(12\) | \(2.56\) | \(4\) | \(5.0701\) | сжатие |
| 9 | \(16\) | \(1.44\) | \(4\) | \(5.0701\) | сжатие |
Проверяется то, что в решении не участвовало.
| Проверка | Выражение | Невязка | Ед. |
|---|---|---|---|
| Уравнения (11.33) в найденной точке | \(\max|F_i|\) | \(2.4395\cdot 10^{-19}\) | — |
| Совместность несущего пояса прямым интегрированием | \(\frac{1}{2l}\int\left(z_2'w'+\tfrac12 w'^{2}\right)dx-\varepsilon_2\) | \(6.5052\cdot 10^{-19}\) | — |
| То же для напрягающего пояса | \(\frac{1}{2l}\int\left(z_1'w'+\tfrac12 w'^{2}\right)dx-\varepsilon_1\) | \(0\) | — |
| Равновесие по вертикали в каждой половине пролёта | \(\max\left|p_1+p_2-q\right|\) | \(1.3323\cdot 10^{-15}\) | кН/м |
| Перемещения (11.35) интегрированием деформации | \(\varepsilon l-\int_{-l}^{0}\left(z'w'+\tfrac12 w'^{2}\right)dx-U^{0}\) | \(3.4694\cdot 10^{-18}\) | м |
| Шаговый метод против Ньютона | \(\max|\Delta T|\) | \(0.026\) | кН |
| Сумма усилий в связях с приопорными долями | \(\sum N+\tfrac{d}{2}\left(F_1^{л}+F_1^{п}\right)-\left(F_1^{л}+F_1^{п}\right)l\) | \(1.4211\cdot 10^{-14}\) | кН |