Обыкновенная балка — метод начальных параметров, п. 5.5.1, формулы (5.119)–(5.122)
Дата формирования: 01.09.2026 12:31
| Параметр | Обозн. | Значение | Ед. |
|---|---|---|---|
| Длина балки | \(L\) | 12.000 | м |
| Закрепление левого конца | — | шарнирная опора | — |
| Закрепление правого конца | — | шарнирная опора | — |
| Изгибная жёсткость | \(EI\) | \(20000\) | кН·м² |
| Промежуточных опор | — | 1 | — |
| \(x\), м | Осадка \(\delta\), м |
|---|---|
| 6.000 | 0.00000 |
| \(a\), м | \(b\), м | \(q_1\), кН/м | \(q_2\), кН/м |
|---|---|---|---|
| 0.000 | 6.000 | 20.000 | 20.000 |
| \(x\), м | \(P\), кН (вниз +) |
|---|---|
| 9.000 | 40.000 |
Начало координат взято на левом конце, ось x направлена вправо. Силы и распределённая нагрузка положительны вниз, прогиб положителен вниз, реакции опор — вверх. Сосредоточенный момент прибавляется к M со знаком «плюс».
Через значения в начальном сечении выражаются ординаты всех четырёх эпюр:
Неизвестных 5: четыре начальных параметра \(Q_0,\;M_0,\;\varphi_0,\;v_0\), реакции 1 промежуточной опоры \(X_i\). Столько же и условий:
| № | Сечение x, м | Условие | Откуда |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.000 | \(v(0)=0\) | шарнирная опора |
| 2 | 0.000 | \(M(0)=0\) | шарнирная опора |
| 3 | 12.000 | \(v(12)=0\) | шарнирная опора |
| 4 | 12.000 | \(M(12)=0\) | шарнирная опора |
| 5 | 6.000 | \(v(6)=0\) | промежуточная шарнирная опора |
Подставлены только заданные нагрузки; реакции промежуточных опор и изломы в шарнирах войдут в систему как неизвестные. Угловые скобки — скобки Маколея: слагаемое учитывается лишь при x > u.
Ординаты линейно зависят от неизвестных, поэтому коэффициент \(a_{ij}\) — это значение i-го условия при \(u_j=1\) и нулевых остальных, а свободный член — значение при всех нулевых неизвестных, взятое с обратным знаком.
| № | \(Q_0\) | \(M_0\) | \(\varphi_0\) | \(v_0\) | \(X_{1}\) | = правая часть |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| 2 | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| 3 | \(-0.0144\) | \(-0.0036\) | \(12\) | \(1\) | \(-0.0018\) | \(-0.819\) |
| 4 | \(12\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(6\) | \(1200\) |
| 5 | \(-0.0018\) | \(-9\cdot 10^{-4}\) | \(6\) | \(1\) | \(0\) | \(-0.054\) |
Решение системы (метод Гаусса с выбором главного элемента):
| Начальный параметр | Значение | Единицы |
|---|---|---|
| \(Q_0\) | 48.75000 | кН |
| \(M_0\) | 0.00000 | кН·м |
| \(\varphi_0\) | \(0.005625\) | рад |
| \(v_0\) | \(0\) | м |
| Опора x, м | Реакция X, кН |
|---|---|
| 6.000 | 102.5000 |
Уравнения (5.119)–(5.122) равновесия не навязывают: оно выполняется само, если начальные параметры найдены верно. Поэтому обе суммы — настоящая проверка.
| Условие | x, м | Требуется | Получено | Невязка |
|---|---|---|---|---|
| шарнирная опора | 0.000 | 0.000000 | \(0\) | \(0\) |
| шарнирная опора | 0.000 | 0.000000 | \(0\) | \(0\) |
| шарнирная опора | 12.000 | 0.000000 | \(2.5049\cdot 10^{-15}\) | \(2.5049\cdot 10^{-15}\) |
| шарнирная опора | 12.000 | 0.000000 | \(-7.9581\cdot 10^{-12}\) | \(-7.9581\cdot 10^{-12}\) |
| промежуточная шарнирная опора | 6.000 | 0.000000 | \(1.5959\cdot 10^{-16}\) | \(1.5959\cdot 10^{-16}\) |
Наибольшая невязка граничных условий — \(7.9581\cdot 10^{-12}\) (относительная \(7.9581\cdot 10^{-12}\)).
Внутри участка нагрузка не меняется, поэтому Q(x) и M(x) — многочлены. Экстремум эпюры M лежит там, где Q = 0.
На концах участка: \(Q=48.750\to-71.250\) кН, \(M=0.000\to-67.500\) кН·м. Экстремум \(M=59.414\) кН·м при \(x=2.437\) м.
На концах участка: \(Q=31.250\to31.250\) кН, \(M=-67.500\to26.250\) кН·м.
На концах участка: \(Q=-8.750\to-8.750\) кН, \(M=26.250\to0.000\) кН·м.
| \(x\), м | \(Q\), кН | \(M\), кН·м | \(\varphi\), рад | \(v\), м | Сечение |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.000 | 48.750 | 0.000 | \(0.00562\) | \(6.75\cdot 10^{-11}\) | левый конец: шарнирная опора; начало нагрузки |
| 6.000 | -71.250 / 31.250 | -67.500 | \(-0.00225\) | \(2.7\cdot 10^{-11}\) | промежуточная опора; конец нагрузки |
| 9.000 | 31.250 / -8.750 | 26.250 | \(8.4375\cdot 10^{-4}\) | \(0.00141\) | сила 40 кН |
| 12.000 | -8.750 | 0.000 | \(-0.00113\) | \(1.3516\cdot 10^{-11}\) | правый конец: шарнирная опора |
Через дробь показаны ординаты слева и справа от разрыва.
| Величина | Слева | Справа | Ед. |
|---|---|---|---|
| \(Q\) | -11.2500 | -11.2500 | кН |
| \(M\) | 56.2500 | 56.2500 | кН·м |
| \(\varphi\) | \(-8.4375\cdot 10^{-4}\) | \(-8.4375\cdot 10^{-4}\) | рад |
| \(v\) | \(0.009281\) | \(0.009281\) | м |
| Величина | Наибольшее по модулю | Сечение x, м |
|---|---|---|
| Поперечная сила Q, кН | -71.250 | 6.000 |
| Изгибающий момент M, кН·м | -67.500 | 6.000 |
| Угол поворота φ, рад | \(0.00562\) | 0.000 |
| Прогиб v, м | \(0.00941\) | 2.700 |
| Сечение x, м | Реакция R, кН (вверх +) |
|---|---|
| 0.000 | 48.7500 |
| 6.000 | 102.5000 |
| 12.000 | 8.7500 |
Прогиб наибольший по модулю — \(0.00941\) м (9.41 мм) в сечении x = 2.700 м; относительный прогиб v/L = 1/1276.
| № | Формула | Назначение |
|---|---|---|
| 5.119 | \(Q_x=Q_0-\sum P-\int p\,dx\) | эпюра поперечных сил |
| 5.120 | \(M_x=M_0+Q_0x-\sum P(x-u)+\sum m-\int p(x-u)dx\) | эпюра изгибающих моментов |
| 5.121 | \(EI\varphi_x=EI\varphi_0-M_0x-\dfrac{Q_0x^{2}}{2}+\sum\dfrac{P(x-u)^{2}}{2}-\sum m(x-u)+\ldots\) | углы поворота при постоянном сечении |
| 5.122 | \(EIv_x=EIv_0+EI\varphi_0x-\dfrac{M_0x^{2}}{2}-\dfrac{Q_0x^{3}}{6}+\sum\dfrac{P(x-u)^{3}}{6}+\ldots\) | прогибы при постоянном сечении |
| 5.123 | \(1/GF_y=0\) | деформация сдвига не учитывается |
| 5.124 | \(\varphi_x=\varphi_0-M_0F-Q_0S+\sum PS-\sum mF+\ldots\) | углы поворота при переменном сечении |
| 5.126 | \(v_x=v_0+\varphi_0x-M_0\hat S-Q_0\hat I+\sum P\hat I-\sum m\hat S+\ldots\) | прогибы при переменном сечении |
| 5.127 | \(\hat S=(x-u)F-S;\;\hat I=(x-u)S-I;\;\hat K=(x-u)I-K;\;\hat L=(x-u)K-L\) | комоменты эпюры гибкости |