Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет).
Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.
Трёхшарнирная арка — расчёт на постоянную нагрузку Расчёт по п. 5.6.2 «Трёхшарнирная арка. Реакции и усилия при постоянной нагрузке»
1. Исходные данные Параметр Обозн. Значение Ед. Пролёт \(l\) 24.000 м Стрела подъёма (превышение шарнира C над A ) \(f\) 6.000 м Абсцисса ключевого шарнира \(x_C\) 12.000 м Превышение опоры B над A \(y_B\) 0.000 м Очертание оси — квадратная парабола — Число участков разбивки \(n\) 8 —
Распределённая нагрузка № Вид нагрузки \(q_1\) \(q_2\) \(x_1\), м \(x_2\), м \(R\), кН 1 равномерно распределённая вертикальная 20.000 20.000 0.000 24.000 480.000
Интенсивность вертикальной нагрузки отнесена к горизонтальной проекции (кН/м по оси x , положительная вниз), горизонтальной — к вертикальной проекции (кН/м по высоте, положительная вправо).
Сосредоточенные силы № \(P_y\) (вниз), кН \(P_x\) (вправо), кН \(x\), м \(y\), м 1 60.000 0.000 6.000 4.500
A B C q = 20.00 кН/м P = 60.00 кН V_A = 285.00 кН H_A = 270.00 кН V_B = 255.00 кН H_B = 270.00 кН 12.00 м 12.00 м l = 24.00 м f = 6.00 м Расчётная схема арки с нагрузками и найденными реакциями Правила знаков. Начало координат — в левом опорном шарнире A , ось x направлена вправо, ось y — вверх. Реакции \(V_A,\;V_B\) направлены вверх, \(H_A\) — вправо, \(H_B\) — влево (обе внутрь арки). Изгибающий момент положителен, если растянуты внутренние (нижние) волокна; поперечная сила \(Q\) положительна при повороте отсечённой части по часовой стрелке; продольная сила \(N\) отрицательна при сжатии.
2. Уравнение оси арки Ось очерчена по квадратной параболе, проходящей через три шарнира. Для симметричной арки (5.204):
(5.204) \[y=\frac{4f}{l^{2}}\,x\,(l-x);\qquad y'=\operatorname{tg}\alpha=\frac{4f}{l^{2}}\,(l-2x)\]
\[\frac{4f}{l^{2}}=\frac{4\cdot6.000}{24.000^{2}}=0.041667\ \text{м}^{-1}\]
\[y=0.041667\,x\left(24.000-x\right);\qquad y'=0.041667\left(24.000-2x\right)\]
Направляющие косинусы касательной к оси в сечении находим по формулам:
\[\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+y'^{\,2}}},\qquad \sin\alpha=\frac{y'}{\sqrt{1+y'^{\,2}}}\]
2.1. Ординаты оси и тригонометрические функции углов наклона Сеч. \(x\), м \(y\), м \(\operatorname{tg}\alpha\) \(\alpha\), град \(\sin\alpha\) \(\cos\alpha\) 0 0.000 0.000 1.0000 45.00 0.7071 0.7071 1 3.000 2.625 0.7500 36.87 0.6000 0.8000 2 6.000 4.500 0.5000 26.57 0.4472 0.8944 4 9.000 5.625 0.2500 14.04 0.2425 0.9701 5 12.000 6.000 0.0000 0.00 0.0000 1.0000 6 15.000 5.625 -0.2500 -14.04 -0.2425 0.9701 7 18.000 4.500 -0.5000 -26.57 -0.4472 0.8944 8 21.000 2.625 -0.7500 -36.87 -0.6000 0.8000 9 24.000 0.000 -1.0000 -45.00 -0.7071 0.7071
3. Определение опорных реакций Арка трёхшарнирная — система статически определима: четыре составляющие опорных реакций находятся из четырёх уравнений статики. Реакции пятовых шарниров A и B представляем вертикальными составляющими и составляющими, направленными по прямой AB . При таком разложении каждая составляющая определяется самостоятельно из одного уравнения равновесия всей арки или полуарки.
Опоры расположены на одном уровне, поэтому составляющие, направленные по прямой AB , горизонтальны: \(H_A=H_B=H\) — распор арки, а плечо ключевого шарнира равно стреле подъёма \(f=6.000\) м.
3.1. Равнодействующие распределённых нагрузок Распределённые нагрузки заменяем сосредоточенными равнодействующими: равнодействующая равна площади эпюры нагрузки, а её линия действия проходит через центр тяжести этой площади.
Нагрузка 1 — равномерно распределённая вертикальная, участок 0.000…24.000 м \[\text{длина участка}\quad \lambda=24.000-0.000=24.000\ \text{м}\]
\[R=q\lambda=20.000\cdot24.000=480.000\ \text{кН}\]
\[x_{R}=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{0.000+24.000}{2}=12.000\ \text{м}\]
3.2. Вертикальная составляющая \(V_A\) — из уравнения \(\sum M_B=0\) Составляем уравнение моментов всех сил относительно правого опорного шарнира B . Составляющая, направленная по прямой AB , проходит через точку B и момента не даёт, поэтому в уравнение входит только вертикальная составляющая:
\[\sum M_B=0:\qquad -V_A\cdot l+\sum M_B(F)=0\]
\[\sum M_B(F)=20\cdot24\cdot\left(24-12\right)+\,60\cdot\left(24-6\right)=6840.000\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[V_A=\frac{\sum M_B(F)}{l}=\frac{6840.000}{24.000}=\boxed{285.000\ \text{кН}}\]
3.3. Вертикальная составляющая \(V_B\) — из уравнения \(\sum M_A=0\) \[\sum M_A=0:\qquad V_B\cdot l+\sum M_A(F)=0\]
\[\sum M_A(F)=20\cdot24\cdot\left(0-12\right)+\,60\cdot\left(0-6\right)=-6120.000\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[V_B=-\frac{\sum M_A(F)}{l}=-\frac{-6120.000}{24.000}=\boxed{255.000\ \text{кН}}\]
3.4. Составляющая \(H_A\) — из уравнения \(\sum M_C^{\,л}=0\) для левой полуарки Рассматриваем равновесие левой полуарки AC : изгибающий момент в ключевом шарнире равен нулю, поэтому сумма моментов всех сил, приложенных к левой полуарке (включая реакции в A ), относительно точки C обращается в нуль.
\[\sum M_C^{\,л}=0:\qquad (x_A-x_C)\,V_A+H_A\cdot f+\sum M_C^{\,л}(F)=0\]
\[\sum M_C^{\,л}(F)=20\cdot12\cdot\left(12-6\right)+\,60\cdot\left(12-6\right)=1800.000\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[H_A=-\frac{(x_A-x_C)\,V_A+\sum M_C^{\,л}(F)}{f}=-\frac{\left(-12.000\right)\cdot285.000+1800.000}{6.000}=\boxed{270.000\ \text{кН}}\]
3.5. Составляющая \(H_B\) — из уравнения \(\sum M_C^{\,пр}=0\) для правой полуарки \[\sum M_C^{\,пр}=0:\qquad (x_B-x_C)\,V_B-H_B\cdot f+\sum M_C^{\,пр}(F)=0\]
\[\sum M_C^{\,пр}(F)=20\cdot12\cdot\left(12-18\right)=-1440.000\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[H_B=\frac{(x_B-x_C)\,V_B+\sum M_C^{\,пр}(F)}{f}=\frac{12.000\cdot255.000+\left(-1440.000\right)}{6.000}=\boxed{270.000\ \text{кН}}\]
3.6. Проверка найденных реакций Проверкой служат уравнения равновесия, составленные для арки в целом:
\[\sum X=H_A-H_B+\sum F_x=270.000-270.000+0.000=0.000000\approx 0\]
\[\sum Y=V_A+V_B+\sum F_y=285.000+255.000+\left(-540.000\right)=0.000000\approx 0\]
Здесь \(\sum F_x,\ \sum F_y\) — суммы проекций всех заданных нагрузок на оси координат (проекция направленной вниз силы отрицательна).
Уравнения равновесия удовлетворяются — реакции найдены верно.
Для арки с опорами на одном уровне при вертикальной нагрузке справедливы соотношения (5.203): вертикальные реакции совпадают с балочными, а распор равен балочному моменту в сечении ключевого шарнира, делённому на стрелу подъёма:
(5.203) \[V_A=V_A^{0};\qquad V_B=V_B^{0};\qquad H_A=H_B=H=\frac{M_C^{0}}{f}\]
\[H=\frac{M_C^{0}}{f}=\frac{1620.000}{6.000}=270.000\ \text{кН}\;\;\Longrightarrow\;\;\text{совпадает с }H_A=270.000\ \text{кН}\]
4. Усилия в сечениях арки Усилия в любом сечении m с координатами центра тяжести \(x_m,\;y_m\) вычисляем по формулам (5.202):
(5.202) \[\begin{aligned}M_m&=V_A\,x_m-H_A\,y_m+[M_m];\\[3pt]Q_m&=V_A\cos\alpha_m-H_A\sin\alpha_m+[Q_m];\\[3pt]N_m&=-V_A\sin\alpha_m-H_A\cos\alpha_m+[N_m],\end{aligned}\]
где \([M_m]\), \([Q_m]\), \([N_m]\) — значения усилий для криволинейной консоли \(A_m\) со свободным левым и защемлённым правым концами, то есть вклад нагрузок, расположенных левее сечения. Обозначив суммарные проекции всех сил левой отсечённой части на оси координат через
\[\Sigma V=V_A+\sum F_y^{\,\text{лев}},\qquad \Sigma H=H_A+\sum F_x^{\,\text{лев}},\]
формулы для поперечной и продольной сил принимают компактный вид:
\[Q_m=\Sigma V\cos\alpha_m-\Sigma H\sin\alpha_m;\qquad N_m=-\Sigma V\sin\alpha_m-\Sigma H\cos\alpha_m\]
Дополнительно вычислим балочные величины — изгибающий момент \(M^0\) и поперечную силу \(Q^0\) в простой балке пролётом \(l=24.000\) м с той же вертикальной нагрузкой; они позволяют выполнить независимую проверку по формулам (5.203):
(5.203) \[M_m=M_m^{0}-H\,y_m;\qquad Q_m=Q_m^{0}\cos\alpha_m-H\sin\alpha_m;\qquad N_m=-Q_m^{0}\sin\alpha_m-H\cos\alpha_m\]
\[V_A^{0}=285.000\ \text{кН};\qquad V_B^{0}=255.000\ \text{кН};\qquad M_C^{0}=1620.000\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
4.1. Подробное вычисление по сечениям Сечение 0 — x = 0.000 м \[y_m=\frac{4f}{l^{2}}x_m(l-x_m)=0.041667\cdot0\cdot\left(24-0\right)=0.000\ \text{м}\]
\[\operatorname{tg}\alpha_m=\frac{4f}{l^{2}}(l-2x_m)=0.041667\left(24-2\cdot0\right)=1.0000;\qquad \alpha_m=45.00^\circ\]
\[\cos\alpha_m=\frac{1}{\sqrt{1+1^{2}}}=0.7071;\qquad \sin\alpha_m=\frac{1}{\sqrt{1+1^{2}}}=0.7071\]
\[M_{0}=V_A x_m-H_A y_m+[M_m]=285\cdot0-270\cdot0=\boxed{0.000\ \text{кН}\cdot\text{м}}\]
\[\Sigma V=285=285.000\ \text{кН};\qquad \Sigma H=270=270.000\ \text{кН}\]
\[Q_{0}=\Sigma V\cos\alpha_m-\Sigma H\sin\alpha_m=285\cdot0.7071-270\cdot0.7071=\boxed{10.607\ \text{кН}}\]
\[N_{0}=-\Sigma V\sin\alpha_m-\Sigma H\cos\alpha_m=-285\cdot0.7071-270\cdot0.7071=\boxed{-392.444\ \text{кН}}\]
Проверка по формулам (5.203) через балочные величины \(M^0_{0}=0.000\) кН·м, \(Q^0_{0}=285.000\) кН:
\[M_{0}=M^{0}_{m}-H y_m=0-270\cdot0=0.000\ \checkmark\]
\[Q_{0}=Q^{0}_{m}\cos\alpha_m-H\sin\alpha_m=285\cdot0.7071-270\cdot0.7071=10.607\ \checkmark\]
\[N_{0}=-Q^{0}_{m}\sin\alpha_m-H\cos\alpha_m=-285\cdot0.7071-270\cdot0.7071=-392.444\ \checkmark\]
Сечение 1 — x = 3.000 м \[y_m=\frac{4f}{l^{2}}x_m(l-x_m)=0.041667\cdot3\cdot\left(24-3\right)=2.625\ \text{м}\]
\[\operatorname{tg}\alpha_m=\frac{4f}{l^{2}}(l-2x_m)=0.041667\left(24-2\cdot3\right)=0.7500;\qquad \alpha_m=36.87^\circ\]
\[\cos\alpha_m=\frac{1}{\sqrt{1+0.75^{2}}}=0.8000;\qquad \sin\alpha_m=\frac{0.75}{\sqrt{1+0.75^{2}}}=0.6000\]
Момент нагрузок, приложенных левее сечения:
\[[M_m]=-\,20\cdot3\cdot\left(3-1.5\right)=-90.000\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[M_{1}=V_A x_m-H_A y_m+[M_m]=285\cdot3-270\cdot2.625+\left(-90\right)=\boxed{56.250\ \text{кН}\cdot\text{м}}\]
\[\Sigma V=285+\left(-60\right)=225.000\ \text{кН};\qquad \Sigma H=270=270.000\ \text{кН}\]
\[Q_{1}=\Sigma V\cos\alpha_m-\Sigma H\sin\alpha_m=225\cdot0.8000-270\cdot0.6000=\boxed{18.000\ \text{кН}}\]
\[N_{1}=-\Sigma V\sin\alpha_m-\Sigma H\cos\alpha_m=-225\cdot0.6000-270\cdot0.8000=\boxed{-351.000\ \text{кН}}\]
Проверка по формулам (5.203) через балочные величины \(M^0_{1}=765.000\) кН·м, \(Q^0_{1}=225.000\) кН:
\[M_{1}=M^{0}_{m}-H y_m=765-270\cdot2.625=56.250\ \checkmark\]
\[Q_{1}=Q^{0}_{m}\cos\alpha_m-H\sin\alpha_m=225\cdot0.8000-270\cdot0.6000=18.000\ \checkmark\]
\[N_{1}=-Q^{0}_{m}\sin\alpha_m-H\cos\alpha_m=-225\cdot0.6000-270\cdot0.8000=-351.000\ \checkmark\]
Сечение 2 — x = 6.000 м — слева от точки приложения силы \[y_m=\frac{4f}{l^{2}}x_m(l-x_m)=0.041667\cdot6\cdot\left(24-6\right)=4.500\ \text{м}\]
\[\operatorname{tg}\alpha_m=\frac{4f}{l^{2}}(l-2x_m)=0.041667\left(24-2\cdot6\right)=0.5000;\qquad \alpha_m=26.57^\circ\]
\[\cos\alpha_m=\frac{1}{\sqrt{1+0.5^{2}}}=0.8944;\qquad \sin\alpha_m=\frac{0.5}{\sqrt{1+0.5^{2}}}=0.4472\]
Момент нагрузок, приложенных левее сечения:
\[[M_m]=-\,20\cdot6\cdot\left(6-3\right)=-360.000\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[M_{2}=V_A x_m-H_A y_m+[M_m]=285\cdot6-270\cdot4.5+\left(-360\right)=\boxed{135.000\ \text{кН}\cdot\text{м}}\]
\[\Sigma V=285+\left(-120\right)=165.000\ \text{кН};\qquad \Sigma H=270=270.000\ \text{кН}\]
\[Q_{2}=\Sigma V\cos\alpha_m-\Sigma H\sin\alpha_m=165\cdot0.8944-270\cdot0.4472=\boxed{26.833\ \text{кН}}\]
\[N_{2}=-\Sigma V\sin\alpha_m-\Sigma H\cos\alpha_m=-165\cdot0.4472-270\cdot0.8944=\boxed{-315.286\ \text{кН}}\]
Проверка по формулам (5.203) через балочные величины \(M^0_{2}=1350.000\) кН·м, \(Q^0_{2}=165.000\) кН:
\[M_{2}=M^{0}_{m}-H y_m=1350-270\cdot4.5=135.000\ \checkmark\]
\[Q_{2}=Q^{0}_{m}\cos\alpha_m-H\sin\alpha_m=165\cdot0.8944-270\cdot0.4472=26.833\ \checkmark\]
\[N_{2}=-Q^{0}_{m}\sin\alpha_m-H\cos\alpha_m=-165\cdot0.4472-270\cdot0.8944=-315.286\ \checkmark\]
Сечение 3 — x = 6.000 м — справа от точки приложения силы \[y_m=\frac{4f}{l^{2}}x_m(l-x_m)=0.041667\cdot6\cdot\left(24-6\right)=4.500\ \text{м}\]
\[\operatorname{tg}\alpha_m=\frac{4f}{l^{2}}(l-2x_m)=0.041667\left(24-2\cdot6\right)=0.5000;\qquad \alpha_m=26.57^\circ\]
\[\cos\alpha_m=\frac{1}{\sqrt{1+0.5^{2}}}=0.8944;\qquad \sin\alpha_m=\frac{0.5}{\sqrt{1+0.5^{2}}}=0.4472\]
Момент нагрузок, приложенных левее сечения:
\[[M_m]=-\,20\cdot6\cdot\left(6-3\right)-\,60\cdot\left(6-6\right)=-360.000\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[M_{3}=V_A x_m-H_A y_m+[M_m]=285\cdot6-270\cdot4.5+\left(-360\right)=\boxed{135.000\ \text{кН}\cdot\text{м}}\]
\[\Sigma V=285+\left(-120\right)+\,\left(-60\right)=105.000\ \text{кН};\qquad \Sigma H=270=270.000\ \text{кН}\]
\[Q_{3}=\Sigma V\cos\alpha_m-\Sigma H\sin\alpha_m=105\cdot0.8944-270\cdot0.4472=\boxed{-26.833\ \text{кН}}\]
\[N_{3}=-\Sigma V\sin\alpha_m-\Sigma H\cos\alpha_m=-105\cdot0.4472-270\cdot0.8944=\boxed{-288.453\ \text{кН}}\]
Проверка по формулам (5.203) через балочные величины \(M^0_{3}=1350.000\) кН·м, \(Q^0_{3}=105.000\) кН:
\[M_{3}=M^{0}_{m}-H y_m=1350-270\cdot4.5=135.000\ \checkmark\]
\[Q_{3}=Q^{0}_{m}\cos\alpha_m-H\sin\alpha_m=105\cdot0.8944-270\cdot0.4472=-26.833\ \checkmark\]
\[N_{3}=-Q^{0}_{m}\sin\alpha_m-H\cos\alpha_m=-105\cdot0.4472-270\cdot0.8944=-288.453\ \checkmark\]
Сечение 4 — x = 9.000 м \[y_m=\frac{4f}{l^{2}}x_m(l-x_m)=0.041667\cdot9\cdot\left(24-9\right)=5.625\ \text{м}\]
\[\operatorname{tg}\alpha_m=\frac{4f}{l^{2}}(l-2x_m)=0.041667\left(24-2\cdot9\right)=0.2500;\qquad \alpha_m=14.04^\circ\]
\[\cos\alpha_m=\frac{1}{\sqrt{1+0.25^{2}}}=0.9701;\qquad \sin\alpha_m=\frac{0.25}{\sqrt{1+0.25^{2}}}=0.2425\]
Момент нагрузок, приложенных левее сечения:
\[[M_m]=-\,20\cdot9\cdot\left(9-4.5\right)-\,60\cdot\left(9-6\right)=-990.000\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[M_{4}=V_A x_m-H_A y_m+[M_m]=285\cdot9-270\cdot5.625+\left(-990\right)=\boxed{56.250\ \text{кН}\cdot\text{м}}\]
\[\Sigma V=285+\left(-180\right)+\,\left(-60\right)=45.000\ \text{кН};\qquad \Sigma H=270=270.000\ \text{кН}\]
\[Q_{4}=\Sigma V\cos\alpha_m-\Sigma H\sin\alpha_m=45\cdot0.9701-270\cdot0.2425=\boxed{-21.828\ \text{кН}}\]
\[N_{4}=-\Sigma V\sin\alpha_m-\Sigma H\cos\alpha_m=-45\cdot0.2425-270\cdot0.9701=\boxed{-272.853\ \text{кН}}\]
Проверка по формулам (5.203) через балочные величины \(M^0_{4}=1575.000\) кН·м, \(Q^0_{4}=45.000\) кН:
\[M_{4}=M^{0}_{m}-H y_m=1575-270\cdot5.625=56.250\ \checkmark\]
\[Q_{4}=Q^{0}_{m}\cos\alpha_m-H\sin\alpha_m=45\cdot0.9701-270\cdot0.2425=-21.828\ \checkmark\]
\[N_{4}=-Q^{0}_{m}\sin\alpha_m-H\cos\alpha_m=-45\cdot0.2425-270\cdot0.9701=-272.853\ \checkmark\]
Сечение 5 — x = 12.000 м (ключевой шарнир C) \[y_m=\frac{4f}{l^{2}}x_m(l-x_m)=0.041667\cdot12\cdot\left(24-12\right)=6.000\ \text{м}\]
\[\operatorname{tg}\alpha_m=\frac{4f}{l^{2}}(l-2x_m)=0.041667\left(24-2\cdot12\right)=0.0000;\qquad \alpha_m=0.00^\circ\]
\[\cos\alpha_m=\frac{1}{\sqrt{1+0^{2}}}=1.0000;\qquad \sin\alpha_m=\frac{0}{\sqrt{1+0^{2}}}=0.0000\]
Момент нагрузок, приложенных левее сечения:
\[[M_m]=-\,20\cdot12\cdot\left(12-6\right)-\,60\cdot\left(12-6\right)=-1800.000\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[M_{5}=V_A x_m-H_A y_m+[M_m]=285\cdot12-270\cdot6+\left(-1800\right)=\boxed{0.000\ \text{кН}\cdot\text{м}}\]
\[\Sigma V=285+\left(-240\right)+\,\left(-60\right)=-15.000\ \text{кН};\qquad \Sigma H=270=270.000\ \text{кН}\]
\[Q_{5}=\Sigma V\cos\alpha_m-\Sigma H\sin\alpha_m=\left(-15\right)\cdot1.0000-270\cdot0.0000=\boxed{-15.000\ \text{кН}}\]
\[N_{5}=-\Sigma V\sin\alpha_m-\Sigma H\cos\alpha_m=-\left(-15\right)\cdot0.0000-270\cdot1.0000=\boxed{-270.000\ \text{кН}}\]
Проверка по формулам (5.203) через балочные величины \(M^0_{5}=1620.000\) кН·м, \(Q^0_{5}=-15.000\) кН:
\[M_{5}=M^{0}_{m}-H y_m=1620-270\cdot6=0.000\ \checkmark\]
\[Q_{5}=Q^{0}_{m}\cos\alpha_m-H\sin\alpha_m=\left(-15\right)\cdot1.0000-270\cdot0.0000=-15.000\ \checkmark\]
\[N_{5}=-Q^{0}_{m}\sin\alpha_m-H\cos\alpha_m=-\left(-15\right)\cdot0.0000-270\cdot1.0000=-270.000\ \checkmark\]
Сечение 6 — x = 15.000 м \[y_m=\frac{4f}{l^{2}}x_m(l-x_m)=0.041667\cdot15\cdot\left(24-15\right)=5.625\ \text{м}\]
\[\operatorname{tg}\alpha_m=\frac{4f}{l^{2}}(l-2x_m)=0.041667\left(24-2\cdot15\right)=-0.2500;\qquad \alpha_m=-14.04^\circ\]
\[\cos\alpha_m=\frac{1}{\sqrt{1+\left(-0.25\right)^{2}}}=0.9701;\qquad \sin\alpha_m=\frac{\left(-0.25\right)}{\sqrt{1+\left(-0.25\right)^{2}}}=-0.2425\]
Момент нагрузок, приложенных левее сечения:
\[[M_m]=-\,20\cdot15\cdot\left(15-7.5\right)-\,60\cdot\left(15-6\right)=-2790.000\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[M_{6}=V_A x_m-H_A y_m+[M_m]=285\cdot15-270\cdot5.625+\left(-2790\right)=\boxed{-33.750\ \text{кН}\cdot\text{м}}\]
\[\Sigma V=285+\left(-300\right)+\,\left(-60\right)=-75.000\ \text{кН};\qquad \Sigma H=270=270.000\ \text{кН}\]
\[Q_{6}=\Sigma V\cos\alpha_m-\Sigma H\sin\alpha_m=\left(-75\right)\cdot0.9701-270\cdot-0.2425=\boxed{-7.276\ \text{кН}}\]
\[N_{6}=-\Sigma V\sin\alpha_m-\Sigma H\cos\alpha_m=-\left(-75\right)\cdot-0.2425-270\cdot0.9701=\boxed{-280.129\ \text{кН}}\]
Проверка по формулам (5.203) через балочные величины \(M^0_{6}=1485.000\) кН·м, \(Q^0_{6}=-75.000\) кН:
\[M_{6}=M^{0}_{m}-H y_m=1485-270\cdot5.625=-33.750\ \checkmark\]
\[Q_{6}=Q^{0}_{m}\cos\alpha_m-H\sin\alpha_m=\left(-75\right)\cdot0.9701-270\cdot-0.2425=-7.276\ \checkmark\]
\[N_{6}=-Q^{0}_{m}\sin\alpha_m-H\cos\alpha_m=-\left(-75\right)\cdot-0.2425-270\cdot0.9701=-280.129\ \checkmark\]
Сечение 7 — x = 18.000 м \[y_m=\frac{4f}{l^{2}}x_m(l-x_m)=0.041667\cdot18\cdot\left(24-18\right)=4.500\ \text{м}\]
\[\operatorname{tg}\alpha_m=\frac{4f}{l^{2}}(l-2x_m)=0.041667\left(24-2\cdot18\right)=-0.5000;\qquad \alpha_m=-26.57^\circ\]
\[\cos\alpha_m=\frac{1}{\sqrt{1+\left(-0.5\right)^{2}}}=0.8944;\qquad \sin\alpha_m=\frac{\left(-0.5\right)}{\sqrt{1+\left(-0.5\right)^{2}}}=-0.4472\]
Момент нагрузок, приложенных левее сечения:
\[[M_m]=-\,20\cdot18\cdot\left(18-9\right)-\,60\cdot\left(18-6\right)=-3960.000\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[M_{7}=V_A x_m-H_A y_m+[M_m]=285\cdot18-270\cdot4.5+\left(-3960\right)=\boxed{-45.000\ \text{кН}\cdot\text{м}}\]
\[\Sigma V=285+\left(-360\right)+\,\left(-60\right)=-135.000\ \text{кН};\qquad \Sigma H=270=270.000\ \text{кН}\]
\[Q_{7}=\Sigma V\cos\alpha_m-\Sigma H\sin\alpha_m=\left(-135\right)\cdot0.8944-270\cdot-0.4472=\boxed{0.000\ \text{кН}}\]
\[N_{7}=-\Sigma V\sin\alpha_m-\Sigma H\cos\alpha_m=-\left(-135\right)\cdot-0.4472-270\cdot0.8944=\boxed{-301.869\ \text{кН}}\]
Проверка по формулам (5.203) через балочные величины \(M^0_{7}=1170.000\) кН·м, \(Q^0_{7}=-135.000\) кН:
\[M_{7}=M^{0}_{m}-H y_m=1170-270\cdot4.5=-45.000\ \checkmark\]
\[Q_{7}=Q^{0}_{m}\cos\alpha_m-H\sin\alpha_m=\left(-135\right)\cdot0.8944-270\cdot-0.4472=0.000\ \checkmark\]
\[N_{7}=-Q^{0}_{m}\sin\alpha_m-H\cos\alpha_m=-\left(-135\right)\cdot-0.4472-270\cdot0.8944=-301.869\ \checkmark\]
Сечение 8 — x = 21.000 м \[y_m=\frac{4f}{l^{2}}x_m(l-x_m)=0.041667\cdot21\cdot\left(24-21\right)=2.625\ \text{м}\]
\[\operatorname{tg}\alpha_m=\frac{4f}{l^{2}}(l-2x_m)=0.041667\left(24-2\cdot21\right)=-0.7500;\qquad \alpha_m=-36.87^\circ\]
\[\cos\alpha_m=\frac{1}{\sqrt{1+\left(-0.75\right)^{2}}}=0.8000;\qquad \sin\alpha_m=\frac{\left(-0.75\right)}{\sqrt{1+\left(-0.75\right)^{2}}}=-0.6000\]
Момент нагрузок, приложенных левее сечения:
\[[M_m]=-\,20\cdot21\cdot\left(21-10.5\right)-\,60\cdot\left(21-6\right)=-5310.000\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[M_{8}=V_A x_m-H_A y_m+[M_m]=285\cdot21-270\cdot2.625+\left(-5310\right)=\boxed{-33.750\ \text{кН}\cdot\text{м}}\]
\[\Sigma V=285+\left(-420\right)+\,\left(-60\right)=-195.000\ \text{кН};\qquad \Sigma H=270=270.000\ \text{кН}\]
\[Q_{8}=\Sigma V\cos\alpha_m-\Sigma H\sin\alpha_m=\left(-195\right)\cdot0.8000-270\cdot-0.6000=\boxed{6.000\ \text{кН}}\]
\[N_{8}=-\Sigma V\sin\alpha_m-\Sigma H\cos\alpha_m=-\left(-195\right)\cdot-0.6000-270\cdot0.8000=\boxed{-333.000\ \text{кН}}\]
Проверка по формулам (5.203) через балочные величины \(M^0_{8}=675.000\) кН·м, \(Q^0_{8}=-195.000\) кН:
\[M_{8}=M^{0}_{m}-H y_m=675-270\cdot2.625=-33.750\ \checkmark\]
\[Q_{8}=Q^{0}_{m}\cos\alpha_m-H\sin\alpha_m=\left(-195\right)\cdot0.8000-270\cdot-0.6000=6.000\ \checkmark\]
\[N_{8}=-Q^{0}_{m}\sin\alpha_m-H\cos\alpha_m=-\left(-195\right)\cdot-0.6000-270\cdot0.8000=-333.000\ \checkmark\]
Сечение 9 — x = 24.000 м \[y_m=\frac{4f}{l^{2}}x_m(l-x_m)=0.041667\cdot24\cdot\left(24-24\right)=0.000\ \text{м}\]
\[\operatorname{tg}\alpha_m=\frac{4f}{l^{2}}(l-2x_m)=0.041667\left(24-2\cdot24\right)=-1.0000;\qquad \alpha_m=-45.00^\circ\]
\[\cos\alpha_m=\frac{1}{\sqrt{1+\left(-1\right)^{2}}}=0.7071;\qquad \sin\alpha_m=\frac{\left(-1\right)}{\sqrt{1+\left(-1\right)^{2}}}=-0.7071\]
Момент нагрузок, приложенных левее сечения:
\[[M_m]=-\,20\cdot24\cdot\left(24-12\right)-\,60\cdot\left(24-6\right)=-6840.000\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[M_{9}=V_A x_m-H_A y_m+[M_m]=285\cdot24-270\cdot0+\left(-6840\right)=\boxed{0.000\ \text{кН}\cdot\text{м}}\]
\[\Sigma V=285+\left(-480\right)+\,\left(-60\right)=-255.000\ \text{кН};\qquad \Sigma H=270=270.000\ \text{кН}\]
\[Q_{9}=\Sigma V\cos\alpha_m-\Sigma H\sin\alpha_m=\left(-255\right)\cdot0.7071-270\cdot-0.7071=\boxed{10.607\ \text{кН}}\]
\[N_{9}=-\Sigma V\sin\alpha_m-\Sigma H\cos\alpha_m=-\left(-255\right)\cdot-0.7071-270\cdot0.7071=\boxed{-371.231\ \text{кН}}\]
Проверка по формулам (5.203) через балочные величины \(M^0_{9}=0.000\) кН·м, \(Q^0_{9}=-255.000\) кН:
\[M_{9}=M^{0}_{m}-H y_m=0-270\cdot0=0.000\ \checkmark\]
\[Q_{9}=Q^{0}_{m}\cos\alpha_m-H\sin\alpha_m=\left(-255\right)\cdot0.7071-270\cdot-0.7071=10.607\ \checkmark\]
\[N_{9}=-Q^{0}_{m}\sin\alpha_m-H\cos\alpha_m=-\left(-255\right)\cdot-0.7071-270\cdot0.7071=-371.231\ \checkmark\]
4.2. Сводная таблица усилий Сеч. \(x\), м \(y\), м \(\alpha\), град \(\sin\alpha\) \(\cos\alpha\) \(M^{0}\), кН·м \(Q^{0}\), кН \(M\), кН·м \(Q\), кН \(N\), кН 0 0.000 0.000 45.00 0.7071 0.7071 0.000 285.000 0.000 10.607 -392.444 1 3.000 2.625 36.87 0.6000 0.8000 765.000 225.000 56.250 18.000 -351.000 2 слев. 6.000 4.500 26.57 0.4472 0.8944 1350.000 165.000 135.000 26.833 -315.286 3 спр. 6.000 4.500 26.57 0.4472 0.8944 1350.000 105.000 135.000 -26.833 -288.453 4 9.000 5.625 14.04 0.2425 0.9701 1575.000 45.000 56.250 -21.828 -272.853 5 (C) 12.000 6.000 0.00 0.0000 1.0000 1620.000 -15.000 0.000 -15.000 -270.000 6 15.000 5.625 -14.04 -0.2425 0.9701 1485.000 -75.000 -33.750 -7.276 -280.129 7 18.000 4.500 -26.57 -0.4472 0.8944 1170.000 -135.000 -45.000 0.000 -301.869 8 21.000 2.625 -36.87 -0.6000 0.8000 675.000 -195.000 -33.750 6.000 -333.000 9 спр. 24.000 0.000 -45.00 -0.7071 0.7071 0.000 -255.000 0.000 10.607 -371.231
5. Эпюры внутренних усилий A B 0.00 56.25 135.00 56.25 0.00 -33.75 -45.00 -33.75 0.00 + – Эпюра M кН·м Эпюра изгибающих моментов M (ординаты отложены со стороны растянутых волокон) A B 10.61 18.00 26.83 -26.83 -21.83 -15.00 -7.28 0.00 6.00 10.61 + – Эпюра Q кН Эпюра поперечных сил Q A B -392.44 -351.00 -315.29 -288.45 -272.85 -270.00 -280.13 -301.87 -333.00 -371.23 – Эпюра N кН Эпюра продольных сил N (сжатие отрицательно) 6. Анализ результатов Усилие Наибольшее по модулю значение Сечение \(x\), м \(M\) 135.000 кН·м 2 6.000 \(Q\) 26.833 кН 2 6.000 \(N\) -392.444 кН 0 0.000
Распор арки \(H=270.000\) кН — именно он разгружает арку по сравнению с балкой того же пролёта: ординаты эпюры M получаются как разность ординат балочной эпюры \(M^0\) и ординат эпюры \(H\,y\). Продольная сила во всех сечениях отрицательна — арка работает на сжатие, что и является основным преимуществом арочной системы. Приведённые усилия отвечают расчёту по недеформированной схеме. Фактически в параболической арке при равномерной нагрузке возникают небольшие моменты вследствие изменения формы оси в связи с обжатием оси.
7. Эпюры углов поворота и прогибов арки Эти эпюры строят как эпюры фиктивных поперечных сил и изгибающих моментов балки-проекции, нагруженной фиктивными нагрузками (5.209)–(5.212). Знаки: прогиб v положителен вниз, угол поворота сечения \(\varphi\) — по часовой стрелке.
7.1. Жёсткости сечения Параметр Обозн. Значение Ед. Изгибная жёсткость \(EI\) 500000.0 кН·м² Продольная жёсткость \(EF\) 9600000.0 кН Сдвиговая жёсткость \(GF_y\) 3300000.0 кН Закон изменения сечения — постоянное сечение, \(I=\mathrm{const}\) —
7.2. Фиктивные нагрузки Деформации арки в сечении и отвечающие им распределённые фиктивные нагрузки балки-проекции:
\[\theta=\frac{M}{EI};\qquad \gamma=\frac{Q}{GF_y};\qquad \lambda=\frac{N}{EF}\]
(5.211–5.212) \[p^{ф}=\frac{\theta}{\cos\alpha}=\frac{M}{EI\cos\alpha};\qquad m^{ф}=\gamma-\lambda\operatorname{tg}\alpha\]
Например, в сечении при x = 6.000 м:
\[\theta=\frac{135.000}{500000.0}=0.00027000\ \text{м}^{-1};\qquad p^{ф}=\frac{0.00027000}{0.8944}=0.00030187\]
\[\gamma=-0.00000813;\qquad \lambda=-0.00003005;\qquad m^{ф}=\gamma-\lambda\operatorname{tg}\alpha=0.00000689\]
7.3. Постоянные интегрирования Интегрируя фиктивные нагрузки вдоль пролёта, получаем угол поворота и прогиб:
\[\varphi(x)=\varphi_A+\Phi(x)+\Delta\varphi_C\,[x>x_C],\qquad \Phi(x)=-\int_0^{x}p^{ф}\,dx\]
\[v(x)=\int_0^{x}\left(\varphi+m^{ф}\right)dx;\qquad u(x)=\int_0^{x}\left[\lambda+\left(\gamma+\varphi\right)\operatorname{tg}\alpha\right]dx\]
Две постоянные — угол поворота в пяте \(\varphi_A\) и взаимный угол поворота полуарок в ключевом шарнире \(\Delta\varphi_C\) (5.213) — находятся из неподвижности опор: v (l ) = 0 и u (l ) = 0. Интегралы вычислены по правилу трапеций с 203 узлами:
\[\int_0^{l}\Phi\,dx=-0.02488965;\qquad \int_0^{l}\Phi\operatorname{tg}\alpha\,dx=0.00348138\]
\[J_v=\int_0^{l}m^{ф}dx=-0.00000177;\qquad J_u=\int_0^{l}\left(\lambda+\gamma\operatorname{tg}\alpha\right)dx=-0.00077051\]
\[\begin{cases}\varphi_A\cdot24+\Delta\varphi_C\cdot12=0.02489142,\\[3pt]\varphi_A\cdot0+\Delta\varphi_C\cdot-6=-0.00271088\end{cases}\]
\[\varphi_A=\boxed{0.00081124\ \text{рад}};\qquad \Delta\varphi_C=\boxed{0.00045181\ \text{рад}}\]
Проверка: \(v(l)=0.0000000000\) м, \(u(l)=0.0000000000\) м — условия неподвижности опор выполняются.
7.4. Углы поворота и прогибы по сечениям Сеч. \(x\), м \(y\), м \(M\), кН·м \(p^{ф}\) \(m^{ф}\) \(\varphi\cdot10^{3}\), рад \(v\), мм 0 0.000 0.000 0.00 0.0000000 0.0000441 0.811 0.00 1 3.000 2.625 56.25 0.0001406 0.0000329 0.606 2.35 2 6.000 4.500 135.00 0.0003019 0.0000069 -0.053 3.38 3 6.000 4.500 135.00 0.0003019 0.0000246 -0.053 3.38 4 9.000 5.625 56.25 0.0001160 0.0000005 -0.658 2.19 5 (C) 12.000 6.000 0.00 0.0000000 -0.0000045 -0.818 -0.12 6 15.000 5.625 -33.75 -0.0000696 -0.0000095 -0.252 -1.12 7 18.000 4.500 -45.00 -0.0001006 -0.0000157 0.013 -1.54 8 21.000 2.625 -33.75 -0.0000844 -0.0000242 0.305 -1.11 9 24.000 0.000 0.00 0.0000000 -0.0000355 0.451 0.00
Наибольший прогиб \(v_{max}=3.38\) мм в сечении x = 5.880 м, что составляет 1/7091 пролёта.
7.5. Эпюры A B 0.811 0.606 -0.053 -0.658 -0.818 -0.252 0.013 0.305 0.451 + – Эпюра углов поворота φ ·10⁻³ рад Эпюра углов поворота сечений φ (положительный — по часовой стрелке) A B 0.00 2.35 3.38 2.19 -0.12 -1.12 -1.54 -1.11 0.00 + – Эпюра прогибов v мм Эпюра вертикальных перемещений v (ординаты отложены вниз — эпюра повторяет очертание изогнутой оси) Приложение. Использованные формулы Ниже собраны все зависимости, по которым выполнен расчёт. Номера — по п. 5.6.2 справочника; прочерк означает, что формула получена из общих уравнений статики или кинематики.
Геометрия оси № Формула Назначение 5.204 \(y=\dfrac{4f}{l^{2}}x(l-x);\quad y'=\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{4f}{l^{2}}(l-2x)\) ось симметричной параболической арки — \(y=c_1x+c_2x^{2}\) парабола через три шарнира — общий случай, в том числе ползучая арка — \(R=\dfrac{l^{2}+4f^{2}}{8f};\quad y=\sqrt{R^{2}-\left(x-\tfrac{l}{2}\right)^{2}}-(R-f)\) круговая ось — \(\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{1+y'^{\,2}}};\quad \sin\alpha=\dfrac{y'}{\sqrt{1+y'^{\,2}}}\) направляющие косинусы касательной
Равнодействующие распределённых нагрузок № Формула Назначение — \(R=\dfrac{q_1+q_2}{2}\,\lambda;\quad x_R=x_1+\dfrac{\lambda\left(q_1+2q_2\right)}{3\left(q_1+q_2\right)}\) вертикальная нагрузка: площадь трапеции и её центр тяжести (равномерная и треугольная — частные случаи) — \(h=\left|y(x_2)-y(x_1)\right|;\quad R=\dfrac{q_1+q_2}{2}\,h\) горизонтальная нагрузка, отнесённая к вертикальной проекции
Опорные реакции № Формула Назначение — \(\sum M_B=0\Rightarrow V_A';\qquad \sum M_A=0\Rightarrow V_B'\) вертикальные составляющие (совпадают с балочными при вертикальной нагрузке) — \(\sum M_C^{\,л}=0\Rightarrow H_A';\qquad \sum M_C^{\,пр}=0\Rightarrow H_B'\) составляющие по прямой AB — из равенства нулю момента в ключевом шарнире 5.203 \(H=\dfrac{M_C^{0}}{f}\) то же через балочный момент в ключе (при вертикальной нагрузке) — \(f=(h-y_A)\cos\gamma-(x_C-x_A)\sin\gamma\) плечо ключевого шарнира относительно прямой AB (стрела ползучей арки) — \(V_A=V_A'+H_A'\sin\gamma;\quad V_B=V_B'-H_B'\sin\gamma;\)\(\quad H_A=H_A'\cos\gamma;\quad H_B=H_B'\cos\gamma\) полные составляющие реакций ползучей арки — \(\sum X=0;\qquad \sum Y=0\) проверка найденных реакций
Усилия в сечении № Формула Назначение 5.202 \(M_m=V_Ax_m-H_Ay_m+[M_m]\)\(;\;\;Q_m=V_A\cos\alpha_m-H_A\sin\alpha_m+[Q_m]\)\(;\;\;N_m=-V_A\sin\alpha_m-H_A\cos\alpha_m+[N_m]\) усилия в сечении арки по левой отсечённой части — \(Q_m=\Sigma V\cos\alpha_m-\Sigma H\sin\alpha_m;\)\(\;\;N_m=-\Sigma V\sin\alpha_m-\Sigma H\cos\alpha_m\) то же через суммарные проекции сил левой части 5.203 \(M_m=M_m^{0}-Hy_m;\;\;Q_m=Q_m^{0}\cos\alpha_m-H\sin\alpha_m;\)\(\;\;N_m=-Q_m^{0}\sin\alpha_m-H\cos\alpha_m\) проверка через балочные величины (опоры на одном уровне, нагрузка вертикальная) — \(d_m=y_m\cos\gamma-x_m\sin\gamma;\;\;M_m=M_m^{0}-H'd_m;\)\(\;\;Q_m=Q_m^{0}\cos\alpha_m-H'\sin(\alpha_m-\gamma);\)\(\;\;N_m=-Q_m^{0}\sin\alpha_m-H'\cos(\alpha_m-\gamma)\) то же для ползучей арки: вместо ординаты — плечо от прямой AB — \(M_m=-\left[V_B(x_m-x_B)+H_B(y_m-y_B)+[M_m]^{\text{пр}}\right]\) проверка по правой отсечённой части — годится при любой нагрузке, в том числе горизонтальной
Сплошная равномерная нагрузка на параболической арке № Формула Назначение 5.205 \(M^{0}=\dfrac{p}{2}x(l-x);\quad Q^{0}=\dfrac{p}{2}(l-2x)\) балочные эпюры 5.206 \(V_A=V_B=\dfrac{pl}{2};\qquad H=\dfrac{pl^{2}}{8f}\) реакции 5.206 \(M\equiv 0;\;\;Q\equiv 0;\;\;N=-\dfrac{H}{\cos\alpha}\) ось совпадает с кривой давления — центральное сжатие; для пологой арки приближённо \(N\approx-H\)
Углы поворота и прогибы № Формула Назначение — \(\theta=\dfrac{M}{EI};\quad \gamma=\dfrac{Q}{GF_y};\quad \lambda=\dfrac{N}{EF}\) деформации сечения: изгибная, сдвиговая, продольная 5.211–5.212 \(p^{ф}=\dfrac{\theta}{\cos\alpha}=\dfrac{M}{EI\cos\alpha};\quad m^{ф}=\gamma-\lambda\operatorname{tg}\alpha\) распределённые фиктивные нагрузки балки-проекции 5.209 \(\varphi_x=Q^{ф}_x\) эпюра углов поворота — эпюра фиктивных поперечных сил 5.210 \(v_x=M^{ф}_x\) эпюра прогибов — эпюра фиктивных изгибающих моментов — \(\Phi(x)=-\displaystyle\int_0^{x}p^{ф}dx;\quad v(x)=\int_0^{x}\left(\varphi+m^{ф}\right)dx\) интегрирование фиктивных нагрузок вдоль пролёта — \(u(x)=\displaystyle\int_0^{x}\left[\lambda+\left(\gamma+\varphi\right)\operatorname{tg}\alpha\right]dx\) горизонтальное перемещение — нужно для второго условия на опоре 5.213 \(\Delta\varphi_C=\tau_C\) взаимный угол поворота полуарок в ключевом шарнире — \(v(l)=0;\qquad u(l)=0\) условия неподвижности опор — из них находят \(\varphi_A\) и \(\Delta\varphi_C\); они же служат проверкой
Правило знаков усилий: изгибающий момент положителен при растяжении внутренних (нижних) волокон, продольная сила отрицательна при сжатии. Для перемещений принято правило справочника: прогиб положителен вниз, угол поворота — по часовой стрелке.