Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Контурное кольцо

Справка по работе с расчётом · п. 11.2.5 справочника
Справочник проектировщика. Расчётно-теоретический → Ванты

1. Что считает

Замкнутое кольцо, воспринимающее распор вантовой системы. Считаются безмоментное очертание оси и закон нагружения к нему (11.57)–(11.60), осевое усилие сжатия, коэффициенты постели упругой среды (11.61)–(11.64), а для кругового кольца — изгибающий момент в плоскости (11.65)–(11.68), момент из плоскости и крутящий момент (11.69)–(11.71).

Решается и обратная задача: по заданному распору подбирается очертание, при котором кольцо вовсе не изгибается.

2. Расчётная схема и допущения

Для пологих висячих систем характерна большая распорность, а распоры при вертикальной нагрузке образуют самоуравновешенную систему сил. Рациональнее всего воспринять их замкнутым кольцом с осью, близкой к кривой давления — тогда кольцо работает почти на одно сжатие, а изгиб оказывается платой за отступление от этой кривой.

Закон нагружения безмоментного кольца даёт (11.57), для центрального поля сил — (11.58) \(H_s=C\sigma/(R\sin^{2}\gamma)\), а в усилиях на единицу полярного угла — (11.60). Подстановка \(u=1/R\) обращает (11.60) в уравнение Бине \(u''+u=H_\varphi/C\): оно ЛИНЕЙНО, и на этом стоит вся первая часть расчёта.

Осевое усилие выходит совсем простым: \(N=C/(R\sin\gamma)\). Для круга это \(N=\bar H_sR\) — классическая формула.

Совместная работа кольца с вантовой системой — задача нелинейная и контактная, но справочник предлагает упрощение: сначала вантовая система считается при недеформируемом кольце, затем вводится действительная жёсткость кольца, а перемещения от его податливости считаются настолько малыми, что их квадратами можно пренебречь. Вантовая система заменяется упругой средой винклеровского типа.

3. Порядок работы

Нажмите кнопку с примером внизу левой панели — страница заполнится готовыми данными, на которых видно, что и куда вводится.
Правьте поля: расчёт пересчитывается сам через мгновение после правки, отдельной кнопки «посчитать» нет.
Смотрите правую панель: расчётная схема, сводка результатов, проверки, графики и таблица по сечениям.
Убедитесь, что невязки в таблице проверок близки к нулю — это и есть признак того, что расчёт сошёлся.
Нажмите «Сформировать отчёт» — откроется отдельная страница с полным ручным выводом: формула со своим номером по справочнику, подстановка чисел, результат.
«Сохранить JSON» кладёт исходные данные в файл, «Загрузить JSON» возвращает их обратно — так удобно хранить варианты.
Выберите очертание оси. Круг нужен для расчёта моментов: готовые решения (11.65)–(11.71) справочник даёт только для него.
Задайте распор, передаваемый вантами: средний погонный и гармоники при \(\cos n\varphi\). Первой гармоники быть не может — у неё есть равнодействующая.
Выберите вид упругой среды и, если она считается по табл. 11.7 или 11.8, задайте величины вантовой системы из её расчёта по п. 11.2.3.
Сравните заданный распор с безмоментным законом для этого очертания: чем ближе, тем меньше изгиб.
Нажмите кнопку с примером внизу левой панели — страница заполнится готовыми данными, на которых видно, что и куда вводится.
Правьте поля: расчёт пересчитывается сам через мгновение после правки, отдельной кнопки «посчитать» нет.
Смотрите правую панель: расчётная схема, сводка результатов, проверки, графики и таблица по сечениям.
Убедитесь, что невязки в таблице проверок близки к нулю — это и есть признак того, что расчёт сошёлся.
Нажмите «Сформировать отчёт» — откроется отдельная страница с полным ручным выводом: формула со своим номером по справочнику, подстановка чисел, результат.
«Сохранить JSON» кладёт исходные данные в файл, «Загрузить JSON» возвращает их обратно — так удобно хранить варианты.

4. Исходные данные

Поля перечислены в том же порядке, в каком идут на странице.

Поле	Ед.	Что означает
Очертание оси	—	Круг; эллипс с полюсом в центре (рис. 11.14) или в фокусе (рис. 11.15); правильный многоугольник; подбор очертания по заданному распору.
\(R\)	м	Радиус кольца, у многоугольника — описанной окружности, у подобранного очертания — средний радиус, которым закрепляется масштаб.
\(a\), \(b\)	м	Полуоси эллипса.
\(n\)	шт.	Число вершин правильного многоугольника.
\(\bar H_s\)	кН/м	Средний погонный распор, передаваемый вантами на кольцо. У подобранного очертания понимается на единицу полярного угла: очертание заранее неизвестно, и погонную нагрузку не к чему отнести.
\(H_n\)	кН/м	Гармоники распора при \(\cos n\varphi\) — (11.66). Только они дают изгиб: нулевая гармоника создаёт чистое сжатие, первая невозможна.
\(EI_1\), \(EI_2\), \(GI_d\)	кН·м²	Жёсткости кольца в плоскости, из плоскости и на кручение.
\(k\)	шт.	Число равноотстоящих опор под кольцом.
\(V_s\)	кН/м	Равномерная погонная вертикальная нагрузка на кольцо.
Упругая среда	—	Двухпоясная система со связями по всей длине (табл. 11.7) или со связью поясов в центре (табл. 11.8); однопоясная по (11.64); заданные коэффициенты; либо без среды — это идёт в запас, среда моменты уменьшает.
\(\Psi_1\), \(\Psi_2\), \(\eta\), \(\vartheta\), \(T\)	—	Величины вантовой системы, взятые из её решённого состояния по п. 11.2.3. Нужны только для табл. 11.7, 11.8 и (11.64).

5. Как читать результаты

Величина	Пояснение
Безмоментный закон нагружения	Распределение распора, при котором кольцо не изгибается вовсе. Очертание задаёт только закон; масштаб определяет постоянная \(C\), подобранная по заданному среднему распору.
Отличие от безмоментного	Насколько заданный распор расходится с этим законом. Это и есть мера того, далеко ли ось от кривой давления.
Осевое усилие \(N\)	Сжатие кольца. Наибольшее значение и идёт в подбор сечения.
Коэффициенты постели \(k_1\), \(k_2\)	Упругая среда, заменяющая вантовую систему. Входят в \(K_1\) и \(K_2\) со знаком плюс, то есть УМЕНЬШАЮТ моменты.
Моменты \(M_1\), \(M_2\), \(M_{12}\)	Изгибающий в плоскости, изгибающий из плоскости и крутящий. Считаются только для кругового кольца — так их даёт справочник.
Сосредоточенные силы в вершинах	Для многоугольного контура: вдоль прямой стороны нагрузок нет, весь распор собран в вершинах и считается по (11.59).

6. Что означают проверки

Проверяется то, что в решении не участвовало: совпадение означает, что вывод верен, а не что арифметика повторена дважды.

Проверка	Что означает
Тождество Бине	\(R^{2}+2R'^{2}-RR''=R^{3}(u''+u)\) — на нём держится вся первая часть расчёта, поэтому оно проверяется численным дифференцированием.
Равновесие кривого стержня	Самая содержательная проверка. Оба уравнения безмоментного кольца — \(N\sigma=q_n\) по нормали и \(dN/ds=-q_t\) по касательной — собираются заново и проверяются в найденном решении, не пользуясь ни (11.57), ни (11.58), ни (11.60).
Согласие (11.58) и (11.60)	\(H_\varphi=H_s\,ds/d\varphi\): две записи одного и того же закона обязаны совпасть.
Теоремы об эллипсе	У эллипса с полюсом в фокусе \(H_\varphi\) обязано быть постоянным (рис. 11.15), с полюсом в центре — пропорциональным \(R^{3}\) (рис. 11.14).
Вырождения (11.67) и (11.71)	При снятых распоре и упругой среде обязаны получиться классические \(K_1=(n^{2}-1)^{2}\) и \(K_2=n^{2}(n^{2}-1)^{2}\), то есть \(M_{1n}=H_nR^{2}/(n^{2}-1)\). Это проверка самих формул книги.
Многоугольник	Сосредоточенная сила по (11.59) обязана совпасть с простым равновесием вершины \(2N\sin(\pi/n)\), а осевое усилие вдоль стороны — быть постоянным и равным \(C\)/апофема.

7. Если программа отказывается считать

Сообщения об ошибках здесь не технические: каждое называет физическую причину и подсказывает, что поправить.

Сообщение	Что делать
Задана первая гармоника распора	У первой гармоники есть равнодействующая, а систему сил с равнодействующей замкнутым кольцом уравновесить нельзя. Распоры висячей системы самоуравновешены, поэтому первой гармоники в них нет — это же видно и в уравнении Бине, которое при \(n=1\) неразрешимо.
У окружности фокус совпадает с центром	При \(a=b\) оба положения полюса — одно и то же. Задайте разные полуоси или возьмите круговое кольцо.
\(K_1(n)\) или \(K_2(n)\) обращается в ноль	Кольцо теряет устойчивость при таком распоре и такой жёсткости. Устойчивость в п. 11.2.5 не рассматривается, но близость этих величин к нулю — прямой признак того, что до неё недалеко.
Система для коэффициентов постели вырождена	Проверьте податливости поясов, параметры очертания и усилия вантовой системы: при нулевых \(\vartheta\) табл. 11.7 и 11.8 вырождаются.

8. На что обратить внимание

Ключ ко всей первой части — подстановка \(u=1/R\). Она обращает (11.60) в линейное уравнение Бине, и обратная задача решается почленно рядом Фурье: \(u_n=h_n/(C(1-n^{2}))\). Заодно становится видно, почему первая гармоника невозможна: при \(n=1\) знаменатель обращается в ноль.
Обе теоремы об эллипсе выводятся в две строки. У эллипса с полюсом в фокусе \(u=(1+e\cos\varphi)/p\), откуда \(u''+u=1/p\) — постоянная величина; у эллипса с полюсом в центре \(u''+u=R^{3}/(a^{2}b^{2})\), то есть \(H_\varphi\propto R^{3}\), а это ровно распор радиальной системы с горизонтальным контуром: там \(T=qR^{3}/(6f)\).
Эллипс служит осью безмоментного кольца и для пологой сети переноса (п. 11.2.4 справочника) — когда усилия постоянны для всех вант каждого направления и относятся между собой как квадраты полуосей. Усилие в кольце тогда равно \(T_2a\) на концах большой оси и \(T_1b\) на концах малой.
Столбцы «свободные члены» в табл. 11.7 и 11.8 перечисляют слагаемые так, как они стоят В УРАВНЕНИИ, поэтому в правую часть системы переносятся с обратным знаком. Проверяется это физикой: только тогда коэффициенты постели выходят положительными и упругая среда уменьшает моменты.
Суммирование в (11.69) и (11.70) идёт не по всем номерам, а по кратным числу опор: реакции \(k\) равноотстоящих опор дают в ряде Фурье только такие гармоники, причём с амплитудой \(2V_s\) — отсюда и множитель \(2V_s\) в самих формулах.
Единицы всюду согласованы: длины в метрах, силы в килоньютонах, моменты в кН·м, жёсткости в кН и кН·м². Если ввести жёсткость в МПа или в Н, ответ будет бессмысленным по величине, но программа об этом не догадается.
Пустое поле и ноль — не одно и то же там, где это оговорено: ноль часто означает «не учитывать», а пустое поле — «подобрать самому».
Отчёт самодостаточен: формулы в нём отрисовываются встроенным KaTeX, картинки — векторные, поэтому файл можно переслать или распечатать без интернета.
Все проверки в отчёте считаются по величинам, которые в решении не участвовали. Невязка порядка 10⁻¹² и меньше означает машинный ноль; заметная невязка — повод разобраться, а не округлить.
Единицы всюду согласованы: длины в метрах, силы в килоньютонах, моменты в кН·м, жёсткости в кН и кН·м². Если ввести жёсткость в МПа или в Н, ответ будет бессмысленным по величине, но программа об этом не догадается.
Пустое поле и ноль — не одно и то же там, где это оговорено: ноль часто означает «не учитывать», а пустое поле — «подобрать самому».
Отчёт самодостаточен: формулы в нём отрисовываются встроенным KaTeX, картинки — векторные, поэтому файл можно переслать или распечатать без интернета.
Все проверки в отчёте считаются по величинам, которые в решении не участвовали. Невязка порядка 10⁻¹² и меньше означает машинный ноль; заметная невязка — повод разобраться, а не округлить.

Полный вывод с формулами и подстановкой чисел — в отчёте, который формируется кнопкой «Сформировать отчёт».