Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Нормальное сечение по деформационной модели

Справка по работе с расчётом · СП 63.13330.2018, пп. 8.1.20–8.1.30
Железобетонные конструкции. СП 63.13330.2018 с изменениями № 1 и № 2 → Железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры

1. Что считает

Программа считает прочность нормального сечения на основе нелинейной деформационной модели: делит сечение на малые участки, решает три уравнения равновесия с жёсткостными характеристиками D_ij и проверяет условия (8.37) и (8.38) по предельным деформациям бетона и арматуры.

Сопротивления и диаграммы состояния берутся из готовых расчётов характеристик бетона и арматуры — подразделов 6.1 и 6.2.

ГЛАВНОЕ ОБ ЭТОМ РАСЧЁТЕ: он не знает ни «сжатой зоны», ни «граничной высоты», ни отдельных случаев для изгиба, сжатия и растяжения. Вместо них — гипотеза плоских сечений, диаграммы состояния материалов и равновесие. Поэтому сечение может быть любым: прямоугольник, тавр полкой вверх или вниз, двутавр, круг, кольцо или свой контур по координатам. Арматура задаётся координатами стержней, сколько угодно и где угодно.

Неизвестных три: относительная деформация ε₀ волокна в начале координат и кривизны 1/r_x, 1/r_y. Уравнений тоже три — (8.39)–(8.41). Система линейна только на вид: коэффициенты упругости ν в D_ij сами зависят от деформаций, то есть от решения. Отсюда последовательные приближения.

2. Расчётная схема и допущения

Схема — рисунок 8.5 свода. Ось X направлена вниз, ось Y вправо; начало координат свод разрешает ставить «в произвольном месте в пределах поперечного сечения». У готовых сечений оно приходится на центр тяжести бетонного сечения, у своего сечения — туда, куда его поставите вы.

ЗНАКИ — по п. 8.1.22: сжимающая продольная сила, сжимающие напряжения и деформации укорочения берутся со знаком «минус», растягивающие — со знаком «плюс». Сжимающую силу задавайте отрицательной.

РАЗБИВКА — п. 8.1.21. При изгибе и сжатии в плоскости оси симметрии сечение делится только по высоте, при косом — по высоте и ширине. Напряжения в пределах участка принимаются равномерными. Границы полос программа сажает на характерные уровни сечения — те высоты, где ширина меняется скачком: тогда для тавра и двутавра площадь разбивки получается точной, а не приближённой.

РАСТЯНУТЫЙ БЕТОН по п. 8.1.20 разрешено не учитывать, принимая при ε_bi ≥ 0 напряжения σ_bi = 0; так по умолчанию. Отдельный случай — изгибаемые и внецентренно сжатые бетонные элементы, в которых не допускают трещин: там расчёт ведут с учётом работы растянутого бетона и добавляется условие (8.52). Это включается переключателем.

СХОДИМОСТЬ проверяется по невязке самих уравнений равновесия (8.26)–(8.28), а не по тому, насколько мало изменились неизвестные. Так честнее: неподвижная точка приближений — это в точности равновесие, потому что подстановка (8.29) в (8.47) обращает (8.41) в (8.28).

3. Порядок работы

Выберите режим. Плоский — когда усилия лежат в плоскости оси симметрии сечения (пп. 8.1.27, 8.1.28); косой — когда моментов два (пп. 8.1.25, 8.1.26).
Выберите вид сечения и задайте его размеры. Для своего сечения заполните табличку вершин контура: столбцы y и x. Кнопка «+ вершина» добавляет строку, крестик справа её убирает.
Заполните табличку стержней: y, x, площадь и, если нужно, свой класс из списка. Координаты — центра тяжести стержня.
Выберите класс бетона, влажность и диаграмму состояния: двухлинейную (п. 6.1.21) или трёхлинейную (п. 6.1.20).
Введите усилия. Сжимающая сила — со знаком минус. Если продольная сила приложена не в начале координат, задайте смещения e_x и e_y: моменты получатся по (8.33) и (8.34).
При желании измените разбивку. Ста полос хватает почти всегда; чтобы убедиться, увеличьте вдвое и посмотрите, изменился ли ответ.
Нажмите кнопку с примером внизу левой панели — страница заполнится готовыми данными, на которых видно, что и куда вводится.
Правьте поля: расчёт пересчитывается сам через мгновение после правки, отдельной кнопки «посчитать» нет.
Смотрите правую панель: расчётная схема, сводка результатов, проверки, графики и таблица по сечениям.
Убедитесь, что невязки в таблице проверок близки к нулю — это и есть признак того, что расчёт сошёлся.
Нажмите «Сформировать отчёт» — откроется отдельная страница с полным ручным выводом: формула со своим номером по справочнику, подстановка чисел, результат.
«Сохранить JSON» кладёт исходные данные в файл, «Загрузить JSON» возвращает их обратно — так удобно хранить варианты.

4. Исходные данные

Поля перечислены в том же порядке, в каком идут на странице.

Поле	Ед.	Что означает
Режим	—	Плоский — M_y и жёсткости D_12, D_22, D_23 принимаются нулевыми, как прямо предписывают пп. 8.1.27 и 8.1.28. Косой — работает полная система (8.39)–(8.41).
Вид сечения	—	Прямоугольное, тавровое полкой вверх или вниз, двутавровое, круглое, кольцевое или своё по координатам. У готовых сечений начало координат приходится на центр тяжести бетона.
Вершины контура	мм	Только для своего сечения: табличка со столбцами y и x. Контур замыкается сам, порядок обхода любой.
Стержни	мм, мм²	Табличка со столбцами y, x, Ø, шт., A_s и классом. Стержней сколько угодно; класс у каждого может быть свой, а «по умолчанию» берёт тот, что выбран выше.
Ø и шт.	мм, шт.	Диаметр по таблице 1 ГОСТ 34028-2016 и число стержней в этой точке. Выберите диаметр — площадь возьмётся из сортамента и умножится на «шт.»; клетка A_s тогда заполняется сама и не правится. Оставьте Ø = «—» — и A_s вводится как раньше, вручную. Два способа равноправны, и в одной задаче их можно смешивать.
Класс бетона	—	Определяет R_b, E_b, E_b,red и деформационные параметры диаграмм ε_b0, ε_b2, ε_bt0, ε_bt2.
Диаграмма состояния бетона	—	Двухлинейная (п. 6.1.21) или трёхлинейная (п. 6.1.20). Выбор меняет не только напряжения, но и модуль в формулах (8.42)–(8.47): при двухлинейной там стоит E_b,red.
Растянутый бетон	—	По умолчанию не учитывается — п. 8.1.20. Включайте только для элементов, в которых не допускают трещин (п. 8.1.29): тогда добавится условие (8.52).
N	кН	Продольная сила. СЖАТИЕ — СО ЗНАКОМ МИНУС (п. 8.1.22).
M_xd, M_yd	кН·м	Моменты из статического расчёта в плоскостях XOZ и YOZ. В плоском режиме M_yd равен нулю.
e_x, e_y	мм	Расстояния от точки приложения N до выбранных осей. Входят в моменты по (8.33) и (8.34).
Полос по высоте	—	Число малых участков по высоте сечения. Свод их числа не устанавливает; сто хватает почти всегда.
Ячеек по ширине	—	Только при косом изгибе: на сколько частей режется каждая полоса по ширине.

5. Как читать результаты

Величина	Пояснение
ε₀	Относительная деформация волокна в начале координат — неизвестная уравнений (8.39)–(8.41).
1/r_x, 1/r_y	Кривизны продольной оси в плоскостях действия моментов.
D_11 … D_33	Жёсткостные характеристики по формулам (8.42)–(8.47).
ε_b,max	Деформация наиболее сжатого волокна бетона — левая часть условия (8.37).
ε_s,max	Деформация наиболее растянутого стержня — левая часть условия (8.38).
ε_b,ult, ε_s,ult	Предельные деформации по п. 8.1.30.
невязка	Насколько уравнения равновесия (8.26)–(8.28) не сошлись. У решённой задачи — около 10⁻¹².
нейтральная линия	Уровень, на котором деформация обращается в нуль, и доля сжатой площади бетона.

6. Что означают проверки

Проверяется то, что в решении не участвовало: совпадение означает, что вывод верен, а не что арифметика повторена дважды.

Проверка	Что означает
\|ε_b,max\| ≤ ε_b,ult	Условие (8.37) — по бетону.
ε_s,max ≤ ε_s,ult	Условие (8.38) — по арматуре.
ε_bt,max ≤ ε_bt,ult	Условие (8.52) — только когда учитывается растянутый бетон (п. 8.1.29).
двузначная эпюра или нет	От этого зависит ε_b,ult: при двузначной он равен ε_b2, при однозначной считается по (8.53) и (8.54).
невязка равновесия	Уравнения (8.26)–(8.28) должны сойтись. Если равновесие недостижимо, прочность не обеспечена заведомо.

7. Если программа отказывается считать

Сообщения об ошибках здесь не технические: каждое называет физическую причину и подсказывает, что поправить.

Сообщение	Что делать
В плоском режиме момент M_yd равен нулю	Пункты 8.1.27 и 8.1.28 прямо принимают M_y = 0. Для двух моментов выберите косой режим.
Начало координат вышло за пределы сечения	Пункт 8.1.22 требует ставить его «в произвольном месте в пределах поперечного сечения». Уравнения от этого не меняются, но требование свода нарушено — программа предупреждает.
Стержень лежит вне бетонного сечения	Проверьте координаты: программа считает, но предупреждает.
Своё сечение задаётся не менее чем тремя точками	Контур — замкнутый многоугольник.
Без арматуры и без продольной силы сечение нечем уравновесить	Чисто бетонный изгибаемый элемент считают по п. 8.1.29 с учётом работы растянутого бетона.

8. На что обратить внимание

ПУЧОК СЧИТАЕТСЯ В ОДНОЙ ТОЧКЕ. Когда стержню задают диаметр и «шт.» больше одного, вся площадь пучка помещается в одну точку с заданными координатами. Так и принято: уравнения (8.26)–(8.28) суммируют арматуру по точкам, а разнос стержней пучка на десяток миллиметров на жёсткости сечения не сказывается. Нужна точность — задайте стержни по отдельности, строк не жалко.
РЕДАКЦИЯ. Пункты 8.1.20–8.1.30 действуют в базовой редакции 2018 года: Изменение № 1 в подразделе 8.1 затронуло только 8.1.1 и 8.1.48, Изменение № 2 — только 8.1.34.
КАКОЙ МОДУЛЬ СТОИТ В ФОРМУЛАХ (8.42)–(8.47). Пункт 8.1.23 велит получать ν делением напряжения на деформацию и «на модуль упругости бетона E_b (при двухлинейной диаграмме состояния бетона — на приведённый модуль деформации сжатого бетона E_b,red)». Значит, и в произведении E_b·ν_bi формул (8.42)–(8.47) должен стоять тот же модуль: иначе произведение перестанет быть секущим модулем σ/ε и уравнения (8.39)–(8.41) разойдутся с уравнениями равновесия (8.26)–(8.28). Программа при двухлинейной диаграмме везде берёт E_b,red.
ЧИСЛА УЧАСТКОВ РАЗБИВКИ СВОД НЕ УСТАНАВЛИВАЕТ. Пункт 8.1.21 требует только делить сечение «на малые участки». Сходимость по числу участков проверяйте сами: увеличьте разбивку вдвое и посмотрите, изменился ли ответ.
СПОСОБА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ СВОД НЕ ДАЁТ. Здесь последовательные приближения по коэффициентам ν с уточнением по Ньютону; сходимость проверяется по невязке уравнений равновесия (8.26)–(8.28).
ПРИЗНАКА НЕДОСТИЖИМОСТИ РАВНОВЕСИЯ СВОД ТОЖЕ НЕ ДАЁТ. Условия (8.37) и (8.38) записаны сразу для деформаций «от действия внешней нагрузки». Если ни одно состояние сечения этой нагрузке не отвечает, таких деформаций попросту нет; программа принимает, что это само означает исчерпание прочности, и не показывает вместо них последнее приближение.
ОКРУЖНОСТЬ приближается правильным многоугольником из 180 сторон: площадь занижена на 0,02 %. Это на два порядка меньше погрешности самой разбивки.
ПЛОЩАДЬ БЕТОНА ПОД АРМАТУРОЙ НЕ ВЫЧИТАЕТСЯ: формулы (8.26)–(8.28) и (8.42)–(8.47) суммируют участки бетона и стержни порознь, и вычитания свод не предписывает.
Единицы всюду согласованы: длины в метрах, силы в килоньютонах, моменты в кН·м, жёсткости в кН и кН·м². Если ввести жёсткость в МПа или в Н, ответ будет бессмысленным по величине, но программа об этом не догадается.
Пустое поле и ноль — не одно и то же там, где это оговорено: ноль часто означает «не учитывать», а пустое поле — «подобрать самому».
Отчёт самодостаточен: формулы в нём отрисовываются встроенным KaTeX, картинки — векторные, поэтому файл можно переслать или распечатать без интернета.
Все проверки в отчёте считаются по величинам, которые в решении не участвовали. Невязка порядка 10⁻¹² и меньше означает машинный ноль; заметная невязка — повод разобраться, а не округлить.

Полный вывод с формулами и подстановкой чисел — в отчёте, который формируется кнопкой «Сформировать отчёт».