Два эллипса контурного кольца

В книге про контурное кольцо есть утверждение, которое легко прочитать невнимательно: эллипс служит безмоментной осью кольца. Вопрос — какой сети. Ответ зависит от того, где стоит полюс, и ответов ровно два.

Полюс в фокусе

Полярное уравнение эллипса с полюсом в фокусе:

\[R = \frac{p}{1 + e\cos\varphi},\qquad u = \frac{1 + e\cos\varphi}{p}.\]

Подставим в \(H_\varphi = C(u'' + u)\):

\[u'' + u = \frac{-e\cos\varphi + 1 + e\cos\varphi}{p} = \frac{1}{p}.\]

Значит

\[H_\varphi = \frac{C}{p} = \mathrm{const}.\]

Эллипс с полюсом в фокусе — безмоментная ось кольца для равномерного распора по углу.

Полюс в центре

Тот же эллипс, но полюс посередине:

\[R^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2\sin^2\varphi + b^2\cos^2\varphi}.\]

Прямой подстановкой в (11.60) получается

\[H_\varphi = \frac{C}{a^2 b^2}\,R^3,\]

то есть распор пропорционален кубу радиуса. А это в точности то, что даёт радиальная система вант с одинаковым натяжением: при

\[T = \frac{q R^3}{6f}\]

каждая ванта тянет кольцо с усилием, растущим как \(R^3\).

Зачем это в расчёте

Две теоремы — это два независимых способа проверить программу, не сверяя её с самой собой. Программа считает обе схемы численно и сравнивает: в первой \(H_\varphi\) постоянен, во второй отношение \(H_\varphi/R^3\) постоянно. Невязка в обоих случаях — \(10^{-16}\), то есть машинный нуль.

Заодно это готовые задачи для проверки уже вашей интуиции: если кольцо получилось эллиптическим, значит сеть либо переносная и пологая, либо радиальная — третьего не выйдет.

Расчёт умеет обе схемы и ещё две: контурное кольцо.

Про расчёт Контурное кольцо.