Прогиб как момент: статико-кинематическая аналогия

Уравнения равновесия балки

\[\frac{dQ}{dx} = -q,\qquad \frac{dM}{dx} = Q \tag{5.129}\]

и уравнения перемещений

\[\frac{d\varphi}{dx} = \frac{M}{EI},\qquad \frac{dv}{dx} = \varphi \tag{5.130}\]

имеют одинаковое строение. Отличаются они только тем, что стоит в правой части первого уравнения: там \(q\), здесь \(M/EI\).

Значит, если взять ту же балку и нагрузить её фиктивной нагрузкой

\[p_ф = \frac{M}{EI},\]

то её фиктивные усилия окажутся настоящими перемещениями:

\[\varphi = Q_ф,\qquad v = M_ф.\]

Задача о прогибах превращается в задачу о моментах — а их строить умеет каждый.

Закрепления преобразуются

Одинаковых уравнений мало: нужны ещё одинаковые краевые условия. Поэтому закрепления фиктивной балки берутся не те же, а соответственные:

у настоящей балки	у фиктивной
свободный конец	защемление
защемление	свободный конец
крайняя шарнирная опора	крайняя шарнирная опора
промежуточная опора	шарнир
промежуточный шарнир	опора

Правило читается по смыслу: там, где настоящая балка не имеет прогиба (\(v=0\)), у фиктивной обязан быть нуль момента — то есть шарнир или крайняя опора. Там, где настоящая балка свободна и прогиб любой, фиктивная должна быть защемлена.

Ограничение

Аналогия работает для статически определимой фиктивной балки. Если преобразование даёт статически неопределимую схему, приём не применим — и расчёт отказывается считать, называя причину: «схема статически неопределима 2 раз». Молча выдать правдоподобное число было бы хуже.

Концевые углы

Тот же пункт даёт формулы (5.131)–(5.133) для углов поворота торцов простой балки — их-то и подставляют в уравнение трёх моментов. Единичные углы:

\[\tau_{AA} = \frac{l}{3EI},\qquad \tau_{AB} = \frac{l}{6EI},\]

а от произвольной нагрузки угол выражается через комомент (5.133) — момент грузовой эпюры относительно дальнего торца.

Простой пример для проверки себя: под равномерной нагрузкой \(\tau = ql^3/24EI\).

Как проверено

Аналогия проверяется не сама с собой, а сверкой двух независимых путей: одна и та же балка считается фиктивной балкой и методом начальных параметров.

схема	расхождение по \(\varphi\)	по \(v\)
балка Гербера	\(5{,}4\cdot10^{-14}\)	\(5{,}5\cdot10^{-14}\)
консоль	\(7{,}9\cdot10^{-16}\)	\(4{,}3\cdot10^{-16}\)

Концевые углы сверены с прямым решением (\(10^{-12}\)), а комомент посчитан двумя способами и сошёлся.

Считать: графоаналитический метод · метод начальных параметров.

Про расчёт Графоаналитический метод и концевые углы.