Две опечатки в справочнике — и как они нашлись

Пункт 5.5.5 — балка на упруго оседающих опорах. Реакция опоры

\[V_n = -P_n = \kappa\,v_n \tag{5.154}\]

пропорциональна прогибу и потому заранее неизвестна. Задача решается через табличные функции влияния \(A_n\), \(B_n\), \(C_n\), \(D_n\) — многочлены от параметра податливости \(c\), напечатанные в справочнике таблицей.

Такие таблицы набирались вручную. Проверять их приходится не глазами.

Тождества

Функции влияния связаны между собой соотношениями, которые следуют из самого их вывода:

\[A'' = A',\quad B'' = B,\quad C' = C,\quad A''' = A,\quad C''' = C'',\quad D''' = D',\quad B'''_n = B_{n-1}.\]

Это и есть проверка, не зависящая ни от программы, ни от книги: если хоть один член выписан неверно, тождество перестаёт выполняться.

Программа считает функции влияния своим выводом и сверяет с напечатанными в книге. Совпало всё, кроме двух мест.

Первая: \(D'_4\)

В справочнике напечатано

\[D'_4 = 14 - 12c + c^2.\]

Вывод даёт

\[D'_4 = 14 - 13c + c^2.\]

Проверить легко арифметикой: при \(c = 0{,}1\) правильное выражение даёт \(3{,}813/l\) — а именно это число стоит дальше в самом же справочнике, в примере 5.3. Книга противоречит себе, и права та её часть, где пример.

Вторая: \(A_6\)

Напечатано \(965c^2\), следует \(695c^2\). Классическая перестановка цифр при наборе: 6 и 9 поменялись местами.

Почему это важно

Не ради придирки к справочнику — он превосходен, и ошибок в нём поразительно мало для такого объёма. Важно другое.

Расчёт, сверенный с таблицей, проверяет только совпадение с таблицей. Расчёт, сверенный с тождеством, проверяет сам вывод.

Если бы программа просто подставляла напечатанные многочлены, она давала бы неверный ответ и была бы «проверена по справочнику». Именно поэтому в этом проекте проверки строятся на независимо выведенных величинах, а не на сравнении с прошлым запуском и не на доверии к источнику.

Что сошлось

Всё остальное — до последнего знака. Пример 5.3 при \(c = 0{,}1\):

величина	книга	расчёт
грузовые члены	\(-31{,}6p\); \(-7{,}9p\); \(0{,}053p\)	сошлось
опорные моменты (рис. 5.51)	\(0{,}44\); \(2{,}62\); \(4{,}83\)	\(0{,}434\); \(2{,}626\); \(4{,}846\)
\(Q_0 = \kappa_0 v_0\)	\(-0{,}1089p\)	\(-0{,}108540p\)

Разница в последних знаках — это округление в книге, а не расхождение: там, где справочник приводит три знака, программа приводит шесть.

Сверх того проверено равновесие, выполнение (5.154) и (5.155), и независимое решение той же задачи как балки на жёстких опорах с подобранными осадками — \(10^{-9}\). И проверено предельное поведение: с ростом жёсткости опор решение сходится к балке на жёстких опорах — при \(c = 500\) расхождение уже 0,8 %.

Считать: балка на упругих опорах.

Про расчёт Балка на упруго оседающих опорах.