Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет).
Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.
Стены: расчёт плоского выделенного элемента
СП 63.13330.2018 с Изменениями № 1, 2, пп. 8.1.56–8.1.58. Отчёт от 09.10.2026 19:19
Стену рассчитывают как плоский выделенный элемент единичной ширины на совместное действие нормальных сил, изгибающих и крутящих моментов, сдвигающих и поперечных сил, приложенных по его боковым сторонам (п. 8.1.56, рисунок 8.16). Расчёт выполнен без разделения на слои бетона и растянутой арматуры, как допускает п. 8.1.57: в плоскости стены — на нормальные и сдвигающие силы, из плоскости — на изгибающие и крутящие моменты с учётом нормальных сил; поперечные силы — по п. 8.1.58.
1. Исходные данные
| Величина | Обозн. | Значение | Ед. |
|---|
| Бетон | — | B25 | — |
| Толщина стены | \(t\) | 200 | мм |
| Продольная арматура | — | А500 | — |
| грань 1, горизонтальная (вдоль X) | — | Ø10 с шагом 200, a = 35 мм | — |
| грань 1, вертикальная (вдоль Y) | — | Ø12 с шагом 200, a = 25 мм | — |
| грань 2, горизонтальная (вдоль X) | — | Ø10 с шагом 200, a = 35 мм | — |
| грань 2, вертикальная (вдоль Y) | — | Ø12 с шагом 200, a = 25 мм | — |
| Сжатие вдоль X: расстояние между закреплёнными сечениями | \(l\) | 6000 | мм |
| расчётная длина (п. 8.1.17) | \(l_0\) | 6000 — шарнирное опирание на двух концах | мм |
| Сжатие вдоль Y: расстояние между закреплёнными сечениями | \(l\) | 3000 | мм |
| расчётная длина (п. 8.1.17) | \(l_0\) | 3000 — шарнирное опирание на двух концах | мм |
| Статически неопределимая конструкция (п. 8.1.7) | — | да | — |
| Доля длительных моментов (п. 8.1.15) | \(M_{l1}/M_1\) | 1 | — |
| Нормальная сила вдоль X | \(N_x\) | -50 | кН/м |
| Нормальная сила вдоль Y | \(N_y\) | -400 | кН/м |
| Сдвигающая сила | \(N_{xy}\) | 40 | кН/м |
| Изгибающий момент в направлении X | \(M_x\) | 2 | кН·м/м |
| Изгибающий момент в направлении Y | \(M_y\) | 8 | кН·м/м |
| Крутящий момент | \(M_{xy}\) | 1 | кН·м/м |
| Поперечная сила по сторонам, перпендикулярным X | \(Q_x\) | 5 | кН/м |
| Поперечная сила по сторонам, перпендикулярным Y | \(Q_y\) | 10 | кН/м |
| Поперечная арматура | — | нет | — |
X — горизонталь, Y — вертикаль, Z — по толщине. Нормальные силы: растяжение — плюс, сжатие — минус. Положительные \(M_x\), \(M_y\) растягивают грань 1. \(N_x\) и \(M_x\) воспринимает арматура, параллельная X, \(N_y\) и \(M_y\) — параллельная Y. Усилия — на 1 м ширины.
2. Расчётные характеристики
| Обозн. | Значение | Ед. | Основание |
|---|
| \(R_b\) | 13.05 | МПа | таблица 6.8, п. 6.1.12 |
| \(R_{bt}\) | 0.945 | МПа | таблица 6.8, п. 6.1.12 |
| \(E_b\) | 30000 | МПа | таблица 6.11 |
| \(\varepsilon_{b0}\); \(\varepsilon_{bt0}\) | 0.002; 0.0001 | — | п. 6.1.14, непродолжительное действие |
| \(R_s\); \(R_{sc}\) | 435; 435 | МПа | таблица 6.14 в редакции Изменения № 1 |
| \(E_s\) | 200000 | МПа | п. 6.2.12 |
| Грань, направление | Стержни | A_s на 1 м, мм² | a, мм |
|---|
| грань 1, вдоль X | Ø10 с шагом 200 | 392.5 | 35 |
| грань 1, вдоль Y | Ø12 с шагом 200 | 565.5 | 25 |
| грань 2, вдоль X | Ø10 с шагом 200 | 392.5 | 35 |
| грань 2, вдоль Y | Ø12 с шагом 200 | 565.5 | 25 |
| всего вдоль X | — | 785 | — |
| всего вдоль Y | — | 1131 | — |
3. Предельные нормальные силы — пп. 8.1.14–8.1.19
\(N_{x,ult}\) и \(N_{y,ult}\) определяют из расчёта нормальных сечений, перпендикулярных осям X и Y, с арматурой, параллельной этим осям (п. 8.1.57). Сечение — 1000 × 200 мм.
Вдоль X
Арматура у обеих граней одинакова, поэтому растягивающая сила в срединной плоскости совпадает с равнодействующей арматуры — это центральное растяжение (п. 8.1.18).
\[N_{x,ult}^{\text{раст}}=R_sA_{s,tot}=435\cdot 785=341.475\ \text{кН}\qquad (8.19)\]
Сжатие: \(N_{x,ult}^{\text{сж}}\) — наибольшая сила, при которой выполняется условие (8.10) при моменте из статического расчёта, равном нулю. Определяющее смещение силы на случайный эксцентриситет — к грани 2; при смещении к грани 1 предельная сила 923.691 кН.
\[e_a=\max\left(\frac{l}{600};\ \frac{t}{30};\ 10\right)=\max(10;\ 6.667;\ 10)=10\ \text{мм};\qquad e_0=e_a=10\ \text{мм}\qquad (\text{п. 8.1.7})\]
\[\frac{l_0}{i}=103.923>14;\quad \delta_e=0.15;\quad k_b=0.16667;\quad D=3{,}7977e+12\ \text{Н}\cdot\text{мм}^2;\quad N_{cr}=1041.1503\ \text{кН};\quad \eta=\frac{1}{1-N/N_{cr}}=8.86391\]
\[e=e_0\eta+\frac{h_0-a'}{2}=10\cdot 8.86391+\frac{165-35}{2}=153.639\ \text{мм}\qquad (8.11)\]
\[x=70.781\ \text{мм}\ (8.12);\qquad Ne=141.915\ \le\ R_bbx(h_0-0{,}5x)+R_{sc}A'_s(h_0-a')=141.915\ \text{кН}\cdot\text{м}\qquad (8.10)\]
\[N_{x,ult}^{\text{сж}}=923.691\ \text{кН}\]
Вдоль Y
Арматура у обеих граней одинакова, поэтому растягивающая сила в срединной плоскости совпадает с равнодействующей арматуры — это центральное растяжение (п. 8.1.18).
\[N_{y,ult}^{\text{раст}}=R_sA_{s,tot}=435\cdot 1131=491.985\ \text{кН}\qquad (8.19)\]
Сжатие: \(N_{y,ult}^{\text{сж}}\) — наибольшая сила, при которой выполняется условие (8.10) при моменте из статического расчёта, равном нулю. Определяющее смещение силы на случайный эксцентриситет — к грани 2; при смещении к грани 1 предельная сила 2440.392 кН.
\[e_a=\max\left(\frac{l}{600};\ \frac{t}{30};\ 10\right)=\max(5;\ 6.667;\ 10)=10\ \text{мм};\qquad e_0=e_a=10\ \text{мм}\qquad (\text{п. 8.1.7})\]
\[\frac{l_0}{i}=51.9615>14;\quad \delta_e=0.15;\quad k_b=0.16667;\quad D=4{,}2240e+12\ \text{Н}\cdot\text{мм}^2;\quad N_{cr}=4632.1298\ \text{кН};\quad \eta=\frac{1}{1-N/N_{cr}}=2.11345\]
\[e=e_0\eta+\frac{h_0-a'}{2}=10\cdot 2.11345+\frac{175-25}{2}=96.135\ \text{мм}\qquad (8.11)\]
\[x=156.97\ \text{мм}\ (8.13);\qquad Ne=234.6059\ \le\ R_bbx(h_0-0{,}5x)+R_{sc}A'_s(h_0-a')=234.6059\ \text{кН}\cdot\text{м}\qquad (8.10)\]
\[N_{y,ult}^{\text{сж}}=2440.392\ \text{кН}\]
4. Прочность в плоскости стены — п. 8.1.57
\[(N_{x,ult}-N_x)(N_{y,ult}-N_y)-N_{xy}^2\ge 0\quad (8.110);\qquad N_{x,ult}\ge N_x\quad (8.111);\qquad N_{y,ult}\ge N_y\quad (8.112)\]
Знаков свод в этих условиях не указывает, поэтому они проверены дважды: для растяжения — с силами как заданы и предельными растягивающими силами, для сжатия — с силами обратного знака и предельными сжимающими силами.
Растяжение
\[(341.475-(-50))\cdot(491.985-(-400))-40^2=347589.8279\ \ge\ 0\ \text{кН}^2\qquad (8.110)\]
\[N_{x,ult}=341.475\ \ge\ -50\quad (8.111);\qquad N_{y,ult}=491.985\ \ge\ -400\quad (8.112)\qquad \text{кН}\]
Условия (8.110)–(8.112) выполняются.
Сжатие
\[(923.691-50)\cdot(2440.392-400)-40^2=1781071.7572\ \ge\ 0\ \text{кН}^2\qquad (8.110)\]
\[N_{x,ult}=923.691\ \ge\ 50\quad (8.111);\qquad N_{y,ult}=2440.392\ \ge\ 400\quad (8.112)\qquad \text{кН}\]
Условия (8.110)–(8.112) выполняются.
Сдвигающая сила
\[N_{bxy,ult}=0{,}3R_bA_b=0{,}3\cdot 13.05\cdot 1000\cdot 200=783\ \text{кН}\qquad (8.114)\]
\[N_{sxy,ult}=0{,}5R_s(A_{sx}+A_{sy})=0{,}5\cdot 435\cdot(785+1131)=416.73\ \text{кН}\qquad (8.115)\]
\[N_{xy,ult}=\min(783;\ 416.73)=416.73\ \ge\ N_{xy}=40\ \text{кН}\qquad (8.113)\]
\(A_b\) — рабочая площадь сечения бетона выделенного элемента; \(A_{sx}\), \(A_{sy}\) — площадь арматуры в направлении осей X и Y. Предельная сдвигающая сила принята меньшей из сил по бетону и по арматуре.
Условие (8.113) выполняется.
5. Предельные изгибающие моменты с учётом нормальных сил
Из плоскости стену рассчитывают аналогично плитам перекрытий, определяя предельные изгибающие моменты с учётом влияния нормальных сил (п. 8.1.57). Растянутая арматура — стержни данного направления у растянутой грани, сжатая — у противоположной. При сжатии предельный момент — наибольший момент из статического расчёта, при котором выполняется условие (8.10) с эксцентриситетом по п. 8.1.7 и коэффициентом η по п. 8.1.15; при растяжении — наибольший, при котором выполняются условия п. 8.1.19; при \(N = 0\) — по пп. 8.1.1–8.1.13. Момент наращивается от нуля: где условие перестаёт выполняться, там и предел.
| Растянута грань | Вдоль | N, кН/м | A_s / A'_s, мм² | Расчёт | M_ult, кН·м/м |
|---|
| 1 | X | -50 | 392.5 / 392.5 | (8.10) | 23.291 |
| 1 | Y | -400 | 565.5 / 565.5 | (8.10) | 59.666 |
| 2 | X | -50 | 392.5 / 392.5 | (8.10) | 23.291 |
| 2 | Y | -400 | 565.5 / 565.5 | (8.10) | 59.666 |
Растянута грань 1, вдоль X
\[N=50\ \text{кН};\quad M=23.291\ \text{кН}\cdot\text{м};\quad e_0=\max\left(\frac{M}{N};\ e_a\right)=465.827\ \text{мм};\quad \eta=1.16353;\quad e=607.002\ \text{мм};\quad x=3.831\ \text{мм}\]
\[Ne=30.3501\ \le\ 30.3501\ \text{кН}\cdot\text{м}\qquad (8.10);\qquad M_{x,ult}=23.291\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
Растянута грань 1, вдоль Y
\[N=400\ \text{кН};\quad M=59.666\ \text{кН}\cdot\text{м};\quad e_0=\max\left(\frac{M}{N};\ e_a\right)=149.165\ \text{мм};\quad \eta=1.18608;\quad e=251.922\ \text{мм};\quad x=30.651\ \text{мм}\]
\[Ne=100.7686\ \le\ 100.7686\ \text{кН}\cdot\text{м}\qquad (8.10);\qquad M_{y,ult}=59.666\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
Растянута грань 2, вдоль X
\[N=50\ \text{кН};\quad M=23.291\ \text{кН}\cdot\text{м};\quad e_0=\max\left(\frac{M}{N};\ e_a\right)=465.827\ \text{мм};\quad \eta=1.16353;\quad e=607.002\ \text{мм};\quad x=3.831\ \text{мм}\]
\[Ne=30.3501\ \le\ 30.3501\ \text{кН}\cdot\text{м}\qquad (8.10);\qquad M_{x,ult}=23.291\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
Растянута грань 2, вдоль Y
\[N=400\ \text{кН};\quad M=59.666\ \text{кН}\cdot\text{м};\quad e_0=\max\left(\frac{M}{N};\ e_a\right)=149.165\ \text{мм};\quad \eta=1.18608;\quad e=251.922\ \text{мм};\quad x=30.651\ \text{мм}\]
\[Ne=100.7686\ \le\ 100.7686\ \text{кН}\cdot\text{м}\qquad (8.10);\qquad M_{y,ult}=59.666\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
6. Прочность из плоскости стены — пп. 8.1.54, 8.1.57
\[(M_{x,ult}-M_x)(M_{y,ult}-M_y)-M_{xy}^2\ge 0\quad (8.100);\qquad M_{x,ult}\ge M_x\quad (8.101);\qquad M_{y,ult}\ge M_y\quad (8.102);\qquad M_{xy,ult}\ge M_{xy}\quad (8.103)\]
Условия записаны для растянутой грани, поэтому проверены обе: грань 1 — с моментами как заданы, грань 2 — с моментами обратного знака.
\[M_{bxy,ult}=0{,}1R_bb^2h=0{,}1\cdot 13.05\cdot 200^2\cdot 1000=52.2\ \text{кН}\cdot\text{м}\qquad (8.104)\]
Растянута грань 1
\[(23.291-2)\cdot(59.666-8)-1^2=1099.0348\ \ge\ 0\ (\text{кН}\cdot\text{м})^2\qquad (8.100)\]
\[M_{x,ult}=23.291\ \ge\ 2\quad (8.101);\qquad M_{y,ult}=59.666\ \ge\ 8\quad (8.102)\qquad \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[M_{sxy,ult}=0{,}5R_s(A_{sx}+A_{sy})h_0=0{,}5\cdot 435\cdot(392.5+565.5)\cdot 165=34.38\ \text{кН}\cdot\text{м}\qquad (8.105)\]
\[M_{xy,ult}=\min(52.2;\ 34.38)=34.38\ \ge\ 1\ \text{кН}\cdot\text{м}\qquad (8.103)\]
Условия (8.100)–(8.103) выполняются.
Растянута грань 2
\[(23.291-(-2))\cdot(59.666-(-8))-1^2=1710.3595\ \ge\ 0\ (\text{кН}\cdot\text{м})^2\qquad (8.100)\]
\[M_{x,ult}=23.291\ \ge\ -2\quad (8.101);\qquad M_{y,ult}=59.666\ \ge\ -8\quad (8.102)\qquad \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[M_{sxy,ult}=0{,}5R_s(A_{sx}+A_{sy})h_0=0{,}5\cdot 435\cdot(392.5+565.5)\cdot 165=34.38\ \text{кН}\cdot\text{м}\qquad (8.105)\]
\[M_{xy,ult}=\min(52.2;\ 34.38)=34.38\ \ge\ 1\ \text{кН}\cdot\text{м}\qquad (8.103)\]
Условия (8.100)–(8.103) выполняются.
\(A_{sx}\), \(A_{sy}\) в (8.105) — стержни у растянутой грани; \(h_0\) — меньшая из рабочих высот этих стержней.
7. Поперечные силы — пп. 8.1.55, 8.1.58
\[\frac{Q_x}{Q_{x,ult}}+\frac{Q_y}{Q_{y,ult}}\le 1\quad (8.106);\qquad Q_{ult}=Q_b+Q_{sw}\quad (8.107);\qquad Q_b=0{,}5R_{bt}bh_0\quad (8.108);\qquad Q_{sw}=q_{sw}h_0\quad (8.109)\]
Влияние продольных сил (п. 8.1.58) учтено коэффициентом \(\varphi_n\) по п. 8.1.34 в редакции Изменения № 2: им умножают правую часть (8.61), а она совпадает с \(Q_b\) по (8.108). Для \(Q_x\) напряжение \(\sigma_{cp}\) — от \(N_x\), для \(Q_y\) — от \(N_y\). \(h_0\) — у грани, растянутой изгибающим моментом того же направления.
\[\sigma_{cp}=\frac{N}{A_{red}};\qquad A_{red}=A+\frac{\alpha}{\nu_b}A_s;\qquad \nu_b=\frac{R_b}{\varepsilon_{b0}E_b}\ (\text{сжатие});\qquad \nu_b=\nu_{bt}=\frac{R_{bt}}{\varepsilon_{bt0}E_b}\ (\text{растяжение})\]
\[\varphi_n=1+\frac{\sigma_{cp}}{R_b}\ (\sigma_{cp}\le 0{,}25R_b);\quad \varphi_n=1{,}25\ (0{,}25R_b\lt\sigma_{cp}\le 0{,}5R_b);\quad \varphi_n=2{,}5\left(1-\frac{\sigma_{cp}}{R_b}\right)\ge 0\ (\sigma_{cp}>0{,}5R_b)\]
\[\text{при растяжении: }\varphi_n=1-\frac{\sigma_{cp}}{2R_{bt}}\ge 0\]
Поперечной арматуры нет: \(Q_{sw} = 0\).
\(Q_x\) при \(N_x = -50\) кН/м
\[h_0=t-a=200-35=165\ \text{мм}\quad (\text{грань 1})\]
\[\alpha=\frac{E_s}{E_b}=6.6667;\qquad \nu_b=0.2175;\qquad A_{red}=200000+\frac{6.6667}{0.2175}\cdot 785=224061.3\ \text{мм}^2\]
\[\sigma_{cp}=\frac{50000}{224061.3}=0.22315\ \text{МПа};\qquad \varphi_n=1.0171\quad (\sigma_{cp}\le 0{,}25R_b)\]
\[Q_{x,ult}=1.0171\cdot 0{,}5\cdot 0.945\cdot 1000\cdot 165+0\cdot 165=79.296\ \text{кН}\]
\(Q_y\) при \(N_y = -400\) кН/м
\[h_0=t-a=200-25=175\ \text{мм}\quad (\text{грань 1})\]
\[\alpha=\frac{E_s}{E_b}=6.6667;\qquad \nu_b=0.2175;\qquad A_{red}=200000+\frac{6.6667}{0.2175}\cdot 1131=234666.7\ \text{мм}^2\]
\[\sigma_{cp}=\frac{400000}{234666.7}=1.70455\ \text{МПа};\qquad \varphi_n=1.13062\quad (\sigma_{cp}\le 0{,}25R_b)\]
\[Q_{y,ult}=1.13062\cdot 0{,}5\cdot 0.945\cdot 1000\cdot 175+0\cdot 175=93.488\ \text{кН}\]
\[\frac{5}{79.296}+\frac{10}{93.488}=0.17\ \le\ 1\qquad (8.106)\]
Условие (8.106) выполняется.
Примечания
- Расстояние между закреплёнными сечениями и расчётная длина для сжатия в каждом направлении заданы пользователем: для выделенного элемента стены свод их не устанавливает.
- Допускается применять и другие методы расчёта по прочности плоского выделенного элемента, основанные на равновесии внешних усилий по его боковым сторонам и внутренних усилий в диагональном сечении (п. 8.1.57).
Итог
В плоскости стены прочность обеспечена: (8.110)–(8.113).
Из плоскости стены прочность обеспечена: (8.100)–(8.103).
По поперечным силам прочность обеспечена: (8.106).