Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Кручение и поперечная сила: совместное действие

СП 63.13330.2018 с Изменениями № 1, 2, пп. 8.1.41–8.1.42. Отчёт от 09.10.2026 19:20

1. Исходные данные

Величина	Обозн.	Значение	Ед.
Ширина сечения	\(b\)	300	мм
Высота сечения	\(h\)	500	мм
До центров стержней у граней	\(a\)	40	мм
Бетон	—	B25	—
Продольная арматура	—	А500	—
угловые стержни у нижней грани	—	2Ø16	—
угловые стержни у верхней грани	—	2Ø16	—
промежуточные у нижней грани	—	нет	—
промежуточные у верхней грани	—	нет	—
промежуточные у каждой боковой грани	—	1Ø12	—
Поперечная арматура — замкнутые хомуты	—	А400, Ø10 с шагом 75 мм	—
Крутящий момент	\(T\)	30	кН·м
Поперечная сила	\(Q\)	150	кН
Растянутая от поперечной силы грань	—	поперечная сила в вертикальной плоскости, растянута боковая грань	—

2. Расчётные характеристики

Обозн.	Значение	Ед.	Основание
\(R_b\)	13.05	МПа	таблица 6.8, п. 6.1.12
\(R_s\)	435	МПа	таблица 6.14 в редакции Изменения № 1
\(R_{sw}\)	280	МПа	таблица 6.15
\(A_{sw,1}\)	78.5	мм²	одна ветвь хомута Ø10 — таблица 1 ГОСТ 34028-2016

Площадь продольной арматуры у грани \(A_{s,1}\) — по таблице 1 ГОСТ 34028-2016. Угловой стержень расположен у двух граней и входит в площадь у каждой из них.

Грань	Стержни у грани	A_s,1, мм²
у нижней	угловые 2Ø16	402.2
у боковой	угловой нижний Ø16, угловой верхний Ø16, промежуточные 1Ø12	515.3
у верхней	угловые 2Ø16	402.2

\[\text{у нижней грани:}\quad A_{s,1}=2\cdot 201.1=402.2\ \text{мм}^2\]

\[\text{у боковой грани:}\quad A_{s,1}=201.1+201.1+113.1=515.3\ \text{мм}^2\]

\[\text{у верхней грани:}\quad A_{s,1}=2\cdot 201.1=402.2\ \text{мм}^2\]

Для наклонных сечений — в плоскости действия поперечной силы:

Обозн.	Значение	Ед.	Основание
\(R_{bt}\)	0.945	МПа	таблица 6.8, п. 6.1.12
\(A_{sw}\)	157	мм²	две ветви замкнутого хомута в плоскости поперечной силы: 2A_sw,1
\(\varphi_n\)	1	—	п. 8.1.34 в редакции Изменения № 2 — элемент без предварительного напряжения арматуры

\[b=300\ \text{мм};\qquad h_0=h-a=500-40=460\ \text{мм}\]

3. Прочность между пространственными сечениями — п. 8.1.41

\[T\le T_0\left(1-\frac{Q}{Q_0}\right) \qquad (8.79)\]

\(T\) — крутящий момент от внешней нагрузки в нормальном сечении, \(Q\) — поперечная сила от внешней нагрузки в том же нормальном сечении; \(T_0\) — правая часть условия (8.66), \(Q_0\) — правая часть условия (8.55).

\[T_0=0{,}1R_b\,b^2h=0{,}1\cdot 13.05\cdot 300^2\cdot 500=58725000\ \text{Н}\cdot\text{мм}=58.725\ \text{кН}\cdot\text{м}\qquad (8.66)\]

В (8.66) \(b\) и \(h\) — меньший и больший размеры поперечного сечения.

\[Q_0=\varphi_{b1}R_b\,b\,h_0=0{,}3\cdot 13.05\cdot 300\cdot 460=540270\ \text{Н}=540.27\ \text{кН}\qquad (8.55)\]

\[\frac{Q}{Q_0}=\frac{150}{540.27}=0.277639\]

\[T_0\left(1-\frac{Q}{Q_0}\right)=58.725\cdot(1-0.277639)=42.421\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

\[T=30\ \text{кН}\cdot\text{м}\ \le\ 42.421\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

Условие (8.79) выполняется.

4. Поперечная арматура — п. 8.1.33

\[q_{sw}=\frac{R_{sw}A_{sw}}{s_w}=\frac{280\cdot 157}{75}=586.1333\ \text{Н/мм} \qquad (8.59)\]

\[0{,}25R_{bt}b=0{,}25\cdot 0.945\cdot 300=70.88\ \text{Н/мм};\qquad q_{sw}=586.1333\ \ge\ 70.88\]

\[s_{w,max}=\frac{R_{bt}\,b\,h_0^2}{Q}=\frac{0.945\cdot 300\cdot 460^2}{150\cdot 10^3}=399.9\ \text{мм};\qquad s_w=75\ \le\ 399.9\]

\[\text{п. 10.3.13:}\quad s_w\le 0{,}5h_0=230\ \text{мм}\ \text{и}\ s_w\le 300\ \text{мм};\qquad s_w=75\ \le\ 230\]

5. Предельный крутящий момент пространственного сечения — п. 8.1.42

Рассматривают пространственное сечение с растянутой арматурой, расположенной у грани, растянутой от поперечной силы, то есть у грани, параллельной плоскости действия поперечной силы, — здесь у боковой грани. Предельный крутящий момент \(T_0\) определяют согласно п. 8.1.38 и принимают равным правой части условия (8.67):

\[T_0=T_{sw}+T_s;\qquad T_{sw}=0{,}9N_{sw}Z_2 \quad (8.68);\qquad T_s=0{,}9N_s\frac{Z_1}{C}Z_2 \quad (8.69)\]

\[N_{sw}=q_{sw,1}C_{sw} \quad (8.70);\qquad q_{sw,1}=\frac{R_{sw}A_{sw,1}}{s_w} \quad (8.71)\]

\[C_{sw}=\delta C \quad (8.72);\qquad \delta=\frac{Z_1}{2Z_2+Z_1} \quad (8.73);\qquad N_s=R_sA_{s,1} \quad (8.74)\]

\(Z_1\) — длина стороны сечения у растянутой грани, \(Z_2\) — длина другой стороны. Отношение \(q_{sw,1}Z_1/(R_sA_{s,1})\) принимают от 0,5 до 1,5; за этими пределами учитывают такое количество продольной или поперечной арматуры, при котором отношение оказывается в пределах. Длину проекции \(C\) принимают не более \(2Z_2+Z_1\) и не более \(Z_1\sqrt{2/\delta}\).

\[q_{sw,1}=\frac{280\cdot 78.5}{75}=293.0667\ \text{Н/мм}\]

\[Z_1=500\ \text{мм};\qquad Z_2=300\ \text{мм}\]

\[N_s=R_sA_{s,1}=435\cdot 515.3=224155\ \text{Н}\]

\[\frac{q_{sw,1}Z_1}{R_sA_{s,1}}=\frac{293.0667\cdot 500}{224155}=0.6537\]

Отношение в пределах от 0,5 до 1,5.

\[\delta=\frac{Z_1}{2Z_2+Z_1}=\frac{500}{2\cdot 300+500}=0.45454545\]

\[C\le 2Z_2+Z_1=1100\ \text{мм};\qquad C\le Z_1\sqrt{2/\delta}=500\cdot\sqrt{2/0.45454545}=1048.81\ \text{мм}\]

Рассмотрены пространственные сечения с \(C\) до 1048.81 мм; наиболее опасное:

\[C=917\ \text{мм};\qquad C_{sw}=\delta C=0.45454545\cdot 917=416.8182\ \text{мм}\]

\[N_{sw}=q_{sw,1}C_{sw}=293.0667\cdot 416.8182=122155.5\ \text{Н}\]

\[T_{sw}=0{,}9\cdot 122155.5\cdot 300=32981989\ \text{Н}\cdot\text{мм}=32.982\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

\[T_s=0{,}9\cdot 224155\cdot\frac{500}{917}\cdot 300=32999992\ \text{Н}\cdot\text{мм}=33\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

\[T_0=T_{sw}+T_s=32.982+33=65.982\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

C, мм	C_sw, мм	T_sw, кН·м	T_s, кН·м	T_0 = T_sw+T_s, кН·м
200	90.91	7.193	151.305	158.498
400	181.82	14.387	75.652	90.039
600	272.73	21.58	50.435	72.015
800	363.64	28.774	37.826	66.6
917	416.82	32.982	33	65.982
1000	454.55	35.967	30.261	66.228
1048.81	476.73	37.723	28.853	66.576

6. Предельная поперечная сила наклонного сечения — п. 8.1.42

Предельную поперечную силу \(Q_0\) определяют согласно п. 8.1.33 и принимают равной правой части условия (8.56). Середину длины проекции наклонного сечения располагают в нормальном сечении, проходящем через середину длины проекции пространственного сечения.

\[Q_0=Q_b+Q_{sw}\]

\[Q_b=\frac{\varphi_{b2}R_{bt}\,b\,h_0^2}{C}\qquad(8.57),\qquad 0{,}5R_{bt}bh_0\le Q_b\le 2{,}5R_{bt}bh_0\]

\[\varphi_{b2}=1{,}5\quad\text{— принимается по п. 8.1.33}\]

\[Q_{sw}=\varphi_{sw}q_{sw}C\qquad (8.58),\qquad h_0\le C\le 2h_0\ \text{в формуле (8.58)}\]

\[\varphi_{sw}=0{,}75\quad\text{— принимается по п. 8.1.33}\]

\[0{,}5R_{bt}bh_0=65.2\ \text{кН};\qquad 2{,}5R_{bt}bh_0=326.02\ \text{кН}\]

Рассмотрены наклонные сечения с длиной проекции \(C\) до 1380 мм; при большей длине правая часть (8.56) не изменяется.

Наиболее опасное наклонное сечение

\[C=460\ \text{мм}\]

\[Q_b=\frac{1{,}5\cdot 0.945\cdot 300\cdot 460^2}{460}=195615\ \text{Н}\]

\[Q_b=195.62\ \text{кН}\]

\[Q_{sw}=0{,}75\cdot 586.1333\cdot 460=202216\ \text{Н}=202.22\ \text{кН}\]

\[Q_0=Q_b+Q_{sw}=195.615+202.216=397.831\ \text{кН}\]

C, мм	C в (8.58), мм	Q_b, кН	Q_sw, кН	Q_b+Q_sw, кН
100	460	326.02	202.22	528.24
200	460	326.02	202.22	528.24
300	460	299.94	202.22	502.16
400	460	224.96	202.22	427.17
460	460	195.62	202.22	397.83
500	500	179.97	219.8	399.77
600	600	149.97	263.76	413.73
700	700	128.55	307.72	436.27
800	800	112.48	351.68	464.16
900	900	99.98	395.64	495.62
1000	920	89.98	404.43	494.41
1100	920	81.8	404.43	486.23
1200	920	74.99	404.43	479.42
1300	920	69.22	404.43	473.65

7. Прочность пространственного сечения — п. 8.1.42

\[T\le T_0\left(1-\frac{Q}{Q_0}\right) \qquad (8.79)\]

\(T\) — крутящий момент от внешней нагрузки в пространственном сечении, \(Q\) — поперечная сила в наклонном сечении; оба определяют в нормальном сечении, расположенном в середине длины проекции \(C\) вдоль продольной оси элемента. \(T_0\) — раздел 5, \(Q_0\) — раздел 6.

Свод совмещает только середины проекций, длины \(C\) пространственного и наклонного сечений независимы. Заданные \(T\) и \(Q\) программа принимает одинаковыми при всех рассмотренных длинах, поэтому наиболее опасны наименьшие \(T_0\) и \(Q_0\).

\[\frac{Q}{Q_0}=\frac{150}{397.831}=0.377045\]

\[T_0\left(1-\frac{Q}{Q_0}\right)=65.982\cdot(1-0.377045)=41.104\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

\[T=30\ \text{кН}\cdot\text{м}\ \le\ 41.104\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

Условие (8.79) выполняется.

Примечания

Заданные T и Q относятся к нормальному сечению в середине длины проекции C (п. 8.1.42). При переменных по длине усилиях расчёт повторяют для ряда сечений по длине элемента.
При совместном действии крутящих моментов и поперечных сил следует соблюдать расчётные и конструктивные требования, приведённые в 10.3 (п. 8.1.42).
Поперечная арматура, предусмотренная для восприятия крутящих моментов, должна иметь надёжную анкеровку по концам — п. 10.3.19 в редакции Изменения № 2.

Итог

Прочность при совместном действии крутящего момента и поперечной силы обеспечена: условие (8.79) выполняется между пространственными сечениями и для пространственного сечения.