Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Крутящий и изгибающий моменты: совместное действие

СП 63.13330.2018 с Изменениями № 1, 2, пп. 8.1.39–8.1.40. Отчёт от 09.10.2026 19:20

1. Исходные данные

Величина	Обозн.	Значение	Ед.
Ширина сечения	\(b\)	300	мм
Высота сечения	\(h\)	500	мм
До центров стержней у граней	\(a\)	40	мм
Бетон	—	B25	—
Продольная арматура	—	А500	—
угловые стержни у нижней грани	—	2Ø16	—
угловые стержни у верхней грани	—	2Ø16	—
промежуточные у нижней грани	—	нет	—
промежуточные у верхней грани	—	нет	—
промежуточные у каждой боковой грани	—	1Ø12	—
Поперечная арматура — замкнутые хомуты	—	А400, Ø10 с шагом 75 мм	—
Крутящий момент	\(T\)	30	кН·м
Изгибающий момент	\(M\)	60	кН·м
Растянутая от изгиба грань	—	момент в вертикальной плоскости, растянута нижняя грань	—
Сжатая арматура при определении M₀	—	учитывается	—

2. Расчётные характеристики

Обозн.	Значение	Ед.	Основание
\(R_b\)	13.05	МПа	таблица 6.8, п. 6.1.12
\(R_s\)	435	МПа	таблица 6.14 в редакции Изменения № 1
\(R_{sw}\)	280	МПа	таблица 6.15
\(A_{sw,1}\)	78.5	мм²	одна ветвь хомута Ø10 — таблица 1 ГОСТ 34028-2016

Площадь продольной арматуры у грани \(A_{s,1}\) — по таблице 1 ГОСТ 34028-2016. Угловой стержень расположен у двух граней и входит в площадь у каждой из них.

Грань	Стержни у грани	A_s,1, мм²
у нижней	угловые 2Ø16	402.2
у боковой	угловой нижний Ø16, угловой верхний Ø16, промежуточные 1Ø12	515.3
у верхней	угловые 2Ø16	402.2

\[\text{у нижней грани:}\quad A_{s,1}=2\cdot 201.1=402.2\ \text{мм}^2\]

\[\text{у боковой грани:}\quad A_{s,1}=201.1+201.1+113.1=515.3\ \text{мм}^2\]

\[\text{у верхней грани:}\quad A_{s,1}=2\cdot 201.1=402.2\ \text{мм}^2\]

3. Прочность между пространственными сечениями — п. 8.1.39

Расчёт по прочности элемента между пространственными сечениями по п. 8.1.39 производят согласно п. 8.1.36 — как при действии крутящего момента, по условию (8.66) п. 8.1.37.

\[T\le 0{,}1R_b\,b^2h \qquad (8.66)\]

\(b\) и \(h\) — меньший и больший размеры поперечного сечения: \(b=300\) мм, \(h=500\) мм.

\[0{,}1R_b\,b^2h=0{,}1\cdot 13.05\cdot 300^2\cdot 500=58725000\ \text{Н}\cdot\text{мм}=58.725\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

\[T=30\ \text{кН}\cdot\text{м}\ \le\ 58.725\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

Условие (8.66) выполняется.

4. Предельный крутящий момент \(T_0\) — п. 8.1.40

При расчёте на совместное действие крутящего и изгибающего моментов рассматривают пространственное сечение с растянутой арматурой, расположенной у грани, растянутой от изгибающего момента, — здесь у нижней грани. Предельный крутящий момент \(T_0\) принимают равным правой части условия (8.67) для этого пространственного сечения:

\[T_0=T_{sw}+T_s;\qquad T_{sw}=0{,}9N_{sw}Z_2 \quad (8.68);\qquad T_s=0{,}9N_s\frac{Z_1}{C}Z_2 \quad (8.69)\]

\[N_{sw}=q_{sw,1}C_{sw} \quad (8.70);\qquad q_{sw,1}=\frac{R_{sw}A_{sw,1}}{s_w} \quad (8.71)\]

\[C_{sw}=\delta C \quad (8.72);\qquad \delta=\frac{Z_1}{2Z_2+Z_1} \quad (8.73);\qquad N_s=R_sA_{s,1} \quad (8.74)\]

\(Z_1\) — длина стороны сечения у растянутой грани, \(Z_2\) — длина другой стороны. Отношение \(q_{sw,1}Z_1/(R_sA_{s,1})\) принимают от 0,5 до 1,5; за этими пределами учитывают такое количество продольной или поперечной арматуры, при котором отношение оказывается в пределах. Длину проекции \(C\) принимают не более \(2Z_2+Z_1\) и не более \(Z_1\sqrt{2/\delta}\) (п. 8.1.38).

\[q_{sw,1}=\frac{280\cdot 78.5}{75}=293.0667\ \text{Н/мм}\]

\[Z_1=300\ \text{мм};\qquad Z_2=500\ \text{мм}\]

\[N_s=R_sA_{s,1}=435\cdot 402.2=174957\ \text{Н}\]

\[\frac{q_{sw,1}Z_1}{R_sA_{s,1}}=\frac{293.0667\cdot 300}{174957}=0.5025\]

Отношение в пределах от 0,5 до 1,5.

\[\delta=\frac{Z_1}{2Z_2+Z_1}=\frac{300}{2\cdot 500+300}=0.23076923\]

\[C\le 2Z_2+Z_1=1300\ \text{мм};\qquad C\le Z_1\sqrt{2/\delta}=300\cdot\sqrt{2/0.23076923}=883.18\ \text{мм}\]

Рассмотрены пространственные сечения с \(C\) до 883.18 мм; наиболее опасное:

\[C=881\ \text{мм};\qquad C_{sw}=\delta C=0.23076923\cdot 881=203.3077\ \text{мм}\]

\[N_{sw}=q_{sw,1}C_{sw}=293.0667\cdot 203.3077=59582.7\ \text{Н}\]

\[T_{sw}=0{,}9\cdot 59582.7\cdot 500=26812218\ \text{Н}\cdot\text{мм}=26.812\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

\[T_s=0{,}9\cdot 174957\cdot\frac{300}{881}\cdot 500=26809529\ \text{Н}\cdot\text{мм}=26.81\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

\[T_0=T_{sw}+T_s=26.812+26.81=53.622\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

Заданные \(T\) и \(M\) программа принимает одинаковыми при всех рассмотренных длинах \(C\), поэтому наиболее опасно пространственное сечение с наименьшим \(T_0\).

C, мм	C_sw, мм	T_sw, кН·м	T_s, кН·м	T_0, кН·м	T_0·√(1−(M/M_0)²), кН·м
100	23.08	3.043	236.192	239.235	148.632
200	46.15	6.087	118.096	124.183	77.152
300	69.23	9.13	78.731	87.861	54.586
400	92.31	12.174	59.048	71.222	44.249
500	115.38	15.217	47.238	62.455	38.802
600	138.46	18.26	39.365	57.626	35.802
700	161.54	21.304	33.742	55.045	34.199
800	184.62	24.347	29.524	53.871	33.469
881	203.31	26.812	26.81	53.622	33.314
883.18	203.81	26.878	26.743	53.622	33.314

5. Предельный изгибающий момент \(M_0\) — п. 8.1.9

Растянута от изгиба нижняя грань. Растянутая арматура \(A_s\) — стержни у нижней грани, сжатая \(A'_s\) — у верхней грани.

\[h_0=h-a=500-40=460\ \text{мм};\qquad a'=a=40\ \text{мм}\]

\[A_s=402.2\ \text{мм}^2;\qquad A'_s=402.2\ \text{мм}^2\]

Стержни у двух других граней (промежуточные у каждой боковой грани — 1Ø12) в формулы (8.4), (8.5) не входят и при определении \(M_0\) не учитываются.

Обозн.	Значение	Ед.	Основание
\(R_{sc}\)	435	МПа	таблица 6.14 в редакции Изменения № 1
\(E_s\)	200000	МПа	п. 6.2.12

Граничная относительная высота сжатой зоны — п. 8.1.6; \(\varepsilon_{b2}\) — по п. 6.1.20 при непродолжительном действии нагрузки.

\[\varepsilon_{s,el}=\frac{R_s}{E_s}=\frac{435}{200000}=2.175\cdot 10^{-3}\qquad (8.2)\]

\[\xi_R=\frac{0.8}{1+\varepsilon_{s,el}/\varepsilon_{b2}}=\frac{0.8}{1+2.175/3.5}=0.49339\qquad (8.1)\]

Армирование симметричное: \(R_sA_s=R_{sc}A'_s\). Предельный момент определяют по формуле (8.9) п. 8.1.13. Высоту сжатой зоны, вычисленную без учёта сжатой арматуры, сравнивают с \(2a'\):

\[x_{(A'_s=0)}=\frac{R_sA_s}{R_bb}=\frac{435\cdot 402.2}{13.05\cdot 300}=44.689\ \text{мм}\ \lt\ 2a'=80\ \text{мм}\]

Высота меньше \(2a'\) — в формулу (8.9) вместо \(a'\) подставляют \(x/2=22.3444\) мм.

\[M_0=R_sA_s(h_0-x/2)=435\cdot 402.2\cdot(460-22.3444)=76.571\ \text{кН}\cdot\text{м}\qquad (8.9)\]

6. Прочность пространственного сечения — п. 8.1.40

\[T\le T_0\sqrt{1-\left(\frac{M}{M_0}\right)^2} \qquad (8.78)\]

\(T\) — крутящий момент от внешней нагрузки в пространственном сечении, \(M\) — изгибающий момент от внешней нагрузки; оба определяют в нормальном сечении, расположенном в середине длины проекции \(C\) вдоль продольной оси элемента. \(T_0\) — раздел 4, \(M_0\) — раздел 5.

\[\frac{M}{M_0}=\frac{60}{76.571}=0.783587\]

\[\sqrt{1-\left(\frac{M}{M_0}\right)^2}=\sqrt{1-0.783587^2}=\sqrt{0.385991}=0.621281\]

\[T_0\sqrt{1-\left(\frac{M}{M_0}\right)^2}=53.622\cdot 0.621281=33.314\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

\[T=30\ \text{кН}\cdot\text{м}\ \le\ 33.314\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

Условие (8.78) выполняется.

Примечания

Заданные T и M относятся к нормальному сечению в середине длины проекции C (п. 8.1.40); программа принимает их одинаковыми при всех рассмотренных C. При переменных по длине моментах расчёт повторяют для ряда сечений по длине элемента.
При совместном действии крутящих и изгибающих моментов следует соблюдать расчётные и конструктивные требования 8.1.38 и 10.3 (п. 8.1.40).
Поперечная арматура, предусмотренная для восприятия крутящих моментов, должна иметь надёжную анкеровку по концам — п. 10.3.19 в редакции Изменения № 2.

Итог

Прочность при совместном действии крутящего и изгибающего моментов обеспечена: выполнены условия (8.66) и (8.78).