Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет).
Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.
Кручение: упрощённый расчёт по нормальному сечению
СП 63.13330.2018 с Изменениями № 1, 2, пп. 8.1.36–8.1.38, условие (8.75). Отчёт от 09.10.2026 19:21
По п. 8.1.38 допускается производить расчёт на действие крутящего момента, не рассматривая пространственные сечения при определении крутящего момента от внешней нагрузки, — из условия (8.75) по крутящему моменту \(T_1\) в нормальном сечении элемента. Прочность между пространственными сечениями по п. 8.1.37 проверяется при этом по условию (8.66).
1. Исходные данные
| Величина | Обозн. | Значение | Ед. |
|---|
| Ширина сечения | \(b\) | 300 | мм |
| Высота сечения | \(h\) | 500 | мм |
| До центра угловых стержней (для схемы) | \(a\) | 40 | мм |
| Бетон | — | B25 | — |
| Продольная арматура | — | А500 | — |
| угловые стержни у нижней грани | — | 2Ø16 | — |
| угловые стержни у верхней грани | — | 2Ø16 | — |
| промежуточные у нижней грани | — | нет | — |
| промежуточные у верхней грани | — | нет | — |
| промежуточные у каждой боковой грани | — | 1Ø12 | — |
| Поперечная арматура — замкнутые хомуты | — | А400, Ø10 с шагом 75 мм | — |
| Крутящий момент в нормальном сечении | \(T_1\) | 45 | кН·м |
2. Расчётные характеристики
| Обозн. | Значение | Ед. | Основание |
|---|
| \(R_b\) | 13.05 | МПа | таблица 6.8, п. 6.1.12 |
| \(R_s\) | 435 | МПа | таблица 6.14 в редакции Изменения № 1 |
| \(R_{sw}\) | 280 | МПа | таблица 6.15 |
| \(A_{sw,1}\) | 78.5 | мм² | одна ветвь хомута Ø10 — таблица 1 ГОСТ 34028-2016 |
Площадь продольной арматуры у грани \(A_{s,1}\) — по таблице 1 ГОСТ 34028-2016. Угловой стержень расположен у двух граней и входит в площадь у каждой из них.
| Грань | Стержни у грани | A_s,1, мм² |
|---|
| у нижней | угловые 2Ø16 | 402.2 |
| у боковой | угловой нижний Ø16, угловой верхний Ø16, промежуточные 1Ø12 | 515.3 |
| у верхней | угловые 2Ø16 | 402.2 |
\[\text{у нижней грани:}\quad A_{s,1}=2\cdot 201.1=402.2\ \text{мм}^2\]
\[\text{у боковой грани:}\quad A_{s,1}=201.1+201.1+113.1=515.3\ \text{мм}^2\]
\[\text{у верхней грани:}\quad A_{s,1}=2\cdot 201.1=402.2\ \text{мм}^2\]
3. Прочность между пространственными сечениями — п. 8.1.37
\[T_1\le 0{,}1R_b\,b^2h \qquad (8.66)\]
\(b\) и \(h\) — меньший и больший размеры поперечного сечения: \(b=300\) мм, \(h=500\) мм.
\[0{,}1R_b\,b^2h=0{,}1\cdot 13.05\cdot 300^2\cdot 500=58725000\ \text{Н}\cdot\text{мм}=58.725\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[T_1=45\ \text{кН}\cdot\text{м}\ \le\ 58.725\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
Условие (8.66) выполняется.
4. Расчёт по крутящему моменту в нормальном сечении — п. 8.1.38
\[T_1\le T_{sw,1}+T_{s,1} \qquad (8.75)\]
\[T_{sw,1}=q_{sw,1}\,\delta\,Z_1Z_2 \quad (8.76);\qquad T_{s,1}=0{,}5R_sA_{s,1}Z_2 \quad (8.77)\]
\[q_{sw,1}=\frac{R_{sw}A_{sw,1}}{s_w} \quad (8.71);\qquad \delta=\frac{Z_1}{2Z_2+Z_1} \quad (8.73)\]
\(T_1\) — крутящий момент в нормальном сечении элемента; \(Z_1\) — длина стороны сечения у рассматриваемой растянутой грани, \(Z_2\) — длина другой стороны. Отношение \(q_{sw,1}Z_1/(R_sA_{s,1})\) принимают от 0,5 до 1,5; за этими пределами учитывают такое количество продольной или поперечной арматуры, при котором отношение оказывается в пределах. Расчёт производится для арматуры у каждой рассматриваемой грани — нижней, боковой и верхней.
\[q_{sw,1}=\frac{280\cdot 78.5}{75}=293.0667\ \text{Н/мм}\]
4.1. Растянута нижняя грань, сжатая зона у верхней грани
\[Z_1=300\ \text{мм};\qquad Z_2=500\ \text{мм};\qquad A_{s,1}=402.2\ \text{мм}^2\]
\[R_sA_{s,1}=435\cdot 402.2=174957\ \text{Н}\]
\[\frac{q_{sw,1}Z_1}{R_sA_{s,1}}=\frac{293.0667\cdot 300}{174957}=0.5025\]
Отношение в пределах от 0,5 до 1,5.
\[\delta=\frac{Z_1}{2Z_2+Z_1}=\frac{300}{2\cdot 500+300}=0.23076923\]
\[T_{sw,1}=q_{sw,1}\,\delta\,Z_1Z_2=293.0667\cdot 0.23076923\cdot 300\cdot 500=10144615\ \text{Н}\cdot\text{мм}=10.145\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[T_{s,1}=0{,}5R_sA_{s,1}Z_2=0{,}5\cdot 174957\cdot 500=43739250\ \text{Н}\cdot\text{мм}=43.739\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[T_1=45\ \text{кН}\cdot\text{м}\ \le\ T_{sw,1}+T_{s,1}=10.145+43.739=53.884\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
Предупреждение — сравнение с расчётом по пространственным сечениям (не требование свода). Для арматуры у этой грани \(r=q_{sw,1}Z_1/(R_sA_{s,1})=0.5025\) после поправки и \(r\delta=0.5025\cdot 0.23076923=0.116<0.1178\). Наименьшая по \(C\) правая часть условия (8.67) с формулами (8.68)–(8.72) равна \(1{,}8Z_2R_sA_{s,1}\sqrt{r\delta}\), правая часть условия (8.75) с формулами (8.76), (8.77) — \(Z_2R_sA_{s,1}(r\delta+0{,}5)\). Их отношение \(\dfrac{r\delta+0{,}5}{1{,}8\sqrt{r\delta}}=\dfrac{0.116+0{,}5}{1{,}8\sqrt{0.116}}=1.0049\) больше единицы при \(r\delta<(0{,}9-\sqrt{0{,}31})^2\approx 0{,}1178\): здесь упрощённый расчёт даёт несущую способность на 0,5 % больше, чем расчёт по пространственным сечениям. При таком \(r\delta\) наиболее опасная длина проекции \(C=Z_1/\sqrt{r\delta}\) не упирается в пределы п. 8.1.38, поэтому отношение точное. Рекомендуется проверить элемент расчётом по пространственным сечениям — программа «Прочность при действии крутящего момента».
4.2. Растянута боковая грань, сжатая зона у другой боковой грани
\[Z_1=500\ \text{мм};\qquad Z_2=300\ \text{мм};\qquad A_{s,1}=515.3\ \text{мм}^2\]
\[R_sA_{s,1}=435\cdot 515.3=224155\ \text{Н}\]
\[\frac{q_{sw,1}Z_1}{R_sA_{s,1}}=\frac{293.0667\cdot 500}{224155}=0.6537\]
Отношение в пределах от 0,5 до 1,5.
\[\delta=\frac{Z_1}{2Z_2+Z_1}=\frac{500}{2\cdot 300+500}=0.45454545\]
\[T_{sw,1}=q_{sw,1}\,\delta\,Z_1Z_2=293.0667\cdot 0.45454545\cdot 500\cdot 300=19981818\ \text{Н}\cdot\text{мм}=19.982\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[T_{s,1}=0{,}5R_sA_{s,1}Z_2=0{,}5\cdot 224155\cdot 300=33623325\ \text{Н}\cdot\text{мм}=33.623\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[T_1=45\ \text{кН}\cdot\text{м}\ \le\ T_{sw,1}+T_{s,1}=19.982+33.623=53.605\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
4.3. Растянута верхняя грань, сжатая зона у нижней грани
\[Z_1=300\ \text{мм};\qquad Z_2=500\ \text{мм};\qquad A_{s,1}=402.2\ \text{мм}^2\]
\[R_sA_{s,1}=435\cdot 402.2=174957\ \text{Н}\]
\[\frac{q_{sw,1}Z_1}{R_sA_{s,1}}=\frac{293.0667\cdot 300}{174957}=0.5025\]
Отношение в пределах от 0,5 до 1,5.
\[\delta=\frac{Z_1}{2Z_2+Z_1}=\frac{300}{2\cdot 500+300}=0.23076923\]
\[T_{sw,1}=q_{sw,1}\,\delta\,Z_1Z_2=293.0667\cdot 0.23076923\cdot 300\cdot 500=10144615\ \text{Н}\cdot\text{мм}=10.145\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[T_{s,1}=0{,}5R_sA_{s,1}Z_2=0{,}5\cdot 174957\cdot 500=43739250\ \text{Н}\cdot\text{мм}=43.739\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[T_1=45\ \text{кН}\cdot\text{м}\ \le\ T_{sw,1}+T_{s,1}=10.145+43.739=53.884\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
Предупреждение — сравнение с расчётом по пространственным сечениям (не требование свода). Для арматуры у этой грани \(r=q_{sw,1}Z_1/(R_sA_{s,1})=0.5025\) после поправки и \(r\delta=0.5025\cdot 0.23076923=0.116<0.1178\). Наименьшая по \(C\) правая часть условия (8.67) с формулами (8.68)–(8.72) равна \(1{,}8Z_2R_sA_{s,1}\sqrt{r\delta}\), правая часть условия (8.75) с формулами (8.76), (8.77) — \(Z_2R_sA_{s,1}(r\delta+0{,}5)\). Их отношение \(\dfrac{r\delta+0{,}5}{1{,}8\sqrt{r\delta}}=\dfrac{0.116+0{,}5}{1{,}8\sqrt{0.116}}=1.0049\) больше единицы при \(r\delta<(0{,}9-\sqrt{0{,}31})^2\approx 0{,}1178\): здесь упрощённый расчёт даёт несущую способность на 0,5 % больше, чем расчёт по пространственным сечениям. При таком \(r\delta\) наиболее опасная длина проекции \(C=Z_1/\sqrt{r\delta}\) не упирается в пределы п. 8.1.38, поэтому отношение точное. Рекомендуется проверить элемент расчётом по пространственным сечениям — программа «Прочность при действии крутящего момента».
| Растянутая грань | Z₁, мм | Z₂, мм | T_sw,1, кН·м | T_s,1, кН·м | T_sw,1 + T_s,1, кН·м | Условие (8.75) | rδ |
|---|
| нижняя | 300 | 500 | 10.145 | 43.739 | 53.884 | выполняется | 0.116 < 0,1178 — см. предупреждение |
| боковая | 500 | 300 | 19.982 | 33.623 | 53.605 | выполняется | 0.2971 |
| верхняя | 300 | 500 | 10.145 | 43.739 | 53.884 | выполняется | 0.116 < 0,1178 — см. предупреждение |
Условие (8.75) выполняется для арматуры у каждой грани.
Примечания
Предупреждение: у нижней грани rδ = 0,1160 < 0,1178: упрощённый расчёт по (8.75) даёт здесь на 0,5 % больше, чем расчёт по пространственным сечениям (8.67), — проверьте элемент расчётом по пространственным сечениям. Отношение \((r\delta+0{,}5)/(1{,}8\sqrt{r\delta})\) правых частей (8.75) и (8.67) больше единицы при \(r\delta<0{,}1178\); вывод — в разделе грани.
Предупреждение: у верхней грани rδ = 0,1160 < 0,1178: упрощённый расчёт по (8.75) даёт здесь на 0,5 % больше, чем расчёт по пространственным сечениям (8.67), — проверьте элемент расчётом по пространственным сечениям. Отношение \((r\delta+0{,}5)/(1{,}8\sqrt{r\delta})\) правых частей (8.75) и (8.67) больше единицы при \(r\delta<0{,}1178\); вывод — в разделе грани.
- Расчёт производят для ряда нормальных сечений, расположенных по длине элемента (п. 8.1.38): T₁ — крутящий момент в рассматриваемом нормальном сечении.
- При действии крутящих моментов следует соблюдать конструктивные требования раздела 10.3 (п. 8.1.38).
- Поперечная арматура, предусмотренная для восприятия крутящих моментов, должна иметь надёжную анкеровку по концам — п. 10.3.19 в редакции Изменения № 2.
Итог
Прочность при действии крутящего момента обеспечена: выполнены условия (8.66) и (8.75).