Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Неразрезная балка из четырёх пролётов

Неразрезная балка на жёстких опорах — п. 5.5.7–5.5.8, формулы (5.184)–(5.197)
Дата формирования: 01.09.2026 14:36

1. Исходные данные

Пролёт	\(l\), м	\(EI\), кН·м²	\(l'=l\,EI_c/EI\), м
1	6.000	\(20000\)	6.0000
2	8.000	\(30000\)	5.3333
3	5.000	\(20000\)	5.0000
4	7.000	\(25000\)	5.6000

Параметр	Значение
Число пролётов	4
Полная длина L, м	26.000
Левый конец	шарнирная опора
Правый конец	защемление
Жёсткость приведения EI_c, кН·м²	\(20000\)
Момент на левом конце M_лев, кН·м	0.000
Момент на правом конце M_прав, кН·м	0.000

\(a\), м	\(b\), м	\(q_1\), кН/м	\(q_2\), кН/м
0.000	14.000	18.000	18.000

\(x\), м	\(P\), кН
17.000	60.000

Расчётная схема неразрезной балки

2. Метод

Неразрезная балка расчленяется на простые балки, шарнирно соединённые над опорами; неизвестными служат опорные моменты. Уравнение для опоры n выражает неразрывность деформации — равенство нулю угла взаимного поворота смежных торцов:

\[\tau_B^{\,n}+\tau_A^{\,n+1}=0\]

Концевые углы берутся по (5.131)–(5.133), поэтому в развёрнутом виде уравнение трёхчленное:

(5.184)\[M_{n-1}\tau_{BA}^{\,n}+M_n\left(\tau_{BB}^{\,n}+\tau_{AA}^{\,n+1}\right)+M_{n+1}\tau_{AB}^{\,n+1}+\psi_{n+1}-\psi_n+\left[\tau_B^{\,n}\right]+\left[\tau_A^{\,n+1}\right]=0\]

При постоянной в пределах пролёта жёсткости единичные концевые углы равны l/3EI и l/6EI, что даёт (5.184а); после умножения на 6EI_c и введения приведённых длин l′ = l·I_c/I получается привычная форма:

(5.184б)\[M_{n-1}l'_n+2M_n\left(l'_n+l'_{n+1}\right)+M_{n+1}l'_{n+1}+6EI_c\left(\psi_{n+1}-\psi_n\right)+6EI_c\left(\left[\tau_B^{\,n}\right]+\left[\tau_A^{\,n+1}\right]\right)=0\]

Защемление конца получается из того же уравнения, если положить соответствующую приведённую длину равной нулю: защемление — это пролёт нулевой длины, торец которого не поворачивается. Над шарнирной концевой опорой момент равен нулю или заранее известен (момент консоли).

3. Концевые углы простых балок от нагрузки

Для каждого пролёта в отдельности решается простая балка под своей частью нагрузки; концевые углы находятся как фиктивные реакции (5.131).

Пролёт	\(\Omega=\int M^{0}dx\), кН·м²	\(R_ф=\Omega/EI\), рад	\(a\), м	\(b\), м	\(\tau_A\), рад	\(\tau_B\), рад
1	\(324\)	\(0.0162\)	3.000	3.000	\(0.0081\)	\(0.0081\)
2	\(768\)	\(0.0256\)	4.000	4.000	\(0.0128\)	\(0.0128\)
3	\(180\)	\(0.009\)	2.667	2.333	\(0.0042\)	\(0.0048\)
4	\(0\)	\(0\)	3.500	3.500	\(0\)	\(0\)

4. Система уравнений

Уравнение записывается для каждой неизвестной опоры. Неизвестные — опорные моменты \(M_{1}\), \(M_{2}\), \(M_{3}\), \(M_{4}\).

Опора	\(M_{1}\)	\(M_{2}\)	\(M_{3}\)	\(M_{4}\)	Свободный член \(a_{ip}\)
1	\(22.66667\)	\(5.33333\)	\(0\)	\(0\)	\(2508\)
2	\(5.33333\)	\(20.66667\)	\(5\)	\(0\)	\(2040\)
3	\(0\)	\(5\)	\(21.2\)	\(5.6\)	\(576\)
4	\(0\)	\(0\)	\(5.6\)	\(11.2\)	\(0\)

Опора	Пролёт слева l′, м	Пролёт справа l′, м	\(\psi_{n+1}-\psi_n\)	\(\left[\tau_B\right]\)	\(\left[\tau_A\right]\)
1	6.0000	5.3333	\(0\)	\(0.0081\)	\(0.0128\)
2	5.3333	5.0000	\(0\)	\(0.0128\)	\(0.0042\)
3	5.0000	5.6000	\(0\)	\(0.0048\)	\(0\)
4	5.6000	0.0000	\(0\)	\(0\)	\(0\)

5. Решение встречным исключением

Система решается не матрицей, а так, как это делается вручную: цепные коэффициенты считаются сверху вниз и снизу вверх, после чего каждое неизвестное получается отдельно.

(5.189, 5.190)\[c_{i,i+1}=-\frac{a_{i,i+1}}{a_{i,i-1}c_{i-1,i}+a_{ii}};\qquad A_i=a_{ip}+A_{i-1}c_{i-1,i}\]

(5.189′, 5.190′)\[c'_{i,i-1}=-\frac{a_{i,i-1}}{a_{i,i+1}c'_{i+1,i}+a_{ii}};\qquad A'_i=a_{ip}+A'_{i+1}c'_{i+1,i}\]

i	\(c_{i,i+1}\)	\(A_i\)	\(c'_{i+1,i}\)	\(A'_i\)
1	\(-0.235294\)	\(2508\)	\(-0.276224\)	\(1987.73729\)
2	\(-0.257576\)	\(1449.88235\)	\(-0.271739\)	\(1883.47826\)
3	\(-0.281236\)	\(202.54545\)	\(-0.5\)	\(576\)
4	\(0\)	\(-56.96302\)	\(0\)	\(0\)

(5.188)\[X_i=-\frac{A_{i-1}c_{i-1,i}+a_{ip}+A'_{i+1}c'_{i+1,i}}{a_{i,i-1}c_{i-1,i}+a_{ii}+a_{i,i+1}c'_{i+1,i}}\]

Опора	Числитель	Знаменатель	\(X_i=M_i\), кН·м
1	\(1987.73729\)	\(21.19347\)	-93.7901
2	\(1293.36061\)	\(18.05307\)	-71.6421
3	\(202.54545\)	\(17.11212\)	-11.8364
4	\(-56.96302\)	\(9.62508\)	5.9182

6. Фокусные отношения

(5.191)\[k=-\frac{1}{c}\]

i	\(k_{i,i+1}=-1/c_{i,i+1}\)	\(k'_{i+1,i}=-1/c'_{i+1,i}\)
1	4.25000	3.62024
2	3.88235	3.68000
3	3.55574	2.00000

У равнопролётной балки фокусное отношение вдали от концов стремится к 2 + √3 = 3,732 — тому же числу, что в расчёте «Равнопролётные неразрезные балки»; у крайней опоры оно равно 4.

7. Числа влияния

Число влияния \(b_{ik}\) — значение неизвестного \(X_i\) при единичном свободном члене \(a_{kp}=1\) и нулевых прочих, то есть элемент обратной матрицы со знаком минус. Главные числа берутся из знаменателей (5.188), побочные — шагами по цепным коэффициентам.

(5.192)\[b_{ii}=-\frac{1}{\text{знаменатель}_i};\qquad b_{i+1,k}=b_{i,k}\,c'_{i+1,i};\qquad b_{i,k}=b_{i+1,k}\,c_{i,i+1}\]

\(b_{ik}\)	1	2	3	4
1	\(-0.04718\)	\(0.01303\)	\(-0.00354\)	\(0.00177\)
2	\(0.01303\)	\(-0.05539\)	\(0.01505\)	\(-0.00753\)
3	\(-0.00354\)	\(0.01505\)	\(-0.05844\)	\(0.02922\)
4	\(0.00177\)	\(-0.00753\)	\(0.02922\)	\(-0.1039\)

Контрольное равенство	Левая часть	Правая часть	Расхождение
(5.193) \(b_{ii}/b_{i+1,i+1}=c_{i,i+1}/c'_{i+1,i}\), i = 1	\(0.851822\)	\(0.851822\)	\(1.3034\cdot 10^{-16}\)
(5.193) \(b_{ii}/b_{i+1,i+1}=c_{i,i+1}/c'_{i+1,i}\), i = 2	\(0.947879\)	\(0.947879\)	\(0\)
(5.193) \(b_{ii}/b_{i+1,i+1}=c_{i,i+1}/c'_{i+1,i}\), i = 3	\(0.562471\)	\(0.562471\)	\(1.9738\cdot 10^{-16}\)
(5.194) \(b_{11}/b_{NN}=\prod c/\prod c'\)	\(0.454153\)	\(0.454153\)	\(4.8892\cdot 10^{-16}\)
Симметрия таблицы \(b_{ik}=b_{ki}\)	—	—	\(6.6787\cdot 10^{-17}\)
Совпадение с обратной матрицей	—	—	\(6.6787\cdot 10^{-17}\)

8. Опорные моменты и эпюры

Опора	\(x\), м	\(M\), кН·м	По методу начальных параметров	Расхождение
0	0.000	0.0000	0.0000	\(9.9758\cdot 10^{-7}\)
1	6.000	-93.7901	-93.7901	\(2.068\cdot 10^{-10}\)
2	14.000	-71.6421	-71.6421	\(4.4477\cdot 10^{-10}\)
3	19.000	-11.8364	-11.8364	\(7.1502\cdot 10^{-10}\)
4	26.000	5.9182	5.9182	\(6.45\cdot 10^{-8}\)

Сечение x, м	Реакция R, кН (вверх +)
0.000	38.3683
6.000	144.4002
14.000	105.1927
19.000	26.5752
26.000	-2.5364

Эпюра поперечных сил Q

Эпюра изгибающих моментов M

Эпюра прогибов v

9. Графический способ решения (рис. 5.58)

Метод делителей, он же метод перекрёстных фокусов. Основа построения — делитель: точка G между двумя вертикалями. Прямая, проведённая через точку одной вертикали и через делитель, отсекает на соседней вертикали отрезок, отличающийся множителем

\[-\frac{1-t}{t}=c,\qquad t=\frac{1}{1-c}\]

где t — доля расстояния между вертикалями. Делитель есть геометрическая форма цепного коэффициента (5.189), поэтому всё встречное исключение выполняется чертёжными средствами.

Эпюра знаменателей: утолщённые отрезки B′C′ равны знаменателям дробей (5.188)

Эпюра числителей: утолщённые отрезки между ломаными M′ и N′ равны числителям

\[X_n=-\frac{M'_nN'_n}{B'_nC'_n}\]

Опора	Числитель с чертежа	Знаменатель с чертежа	\(X\) с чертежа	\(X\) аналитически	Расхождение
1	\(1987.737287\)	\(21.19347\)	-93.79008	-93.79008	\(1.4211\cdot 10^{-14}\)
2	\(1293.360614\)	\(18.053069\)	-71.64215	-71.64215	\(1.4211\cdot 10^{-14}\)
3	\(202.545455\)	\(17.112121\)	-11.83637	-11.83637	\(1.7764\cdot 10^{-14}\)
4	\(-56.963019\)	\(9.62508\)	5.91819	5.91819	\(2.6645\cdot 10^{-15}\)

Программа строит чертёж точно и «снимает» с него длины отрезков, поэтому графическое решение сходится с аналитическим до машинной точности: знаменатели \(1.6763\cdot 10^{-16}\), числители \(2.2878\cdot 10^{-16}\), неизвестные \(1.894\cdot 10^{-16}\). При построении от руки точность определяется размером чертежа — справочник указывает, что чертёж размером с писчий лист даёт хорошую точность.

Перекрёстные фокусы

Делитель стоит на доле k/(k+1) расстояния между вертикалями, а действительный моментный фокус — на доле 1/(k+1) пролёта. Поэтому при расстояниях между вертикалями, равных пролётам, перекрёстные фокусы совпадают с зеркальными отображениями действительных.

Промежуток	Доля делителя t	Доля фокуса 1 − t	\(k\) по чертежу	\(k\) аналитически
1	0.80952	0.19048	4.25000	4.25000
2	0.79518	0.20482	3.88235	3.88235
3	0.78050	0.21950	3.55574	3.55574

10. Линии влияния

За основную систему принят ряд простых балок, шарнирно соединённых над опорами; её усилия отмечены ноликом. К линиям влияния основной системы прибавляются линии влияния опорных моментов, умноженные на коэффициенты:

(5.195)\[Q_u=Q_u^{0}+\frac{M_n-M_{n-1}}{l_n}\]

(5.196)\[M_u=M_u^{0}+\frac{l_n-u}{l_n}M_{n-1}+\frac{u}{l_n}M_n\]

(5.197)\[V_n=V_n^{0}+\frac{M_{n+1}-M_n}{l_{n+1}}-\frac{M_n-M_{n-1}}{l_n}\]

Величина	Значение
Исследуемое сечение x, м	9.000
Пролёт	2
Расстояние от левой опоры пролёта u, м	3.000
Длина пролёта l_n, м	8.000
Опора для линии влияния давления	2

Линии влияния опорных моментов строятся прямо по числам влияния: единичный груз в пролёте k даёт отличные от нуля грузовые члены только в двух уравнениях — записанных для опор этого пролёта, — и

\[a_{kp}=6EI_c\left(\tau_B^{\,k}+\tau_A^{\,k+1}\right);\qquad \tau_A=\frac{b(l^{2}-b^{2})}{6\,l\,EI};\qquad \tau_B=\frac{a(l^{2}-a^{2})}{6\,l\,EI}\]

\[M_i=\sum_k a_{kp}\,b_{ik}\]

Линия влияния опорного момента — прямо по числам влияния

Линия влияния изгибающего момента в сечении u по (5.196)

Линия влияния поперечной силы в сечении u по (5.195)

Линия влияния опорного давления по (5.197)

Опора	\(x\), м	л. в. V
0	0.000	0.00000
1	6.000	0.00000
2	14.000	1.00000
3	19.000	0.00000
4	26.000	0.00000

Проверка	Требуется	Получено
Скачок линии влияния Q в сечении	1	1.000000
Перелом линии влияния M в сечении	1	0.999999
Ордината л. в. V над своей опорой	1	1.00000000
Ордината л. в. V над остальными опорами	0	\(0\)
Ординаты л. в. опорных моментов над опорами	0	\(0\)

Независимо от кинематических признаков балка решена заново с единичным грузом в ряде положений: принцип сложения совпадает с прямым расчётом — M \(1.7606\cdot 10^{-13}\), Q \(2.4661\cdot 10^{-13}\), V \(1.1149\cdot 10^{-12}\).

11. Проверки

Проверок три, и все независимые: невязка самих уравнений, сверка решения (5.188) с прямым решением системы и сверка опорных моментов с методом начальных параметров, который считает ту же балку совершенно иначе.

Проверка	Относительная невязка
Невязка уравнений трёх моментов	\(5.6662\cdot 10^{-18}\)
Решение (5.188) против прямого решения системы	\(1.894\cdot 10^{-17}\)
Опорные моменты против метода начальных параметров	\(1.0636\cdot 10^{-8}\)
Числа влияния против обратной матрицы	\(6.6787\cdot 10^{-17}\)

Главное условие метода — углы поворота смежных торцов над каждой опорой равны и противоположны:

Опора	\(\tau_B^{\,n}\), рад	\(\tau_A^{\,n+1}\), рад	Сумма
1	\(-0.001279\)	\(0.001279\)	\(-2.1684\cdot 10^{-18}\)
2	\(0.002263\)	\(-0.002263\)	\(0\)
3	\(8.2855\cdot 10^{-4}\)	\(-8.2855\cdot 10^{-4}\)	\(-1.0842\cdot 10^{-19}\)
4	\(-2.1684\cdot 10^{-19}\)	\(0\)	\(-2.1684\cdot 10^{-19}\)

Наибольшая по модулю сумма — \(2.1684\cdot 10^{-18}\) рад.

Приложение. Использованные формулы

№	Формула	Назначение
5.184	\(M_{n-1}\tau_{BA}+M_n(\tau_{BB}+\tau_{AA})+M_{n+1}\tau_{AB}+\psi_{n+1}-\psi_n+[\tau_B]+[\tau_A]=0\)	уравнение трёх моментов в общем виде
5.184б	\(M_{n-1}l'_n+2M_n(l'_n+l'_{n+1})+M_{n+1}l'_{n+1}+6EI_c(\ldots)=0\)	то же через приведённые длины
5.187	\(X_{i-1}a_{i,i-1}+X_ia_{ii}+X_{i+1}a_{i,i+1}+a_{ip}=0\)	форма записи системы
5.188	\(X_i=-\dfrac{A_{i-1}c_{i-1,i}+a_{ip}+A'_{i+1}c'_{i+1,i}}{a_{i,i-1}c_{i-1,i}+a_{ii}+a_{i,i+1}c'_{i+1,i}}\)	общее решение встречным исключением
5.189, 5.190	\(c_{i,i+1};\;A_i\)	цепные коэффициенты
5.191	\(k=-1/c\)	фокусное отношение
5.192	\(b_{ik}\)	числа влияния
5.193, 5.194	\(b_{ii}/b_{i+1,i+1}=c_{i,i+1}/c'_{i+1,i}\)	контрольные равенства чисел влияния
5.195–5.197	\(Q_u=Q_u^{0}+\dfrac{M_n-M_{n-1}}{l_n}\) и др.	линии влияния по принципу сложения
рис. 5.58	\(X_n=-M'_nN'_n/B'_nC'_n\)	графическое решение методом делителей

Все опоры считаются жёсткими и неоседающими, если осадки не заданы явно. Балку на податливых опорах считает расчёт «Балка на упруго оседающих опорах».