Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Жёсткость железобетонного элемента с трещинами

СП 63.13330.2018 с Изменениями № 1, 2, пп. 8.2.27–8.2.30. Отчёт от 09.10.2026 19:20

Жёсткость железобетонного элемента на участке с трещинами в растянутой зоне — п. 8.2.27: \(D=E_{b1}I_{red}\) (8.143); сечения плоские, сжатый бетон упругий, растянутый бетон в сечении с трещиной не работает, между трещинами — через \(\psi_s\). По ней — кривизна (8.142), (8.141) и прогибы по общим правилам строительной механики (п. 8.2.31).

1. Исходные данные

ВеличинаОбозн.ЗначениеЕд.
Бетон—B25, тяжёлый—
Относительная влажность воздуха\(W\)55%
Сечение—прямоугольное 300×600 мм—
Продольная арматура—А500—
Нижняя арматура\(A_s\)1256мм²
до её центра тяжести от нижней грани\(a\)50мм
Верхняя арматура\(A'_s\)226мм²
до её центра тяжести от верхней грани\(a'\)40мм
Жёсткость\(D\)D = E_b1·I_red по (8.143), I_red по (8.148)—
Коэффициент\(\psi_s\)по (8.138)—
Момент от всех нагрузок\(M\)160кН·м
Продольная сила от всех нагрузок\(N\)0кН
Момент от постоянных и длительных\(M_l\)110кН·м
Продольная сила от постоянных и длительных\(N_l\)0кН
Момент образования трещин\(W_{pl}\)с учётом неупругих деформаций растянутого бетона по положениям п. 8.2.10—

Положительный момент растягивает нижнюю грань; продольная сила: растяжение — плюс, приложена в центре тяжести приведённого сечения по п. 8.2.12. Нагрузки — с \(\gamma_f=1{,}0\) (п. 8.2.3). Трещины у нижней грани.

2. Модули деформации — пп. 6.1.21, 8.2.27, 8.2.30

Модуль сжатого бетона \(E_{b1}=E_{b,red}\) — по формуле (6.9) с \(R_{b,ser}=R_{b,n}=18.5\) МПа (таблица 6.7).

(6.9)\[E_{b,red}=\frac{R_{b,ser}}{\varepsilon_{b1,red}}=\frac{18.5}{0.0015}=12333.3\ \text{МПа}\]

— при непродолжительном действии нагрузки (\(\varepsilon_{b1,red}=0.0015\), п. 6.1.21);

(6.9)\[E_{b,red}=\frac{18.5}{0.0028}=6607.1\ \text{МПа}\]

— при продолжительном (\(\varepsilon_{b1,red}=0.0028\) по таблице 6.10, влажность 40–75 %).

(8.157)\[\alpha_{s1}=\frac{E_s}{E_{b,red}}=\frac{200000}{12333.3}=16.2162;\qquad \frac{200000}{6607.1}=30.2703\]

3. Участок с трещинами — п. 8.2.23

(8.116)\[M=160\ >\ M_{crc}=61.747\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

4. Жёсткость — пп. 8.2.27–8.2.30

Приведённое сечение без растянутого бетона: сжатый бетон, растянутая арматура с \(\alpha_{s2}\), арматура у сжатой грани с \(\alpha_{s1}\); нейтральная ось — по п. 8.2.28, из (8.149) при изгибе и из (8.153) с продольной силой; расстояния — от сжатой грани.

(1/r)1 — непродолжительное действие всей нагрузки

Усилия: \(M=160\) кН·м, \(N=0\) кН; \(E_{b,red}=12333.3\) МПа — при непродолжительном действии.

(8.138)\[\psi_s=1-0{,}8\frac{M_{crc}}{M}=1-0{,}8\cdot\frac{61.747}{160}=0.6913\]
(8.158)\[E_{s,red}=\frac{E_s}{\psi_s}=\frac{200000}{0.6913}=289325\ \text{МПа};\qquad \alpha_{s2}=\frac{E_{s,red}}{E_{b,red}}=\frac{289325}{12333.3}=23.4588\]

Нейтральная ось — на глубине \(x_m=237.72\) мм от сжатой грани.

(8.149)\[S_{b0}=8.4765\cdot 10^{6};\qquad \alpha_{s2}S_{s0}-\alpha_{s1}S'_{s0}=23.4588\cdot 392225.39209-16.2162\cdot 44684.41193=8.4765\cdot 10^{6}\ \text{мм}^3\]
\[A_{red}=104444.7\ \text{мм}^2;\qquad y_{cm}=237.72\ \text{мм}\]
(8.148)\[I_{red}=I_b+I_s\alpha_{s2}+I'_s\alpha_{s1}=1.3434\cdot 10^{9}+1.2248\cdot 10^{8}\cdot 23.4588+8.8349\cdot 10^{6}\cdot 16.2162=4.36\cdot 10^{9}\ \text{мм}^4\]
(8.143)\[D=E_{b,red}I_{red}=12333.3\cdot 4.36\cdot 10^{9}\cdot 10^{-9}=53772.89\ \text{кН}\cdot\text{м}^2\]

Жёсткость без трещин при непродолжительном действии (п. 8.2.26) — 155922.22 кН·м²; жёсткость с трещинами не больше — принята по формуле.

(1/r)2 — непродолжительное действие постоянных и длительных нагрузок

Усилия: \(M=110\) кН·м, \(N=0\) кН; \(E_{b,red}=12333.3\) МПа — при непродолжительном действии.

(8.138)\[\psi_s=1-0{,}8\frac{M_{crc}}{M}=1-0{,}8\cdot\frac{61.747}{110}=0.5509\]
(8.158)\[E_{s,red}=\frac{E_s}{\psi_s}=\frac{200000}{0.5509}=363023\ \text{МПа};\qquad \alpha_{s2}=\frac{E_{s,red}}{E_{b,red}}=\frac{363023}{12333.3}=29.4343\]

Нейтральная ось — на глубине \(x_m=258.1\) мм от сжатой грани.

(8.149)\[S_{b0}=9.9922\cdot 10^{6};\qquad \alpha_{s2}S_{s0}-\alpha_{s1}S'_{s0}=29.4343\cdot 366629.1368-16.2162\cdot 49290.10755=9.9922\cdot 10^{6}\ \text{мм}^3\]
\[A_{red}=118063.7\ \text{мм}^2;\qquad y_{cm}=258.1\ \text{мм}\]
(8.148)\[I_{red}=I_b+I_s\alpha_{s2}+I'_s\alpha_{s1}=1.7193\cdot 10^{9}+1.0702\cdot 10^{8}\cdot 29.4343+1.075\cdot 10^{7}\cdot 16.2162=5.0437\cdot 10^{9}\ \text{мм}^4\]
(8.143)\[D=E_{b,red}I_{red}=12333.3\cdot 5.0437\cdot 10^{9}\cdot 10^{-9}=62205.45\ \text{кН}\cdot\text{м}^2\]

Жёсткость без трещин при непродолжительном действии (п. 8.2.26) — 155922.22 кН·м²; жёсткость с трещинами не больше — принята по формуле.

(1/r)3 — продолжительное действие постоянных и длительных нагрузок

Усилия: \(M=110\) кН·м, \(N=0\) кН; \(E_{b,red}=6607.1\) МПа — при продолжительном действии.

(8.138)\[\psi_s=1-0{,}8\frac{M_{crc}}{M}=1-0{,}8\cdot\frac{61.747}{110}=0.5509\]
(8.158)\[E_{s,red}=\frac{E_s}{\psi_s}=\frac{200000}{0.5509}=363023\ \text{МПа};\qquad \alpha_{s2}=\frac{E_{s,red}}{E_{b,red}}=\frac{363023}{6607.1}=54.944\]

Нейтральная ось — на глубине \(x_m=311.78\) мм от сжатой грани.

(8.149)\[S_{b0}=1.4581\cdot 10^{7};\qquad \alpha_{s2}S_{s0}-\alpha_{s1}S'_{s0}=54.944\cdot 299210.21063-30.2703\cdot 61421.22006=1.4581\cdot 10^{7}\ \text{мм}^3\]
\[A_{red}=169383.4\ \text{мм}^2;\qquad y_{cm}=311.78\ \text{мм}\]
(8.148)\[I_{red}=I_b+I_s\alpha_{s2}+I'_s\alpha_{s1}=3.0306\cdot 10^{9}+7.1279\cdot 10^{7}\cdot 54.944+1.6693\cdot 10^{7}\cdot 30.2703=7.4522\cdot 10^{9}\ \text{мм}^4\]
(8.143)\[D=E_{b,red}I_{red}=6607.1\cdot 7.4522\cdot 10^{9}\cdot 10^{-9}=49238.01\ \text{кН}\cdot\text{м}^2\]

Жёсткость без трещин при продолжительном действии (п. 8.2.26) — 63624.41 кН·м²; жёсткость с трещинами не больше — принята по формуле.

ЖёсткостьE_b,red, МПаψ_sα_s2x_m, ммD по формуле, кН·м²D без трещин, кН·м²D, кН·м²
(1/r)_112333.30.69123.459237.753772.9155922.253772.9
(1/r)_212333.30.55129.434258.162205.4155922.262205.4
(1/r)_36607.10.55154.944311.84923863624.449238

5. Кривизна — пп. 8.2.24, 8.2.25

(8.142)\[\left(\frac{1}{r}\right)_1=\frac{M}{D}=\frac{160}{53772.89}=0.003\ \text{м}^{-1}\]
(8.142)\[\left(\frac{1}{r}\right)_2=\frac{M}{D}=\frac{110}{62205.45}=0.0018\ \text{м}^{-1}\]
(8.142)\[\left(\frac{1}{r}\right)_3=\frac{M}{D}=\frac{110}{49238.01}=0.0022\ \text{м}^{-1}\]
(8.141)\[\frac{1}{r}=\left(\frac{1}{r}\right)_1-\left(\frac{1}{r}\right)_2+\left(\frac{1}{r}\right)_3=0.003-0.0018+0.0022=0.0034\ \text{м}^{-1}\]

Прогибы определяют по общим правилам строительной механики (пп. 8.2.21, 8.2.31) и проверяют условием (8.139) \(f\le f_{ult}\).

Итог

Участок с трещинами: жёсткости 53772.9 / 62205.4 / 49238 кН·м²; полная кривизна \(1/r=0.0034\) 1/м (8.141).