Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Жёсткость железобетонного элемента без трещин

СП 63.13330.2018 с Изменениями № 1, 2, пп. 8.2.23–8.2.26. Отчёт от 09.10.2026 19:20

Жёсткость железобетонного элемента на участке без трещин в растянутой зоне — п. 8.2.26: \(D=E_{b1}I_{red}\) (8.143) при непродолжительном и продолжительном действии нагрузки. По ней определяют кривизну (8.142) и прогибы изгибаемых элементов без трещин по общим правилам строительной механики (п. 8.2.22).

1. Исходные данные

Величина	Обозн.	Значение	Ед.
Бетон	—	B25, тяжёлый	—
Относительная влажность воздуха	\(W\)	55	%
Сечение	—	прямоугольное 300×600 мм	—
Продольная арматура	—	А500	—
Нижняя арматура	\(A_s\)	1256	мм²
до её центра тяжести от нижней грани	\(a\)	50	мм
Верхняя арматура	\(A'_s\)	226	мм²
до её центра тяжести от верхней грани	\(a'\)	40	мм
Момент инерции приведённого сечения	\(I_{red}\)	с учётом арматуры	—
Момент от всех нагрузок	\(M\)	40	кН·м
Продольная сила от всех нагрузок	\(N\)	0	кН
Момент от постоянных и длительных	\(M_l\)	30	кН·м
Продольная сила от постоянных и длительных	\(N_l\)	0	кН
Момент образования трещин	\(W_{pl}\)	с учётом неупругих деформаций растянутого бетона по положениям п. 8.2.10	—

Положительный момент растягивает нижнюю грань; продольная сила: растяжение — плюс, сжатие — минус, приложена в центре тяжести приведённого сечения по п. 8.2.12, момент — относительно него. Нагрузки — с \(\gamma_f=1{,}0\) (п. 8.2.3).

2. Модули деформации

Обозн.	Значение	Ед.	Основание
\(E_b\)	30000	МПа	таблица 6.11
\(\varphi_{b,cr}\)	2.5	—	таблица 6.12: B25, влажность 40–75 %
\(E_s\)	200000	МПа	п. 6.2.12

Непродолжительное действие нагрузки:

(8.146)\[E_{b1}=0{,}85E_b=0{,}85\cdot 30000=25500\ \text{МПа}\]

Продолжительное действие нагрузки:

(8.147)\[E_{b1}=E_{b\tau}=\frac{E_b}{1+\varphi_{b,cr}}=\frac{30000}{1+2.5}=8571.4\ \text{МПа}\]

3. Приведённое сечение и жёсткость — п. 8.2.26

Момент инерции — как для сплошного тела: вся площадь бетона и арматура с коэффициентом приведения \(\alpha\), относительно центра тяжести приведённого сечения; расстояния \(y\) — от нижней грани.

Непродолжительное действие нагрузки

(8.145)\[\alpha=\frac{E_s}{E_{b1}}=\frac{200000}{25500}=7.8431\]

\[A_{red}=A+\alpha(A_s+A'_s)=180000+7.8431\cdot 1482=191623.5\ \text{мм}^2;\qquad y=\frac{S_{red}}{A_{red}}=\frac{5.5485\cdot 10^{7}}{191623.5}=289.55\ \text{мм}\]

(8.144)\[I_{red}=I+I_s\alpha+I'_s\alpha=5.4196\cdot 10^{9}+7.2076\cdot 10^{7}\cdot 7.8431+1.653\cdot 10^{7}\cdot 7.8431=6.1146\cdot 10^{9}\ \text{мм}^4\]

(8.143)\[D=E_{b1}I_{red}=25500\cdot 6.1146\cdot 10^{9}\cdot 10^{-9}=155922.22\ \text{кН}\cdot\text{м}^2\]

Продолжительное действие нагрузки

(8.145)\[\alpha=\frac{E_s}{E_{b1}}=\frac{200000}{8571.4}=23.3333\]

\[A_{red}=A+\alpha(A_s+A'_s)=180000+23.3333\cdot 1482=214580\ \text{мм}^2;\qquad y=\frac{S_{red}}{A_{red}}=\frac{5.8418\cdot 10^{7}}{214580}=272.25\ \text{мм}\]

(8.144)\[I_{red}=I+I_s\alpha+I'_s\alpha=5.5387\cdot 10^{9}+6.2038\cdot 10^{7}\cdot 23.3333+1.8713\cdot 10^{7}\cdot 23.3333=7.4228\cdot 10^{9}\ \text{мм}^4\]

(8.143)\[D=E_{b1}I_{red}=8571.4\cdot 7.4228\cdot 10^{9}\cdot 10^{-9}=63624.41\ \text{кН}\cdot\text{м}^2\]

Длительность	E_b1, МПа	α	y, мм	I_red, мм⁴	D, кН·м²	D / (E_b·I)
непродолжительное действие нагрузки	25500	7.8431	289.55	\(6.1146\cdot 10^{9}\)	155922.22	0.9625
продолжительное действие нагрузки	8571.4	23.3333	272.25	\(7.4228\cdot 10^{9}\)	63624.41	0.3927

В последнем столбце — отношение к жёсткости бетонного сечения с начальным модулем \(E_b\): сколько дают неупругие деформации (0,85 и ползучесть) и арматура.

4. Участок без трещин — п. 8.2.23

Участок рассматривают без трещин, если трещины не образуются — условие (8.116) не выполняется — при полной нагрузке. Момент образования трещин — с учётом неупругих деформаций растянутого бетона по положениям п. 8.2.10.

(8.116)\[M=40\ \le\ M_{crc}=61.747\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

5. Кривизна — пп. 8.2.24, 8.2.25

\((1/r)_1\) — от непродолжительного действия кратковременных нагрузок: \(M-M_l=10\) кН·м, \(N-N_l=0\) кН; \((1/r)_2\) — от продолжительного действия постоянных и длительных: \(M_l=30\) кН·м, \(N_l=0\) кН.

(8.142)\[\left(\frac{1}{r}\right)_1=\frac{M}{D}=\frac{10}{155922.22}=6.4135\cdot 10^{-5}\ \text{м}^{-1}\]

(8.142)\[\left(\frac{1}{r}\right)_2=\frac{M}{D}=\frac{30}{63624.41}=4.7152\cdot 10^{-4}\ \text{м}^{-1}\]

(8.140)\[\frac{1}{r}=\left(\frac{1}{r}\right)_1+\left(\frac{1}{r}\right)_2=6.4135\cdot 10^{-5}+4.7152\cdot 10^{-4}=5.3565\cdot 10^{-4}\ \text{м}^{-1}\]

Размерность: момент в кН·м, жёсткость в кН·м², кривизна в 1/м. Прогибы определяют по общим правилам строительной механики (пп. 8.2.21, 8.2.22) и проверяют условием (8.139) \(f\le f_{ult}\).

Итог

Жёсткость на участке без трещин: при непродолжительном действии нагрузки D = 155922.22 кН·м², при продолжительном D = 63624.41 кН·м².

Трещины при полной нагрузке не образуются — участок без трещин; полная кривизна \(1/r=5.3565\cdot 10^{-4}\) 1/м.