Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет).
Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.
Плоские элементы плит: моменты и поперечные силы
СП 63.13330.2018 с Изменениями № 1, 2, пп. 8.1.53–8.1.55. Отчёт от 09.10.2026 19:20
Плоскую плиту рассчитывают как плоский выделенный элемент единичной ширины на совместное действие изгибающих моментов в направлении осей X и Y, крутящих моментов и поперечных сил, приложенных по боковым сторонам элемента (п. 8.1.53, рисунок 8.14). Расчёт выполнен без разделения на слои бетона и растянутой арматуры — из условий, основанных на обобщённых уравнениях предельного равновесия (п. 8.1.54).
1. Исходные данные
| Величина | Обозн. | Значение | Ед. |
|---|
| Бетон | — | B25 | — |
| Толщина плиты | \(h\) | 200 | мм |
| Продольная арматура | — | А500 | — |
| у нижней грани вдоль X | — | Ø12 с шагом 200, a = 26 мм | — |
| у нижней грани вдоль Y | — | Ø12 с шагом 200, a = 38 мм | — |
| у верхней грани вдоль X | — | Ø10 с шагом 200, a = 25 мм | — |
| у верхней грани вдоль Y | — | Ø10 с шагом 200, a = 35 мм | — |
| Сжатая арматура в M_ult | — | не учитывается | — |
| Изгибающий момент вдоль X | \(M_x\) | 20 | кН·м/м |
| Изгибающий момент вдоль Y | \(M_y\) | 12 | кН·м/м |
| Крутящий момент | \(M_{xy}\) | 6 | кН·м/м |
| Поперечная сила по сторонам, перпендикулярным X | \(Q_x\) | 30 | кН/м |
| Поперечная сила по сторонам, перпендикулярным Y | \(Q_y\) | 20 | кН/м |
| Поперечная арматура | — | нет | — |
Усилия — на 1 м ширины. Положительные \(M_x\) и \(M_y\) растягивают нижнюю грань; \(M_x\) воспринимает арматура вдоль X, \(M_y\) — вдоль Y.
2. Расчётные характеристики
| Обозн. | Значение | Ед. | Основание |
|---|
| \(R_b\) | 13.05 | МПа | таблица 6.8, п. 6.1.12 |
| \(R_{bt}\) | 0.945 | МПа | таблица 6.8, п. 6.1.12 |
| \(R_s\) | 435 | МПа | таблица 6.14 в редакции Изменения № 1 |
| Грань, направление | Стержни | A_s на 1 м, мм² | a, мм | h₀ = h − a, мм |
|---|
| нижняя, вдоль X | Ø12 с шагом 200 | 565.5 | 26 | 174 |
| нижняя, вдоль Y | Ø12 с шагом 200 | 565.5 | 38 | 162 |
| верхняя, вдоль X | Ø10 с шагом 200 | 392.5 | 25 | 175 |
| верхняя, вдоль Y | Ø10 с шагом 200 | 392.5 | 35 | 165 |
\(A_s = 1000\cdot A_{s1}/s\), площадь стержня \(A_{s1}\) — по таблице 1 ГОСТ 34028-2016.
3. Предельные изгибающие моменты — пп. 8.1.1–8.1.13
\(M_{x,ult}\) и \(M_{y,ult}\) определяют из расчёта нормальных сечений, перпендикулярных осям X и Y, плоского выделенного элемента с продольной арматурой, параллельной осям X и Y (п. 8.1.54). Сечение шириной \(b = 1000\) мм и высотой \(h\); для каждой грани растянутая арматура — стержни данного направления у этой грани. Сжатая арматура не учитывается: \(A'_s = 0\).
Нижняя грань, вдоль X
\[h_0=h-a=200-26=174\ \text{мм};\qquad A_s=565.5\ \text{мм}^2;\qquad A'_s=0\ \text{мм}^2\]
\[x=\frac{R_sA_s-R_{sc}A'_s}{R_bb}=\frac{435\cdot 565.5-435\cdot 0}{13.05\cdot 1000}=18.85\ \text{мм}\qquad (8.5)\]
\[\xi=\frac{x}{h_0}=0.10833\ \le\ \xi_R=0.49339\]
\[M_{x,ult}=R_bbx(h_0-0{,}5x)+R_{sc}A'_s(h_0-a')=13.05\cdot 1000\cdot 18.85\cdot(174-0{,}5\cdot 18.85)+435\cdot 0\cdot(174-25)=40.484\ \text{кН}\cdot\text{м}\qquad (8.4)\]
Нижняя грань, вдоль Y
\[h_0=h-a=200-38=162\ \text{мм};\qquad A_s=565.5\ \text{мм}^2;\qquad A'_s=0\ \text{мм}^2\]
\[x=\frac{R_sA_s-R_{sc}A'_s}{R_bb}=\frac{435\cdot 565.5-435\cdot 0}{13.05\cdot 1000}=18.85\ \text{мм}\qquad (8.5)\]
\[\xi=\frac{x}{h_0}=0.11636\ \le\ \xi_R=0.49339\]
\[M_{y,ult}=R_bbx(h_0-0{,}5x)+R_{sc}A'_s(h_0-a')=13.05\cdot 1000\cdot 18.85\cdot(162-0{,}5\cdot 18.85)+435\cdot 0\cdot(162-35)=37.532\ \text{кН}\cdot\text{м}\qquad (8.4)\]
Верхняя грань, вдоль X
\[h_0=h-a=200-25=175\ \text{мм};\qquad A_s=392.5\ \text{мм}^2;\qquad A'_s=0\ \text{мм}^2\]
\[x=\frac{R_sA_s-R_{sc}A'_s}{R_bb}=\frac{435\cdot 392.5-435\cdot 0}{13.05\cdot 1000}=13.083\ \text{мм}\qquad (8.5)\]
\[\xi=\frac{x}{h_0}=0.07476\ \le\ \xi_R=0.49339\]
\[M_{x,ult}=R_bbx(h_0-0{,}5x)+R_{sc}A'_s(h_0-a')=13.05\cdot 1000\cdot 13.083\cdot(175-0{,}5\cdot 13.083)+435\cdot 0\cdot(175-26)=28.762\ \text{кН}\cdot\text{м}\qquad (8.4)\]
Верхняя грань, вдоль Y
\[h_0=h-a=200-35=165\ \text{мм};\qquad A_s=392.5\ \text{мм}^2;\qquad A'_s=0\ \text{мм}^2\]
\[x=\frac{R_sA_s-R_{sc}A'_s}{R_bb}=\frac{435\cdot 392.5-435\cdot 0}{13.05\cdot 1000}=13.083\ \text{мм}\qquad (8.5)\]
\[\xi=\frac{x}{h_0}=0.07929\ \le\ \xi_R=0.49339\]
\[M_{y,ult}=R_bbx(h_0-0{,}5x)+R_{sc}A'_s(h_0-a')=13.05\cdot 1000\cdot 13.083\cdot(165-0{,}5\cdot 13.083)+435\cdot 0\cdot(165-38)=27.055\ \text{кН}\cdot\text{м}\qquad (8.4)\]
4. Предельный крутящий момент — п. 8.1.54
\[M_{bxy,ult}=0{,}1R_bb^2h\qquad (8.104);\qquad M_{sxy,ult}=0{,}5R_s(A_{sx}+A_{sy})h_0\qquad (8.105)\]
В (8.104) \(b\) и \(h\) — меньший и больший размеры плоского выделенного элемента: толщина плиты и 1000 мм. В (8.105) \(A_{sx}\), \(A_{sy}\) — растянутая продольная арматура у рассматриваемой грани, \(h_0\) — рабочая высота сечения; у двух направлений она разная, принята меньшая.
\[M_{bxy,ult}=0{,}1\cdot 13.05\cdot 200^2\cdot 1000=52.2\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[\text{Нижняя грань: }M_{sxy,ult}=0{,}5\cdot 435\cdot(565.5+565.5)\cdot 162=39.851\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[\text{Верхняя грань: }M_{sxy,ult}=0{,}5\cdot 435\cdot(392.5+392.5)\cdot 165=28.172\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
5. Прочность на изгибающие и крутящие моменты — п. 8.1.54
\[(M_{x,ult}-M_x)(M_{y,ult}-M_y)-M_{xy}^2\ge 0\quad (8.100);\qquad M_{x,ult}\ge M_x\quad (8.101);\qquad M_{y,ult}\ge M_y\quad (8.102);\qquad M_{xy,ult}\ge M_{xy}\quad (8.103)\]
Условия записаны для растянутой грани. Для нижней грани моменты подставляются как заданы, с предельными моментами по арматуре у нижней грани; для верхней — с обратным знаком и по арматуре у верхней грани. \(M_{xy,ult}\) — меньшее из значений по бетону (8.104) и по арматуре (8.105).
Нижняя грань
\[M_x=20\ \text{кН}\cdot\text{м};\qquad M_y=12\ \text{кН}\cdot\text{м};\qquad M_{x,ult}=40.484\ \text{кН}\cdot\text{м};\qquad M_{y,ult}=37.532\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[(40.484-(20))\cdot(37.532-(12))-6^2=487.00926\ \ge\ 0\qquad (8.100)\]
\[M_{x,ult}=40.484\ \ge\ M_x=20\quad (8.101);\qquad M_{y,ult}=37.532\ \ge\ M_y=12\quad (8.102)\]
\[M_{xy,ult}=\min(52.2;\ 39.851)=39.851\ \ge\ M_{xy}=6\ \text{кН}\cdot\text{м}\quad (8.103)\]
Условия (8.100)–(8.103) выполняются.
Верхняя грань
\[M_x=-20\ \text{кН}\cdot\text{м};\qquad M_y=-12\ \text{кН}\cdot\text{м};\qquad M_{x,ult}=28.762\ \text{кН}\cdot\text{м};\qquad M_{y,ult}=27.055\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[(28.762-(-20))\cdot(27.055-(-12))-6^2=1868.39521\ \ge\ 0\qquad (8.100)\]
\[M_{x,ult}=28.762\ \ge\ M_x=-20\quad (8.101);\qquad M_{y,ult}=27.055\ \ge\ M_y=-12\quad (8.102)\]
\[M_{xy,ult}=\min(52.2;\ 28.172)=28.172\ \ge\ M_{xy}=6\ \text{кН}\cdot\text{м}\quad (8.103)\]
Условия (8.100)–(8.103) выполняются.
6. Поперечные силы — п. 8.1.55
\[\frac{Q_x}{Q_{x,ult}}+\frac{Q_y}{Q_{y,ult}}\le 1\quad (8.106);\qquad Q_{ult}=Q_b+Q_{sw}\quad (8.107)\]
\[Q_b=0{,}5R_{bt}bh_0\quad (8.108);\qquad Q_{sw}=q_{sw}h_0\quad (8.109)\]
Поперечной арматуры нет: \(Q_{sw} = 0\).
\(h_0\) для \(Q_x\) — рабочая высота стержней вдоль X у грани, растянутой моментом \(M_x\); для \(Q_y\) — вдоль Y.
\[Q_{x,ult}=0{,}5\cdot 0.945\cdot 1000\cdot 174+0\cdot 174=82.215+0=82.215\ \text{кН}\]
\[Q_{y,ult}=0{,}5\cdot 0.945\cdot 1000\cdot 162+0\cdot 162=76.545+0=76.545\ \text{кН}\]
\[\frac{30}{82.215}+\frac{20}{76.545}=0.62618\ \le\ 1\]
Условие (8.106) выполняется.
Примечания
- Расчёт по трещиностойкости плит (по образованию и раскрытию трещин, нормальных к продольной оси) производят на изгибающие моменты без учёта крутящих согласно разделу 8.2 (п. 8.1.59) — в эту программу он не входит.
- При опирании плоских плит на колонны производят расчёт на продавливание по пп. 8.1.46–8.1.52 (п. 8.1.53) — отдельная программа.
- При действии на выделенный элемент плиты продольной силы расчёт производят как для выделенного элемента стен по п. 8.1.57 (п. 8.1.54) — программа «Стены: расчёт плоского выделенного элемента».
- Допускается применять и другие методы расчёта, полученные на основе равновесия внешних усилий по боковым сторонам выделенного элемента и внутренних усилий в диагональном сечении (п. 8.1.54).
Итог
Прочность плоского выделенного элемента плиты обеспечена: выполнены условия (8.100)–(8.103) для обеих граней и условие (8.106).