Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Колонны круглого и кольцевого сечений

СП 63.13330.2018 с Изменениями № 1, 2, приложение Д. Отчёт от 17.10.2026 20:58

Прочность круглого сечения внецентренно сжатой колонны с арматурой, равномерно распределённой по окружности, — по п. Д.2 приложения Д. Изменение № 1 изложило заново п. 8.1.1: основной метод расчёта нормальных сечений — деформационная модель (пп. 8.1.20–8.1.30), а по предельным усилиям внецентренно сжатые элементы круглого и кольцевого сечений допускается рассчитывать по приложению Д. Поэтому в конце отчёта — справочно — предельный момент по деформационной модели при той же продольной силе. Изменение № 1 изложило заново и таблицу 6.14 (Rs, Rsc); Изменение № 2 приложение Д не меняет.

πξ = 0.498rrₛКруглое сечениеD = 500 мм8Ø20 А400, rₛ = 200 ммN = 1500 кН, M = 134.878 кН·мпо (Д.6): Mᵤₗₜ = 221.431 кН·мштриховка — сжатая зона

1. Исходные данные

ВеличинаОбозн.ЗначениеЕд.
Сечение—круглое—
Наружный диаметр\(2r\)500мм
Бетон—B25, продолжительное действие нагрузки—
Продольная арматура—А400, 8Ø20—
От наружной грани до центров стержней\(a\)50мм
Продольная сила (сжатие)\(N\)1500кН
Момент из статического расчёта\(M_1\)120\(\text{кН}\cdot\text{м}\)
Длина элемента\(l\)4000мм
Конструкция—статически неопределимая—
Доля длительной нагрузки\(M_{l1}/M_1\)1—

2. Расчётные характеристики и геометрия

Обозн.ЗначениеЕд.Основание
\(R_b\)13.05МПатаблица 6.8, п. 6.1.12
\(R_s\)340МПатаблица 6.14 (Изм. № 1), класс А400
\(E_b\)30000МПатаблица 6.11
\(E_s\)200000МПап. 6.2.12
\(A\)196350мм²\(\pi r^2\)
\(A_{s,tot}\)2513.6мм²8Ø20 — таблица 1 ГОСТ 34028-2016
\(r_s\)200ммr − a

В (Д.6)–(Д.9) входит только \(R_s\): для арматуры не выше А400, к которой относится п. Д.2, \(R_{sc}=R_s\) по таблице 6.14 при любой длительности нагрузки.

3. Эксцентриситет — п. 8.1.7

\[e_a=\max\left(\frac{l}{600};\ \frac{h}{30};\ 10\right)=\max\left(6.67;\ 16.67;\ 10\right)=16.67\ \text{мм}\]

Высота сечения \(h\) — наружный диаметр.

\[e_0=\max\left(\frac{M_1}{N};\ e_a\right)=\max\left(80;\ 16.67\right)=80\ \text{мм}\]

4. Влияние прогиба — пп. 8.1.15, 8.1.17

\[l_0=1l=4000\ \text{мм}\]

Случай п. 8.1.17: шарнирное опирание на двух концах.

\[I=\frac{\pi r^4}{4}=3.068\cdot 10^{9}\ \text{мм}^4;\quad i=\frac{r}{2}=125\ \text{мм};\quad \lambda=\frac{l_0}{i}=32\]
\[\delta_e=\frac{e_0}{h}=\frac{80}{500}=0.16\ \Rightarrow\ 0.16;\qquad\varphi_l=1+\frac{M_{l1}}{M_1}=2\]
\[k_b=\frac{0{,}15}{\varphi_l(0{,}3+\delta_e)}=0.16304;\qquad I_s=\frac{A_{s,tot}r_s^2}{2}=5.0272\cdot 10^{7}\ \text{мм}^4\]

\(I_s\) — момент инерции стержней, равномерно распределённых по окружности радиуса \(r_s\), относительно оси через центр сечения: \(\sum r_s^2\cos^2\theta_k = n r_s^2/2\).

\[D=k_bE_bI+0{,}7E_sI_s=0.16304\cdot30000\cdot3.068\cdot 10^{9}+0{,}7\cdot200000\cdot5.0272\cdot 10^{7}=2.2044\cdot 10^{13}\ \text{Н}\cdot\text{мм}^2\]
(8.15)\[N_{cr}=\frac{\pi^2D}{l_0^2}=13598.1\ \text{кН}\]
(8.14)\[\eta=\frac{1}{1-N/N_{cr}}=\frac{1}{1-1500/13598.1}=1.124\]
\[M=\eta Ne_0=1.124\cdot 1500\cdot 0.08=134.878\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

5. Прочность круглого сечения — п. Д.2

(Д.7)\[N=1500\ \text{кН}\ \le\ 0{,}77R_bA+0{,}645R_sA_{s,tot}=2524.251\ \text{кН}\]

Условие (Д.7) выполняется — \(\xi_{cir}\) из уравнения (Д.8), решённого делением пополам (правая часть минус левая монотонна, корень единственный):

(Д.8)\[\xi_{cir}=\frac{N+R_sA_{s,tot}+R_bA\dfrac{\sin2\pi\xi_{cir}}{2\pi}}{R_bA+2{,}55R_sA_{s,tot}}\ \Rightarrow\ \xi_{cir}=0.4978\]
\[\varphi=1{,}6(1-1{,}55\xi_{cir})\xi_{cir}=0.1819\]
(Д.6)\[M_{ult}=\frac{2}{3}R_bAr\frac{\sin^3\pi\xi_{cir}}{\pi}+R_sA_{s,tot}\left(\frac{\sin\pi\xi_{cir}}{\pi}+\varphi\right)r_s=135.928+85.504=221.431\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
(Д.6)\[M=134.878\ \le\ M_{ult}=221.431\ \text{кН}\cdot\text{м};\qquad \frac{M}{M_{ult}}=0.609\]

Условие (Д.6) выполняется.

6. Справочно — деформационная модель

Предельный момент при той же \(N\) по деформационной модели (пп. 8.1.20–8.1.30, основной метод по п. 8.1.1 в редакции Изменения № 1): моменты увеличиваются при неизменной продольной силе, пока выполняются условия (8.37), (8.38). Стержни — на окружности \(r_s\), двухлинейная диаграмма бетона, 80 полос по высоте.

\[M_{ult,ДМ}=210.856\ \text{кН}\cdot\text{м};\qquad \frac{M}{M_{ult,ДМ}}=0.64;\qquad\frac{M_{ult,Д}}{M_{ult,ДМ}}=1.05\]

На итог не влияет.

Итог

Прочность сечения обеспечена: M = 134.878 ≤ 221.431 кН·м по (Д.6), использование 0.609.