Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Круговое контурное кольцо R = 30 м

Контурное кольцо — п. 11.2.5 справочника, формулы (11.57)–(11.71)
Дата формирования: 01.09.2026 12:31

1. Исходные данные

ВеличинаОбозначениеЗначениеЕд.
Очертание оси—круговое кольцо—
Радиус\(R\)\(30\)м
Средний погонный распор\(\bar H_s\)\(40\)кН/м
Гармоники распора\(H_n\)n = 2: \(6\), n = 3: \(2\)кН/м
Жёсткость в плоскости\(EI_1\)\(6\cdot 10^{6}\)кН·м²
Жёсткость из плоскости\(EI_2\)\(3\cdot 10^{6}\)кН·м²
Жёсткость на кручение\(GI_d\)\(2.4\cdot 10^{6}\)кН·м²
Опор по контуру\(k\)8шт.
Погонная вертикальная нагрузка\(V_s\)\(12\)кН/м
Упругая среда—двухпоясная, связи по всей длине (табл. 11.7)—
круговое кольцораспор 33.34…48.00 кН/мбезмоментный закон для этого очертания
План кольца: ось, распор вант по контуру (красным — заданный, бледным — безмоментный для этого очертания) и опоры

2. Безмоментное кольцо

Для пологих висячих систем характерна большая распорность, а распоры при вертикальной нагрузке образуют самоуравновешенную систему сил. Рациональнее всего воспринять их замкнутым контурным кольцом, ось которого близка к кривой давления — тогда кольцо работает почти без изгиба. Закон нагружения, при котором изгиба нет вовсе, даёт (11.57):

(11.57)\[H_s=\frac{C\sigma}{\sin\gamma}\,e^{-\int\sigma\,\mathrm{ctg}\,\gamma\,ds}\]

Здесь \(\sigma\) — кривизна оси, \(\gamma\) — угол между касательной к оси и направлением силы \(H_s\), \(s\) — длина дуги. Для центрального поля сил формула упрощается до (11.58):

(11.58)\[H_s=\frac{C\sigma}{R\sin^{2}\gamma}\]
Обе формулы выводятся из двух уравнений равновесия кривого стержня, у которого момент тождественно равен нулю: \(N\sigma=q_n\) по нормали и \(N'=-q_t\) по касательной. Деление одного на другое даёт
\[\frac{dN}{N}=-\sigma\,\mathrm{ctg}\,\gamma\,ds\quad\Longrightarrow\quad N=C\,e^{-\int\sigma\,\mathrm{ctg}\,\gamma\,ds}\]

откуда сразу (11.57), а постоянная \(C\) получает смысл: это осевое усилие в точке отсчёта. Программа проверяет оба уравнения прямым счётом, не пользуясь ни (11.57), ни (11.58).

При расчёте радиальных вантовых систем удобнее иметь дело не с погонными усилиями, а с усилиями \(H_\varphi\) на единицу полярного угла — (11.60):

(11.60)\[H_\varphi=C\,\frac{R^{2}+2R'^{2}-RR''}{R^{3}}\]
Подстановка \(u=1/R\) обращает это в уравнение Бине. Тождество
\[R^{2}+2R'^{2}-RR''=R^{3}\left(u''+u\right)\]

даёт \(H_\varphi=C(u''+u)\) — уравнение ЛИНЕЙНОЕ, и на этом стоит вся первая часть расчёта: обратная задача решается почленно рядом Фурье, а неразрешимость при \(n=1\) оказывается в точности требованием самоуравновешенности распоров.

Постоянная \(C\) определяется масштабом нагрузки: очертание задаёт лишь ЗАКОН её распределения. По заданному среднему погонному распору

\[C=\bar H_s\,\frac{L}{\int\left(u''+u\right)d\varphi}=36000\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
Заданный распор отличается от безмоментного закона для этого очертания на \(16.7\) %. Значит кольцо изгибается, и момент считается ниже.

3. Осевое усилие в кольце

Из нормального равновесия \(N\sigma=q_n\) при радиальной нагрузке получается совсем простая формула:

\[N=\frac{C}{R\sin\gamma}=\frac{C\sqrt{R^{2}+R'^{2}}}{R^{2}}\]
ВеличинаЗначениеЕд.
Наибольшее сжатие\(1200\)кН
Наименьшее\(1200\)кН
Постоянная \(C\)\(36000\)кН·м
У круга \(R'=0\) и \(\sin\gamma=1\), поэтому \(N=C/R=\bar H_sR=40\cdot30=1200\) кН — классическая формула кольца. Совпадение до \(5.6843\cdot 10^{-16}\).
N (сжатие): 1200.000…1200.000 кНполярный угол φ от 0 до 2π
Осевое усилие в кольце: N = C/(R sin γ). Кольцо сжато распором вант

4. Совместная работа с вантовой системой

Кольцо рассчитывается как криволинейный стержень малой кривизны. Учёт его совместной работы с вантовой системой — задача нелинейная и контактная, но справочник предлагает упрощение: сначала вантовая система считается по всем правилам в предположении недеформируемого кольца, затем вводится действительная жёсткость кольца, а перемещения вантовой системы от податливости кольца считаются настолько малыми, что их квадратами можно пренебречь. Нелинейность остаётся только в расчёте вантовой системы, а контактная задача становится линейной.

Вантовая система вводится как упругая среда винклеровского типа в плоскости и из плоскости кольца — (11.61):

(11.61)\[k_1=\left(t_1+t_2\right)\frac{\sin\gamma}{R},\qquad k_2=\left(t_2\beta_{2R}-t_1\beta_{1R}\right)\frac{\sin\gamma}{R}\]
(11.62)\[\beta_{1R}=\eta_1^{т}+2\vartheta_1^{т}=0.21,\qquad \beta_{2R}=\eta_2^{т}+2\vartheta_2^{т}=0.3\]

Величины \(t_1\) и \(t_2\) находятся из системы табл. 11.7 — у неё два столбца свободных членов: свой для \(k_1\) и свой для \(k_2\):

\(t_1\)\(t_2\)\(v\)своб. член для \(k_1\)то же для \(k_2\)
\(2\cdot 10^{-5}\)\(0\)\(0.056\)\(-0.0333\)\(0.0023\)
\(0\)\(1.2\cdot 10^{-5}\)\(-0.08\)\(-0.0333\)\(-0.0033\)
\(-0.056\)\(0.08\)\(1840\)\(0\)\(0\)
Неизвестноедля \(k_1\)для \(k_2\)
\(t_1\)\(1809.30298\)\(-84.84401\)
\(t_2\)\(2438.16751\)\(202.00956\)
\(v\)\(-0.05094\)\(-0.01137\)
\[k_1=\left(1809.303+2438.1675\right)\frac{1}{30}=141.58235\ \text{кН/м}^{2}\]
\[k_2=\left(202.0096\cdot0.3-\left(-84.844\right)\cdot0.21\right)\frac{1}{30}=2.614\ \text{кН/м}^{2}\]
Столбцы «свободные члены» в табл. 11.7 перечисляют слагаемые так, как они стоят В УРАВНЕНИИ, поэтому в правую часть системы они переносятся с обратным знаком. Проверяется это физикой: только тогда коэффициенты постели выходят положительными, а упругая среда, входя в \(K_1\) и \(K_2\) со знаком плюс, УМЕНЬШАЕТ моменты — чего от неё и ждут. При обратном знаке у этого примера \(K_1(2)\) обратилось бы в отрицательное число, то есть упругое основание якобы выводило бы кольцо за критическую нагрузку.

5. Изгибающий момент в плоскости кольца

Погонный распор раскладывается в ряд (11.66), и каждая его гармоника даёт свой момент — (11.65) и (11.67):

(11.66)\[H_s(\varphi)=\sum_{0}^{\infty}H_n\cos n\varphi\]
(11.65)\[M_1(\varphi)=\sum_{n=2}^{\infty}M_{1n}\cos n\varphi,\qquad M_{1n}=\frac{\left(n^{2}-1\right)H_nR^{2}}{K_1(n)}\]
(11.67)\[K_1(n)=n^{4}-\left(2+\frac{\bar H_sR^{3}}{EI_1}\right)n^{2}+1+\frac{2\bar H_sR^{3}+\bar k_1R^{4}}{EI_1}\]
\(n\)\(H_n\), кН/м\(K_1(n)\)\(M_{1n}\), кН·мбез среды и распора
2\(6\)\(27.75362\)\(583.7077\)\(1800\)
3\(2\)\(81.85362\)\(175.9238\)\(225\)
Последний столбец — классическое решение кольца \(M_{1n}=H_nR^{2}/(n^{2}-1)\): именно в него обращается (11.65) при \(\bar H_s=0\) и \(\bar k_1=0\), когда \(K_1=(n^{2}-1)^{2}\). Разница показывает, сколько дают упругая среда и продольная сила вместе. Нулевая гармоника даёт чистое сжатие, первая — смещение кольца как жёсткого целого, поэтому ряд начинается с \(n=2\).
M₁ в плоскости: -636.649…759.632 кН·мполярный угол φ от 0 до 2π
Изгибающий момент в плоскости кольца по (11.65): дают его только гармоники распора с n ≥ 2

6. Момент из плоскости и кручение

Кольцо свободно оперто на \(k=8\) равноотстоящих опор и нагружено равномерной погонной вертикальной нагрузкой \(V_s\) — (11.69)–(11.71):

(11.69)\[M_{2n}=-2V_sR^{2}\,\frac{n^{2}\left(n^{2}-1\right)}{K_2(n)},\qquad M_{12n}=-2V_sR^{2}\,\frac{n\left(n^{2}-1\right)}{K_2(n)}\]
(11.71)\[K_2(n)=n^{6}-\left(2+\frac{\bar H_sR^{3}}{EI_2}\right)n^{4}+\left(1-\frac{\bar H_sR^{3}}{GI_d}+\frac{k_2R^{4}}{EI_2}\right)n^{2}+\frac{k_2R^{4}}{GI_d}\]
Суммирование идёт не по всем номерам, а по кратным числу опор: \(n=k,\,2k,\,3k,\dots\) Реакции \(k\) равноотстоящих опор дают в ряде Фурье только такие гармоники, причём с амплитудой \(2V_s\) — отсюда и множитель \(2V_s\) в самих формулах книги.
\(n\)\(K_2(n)\)\(M_{2n}\), кН·м\(M_{12n}\), кН·мбез среды и распора
8\(252558.69221\)\(-344.8355\)\(-43.1044\)\(-342.8571\)
16\(1.6623\cdot 10^{7}\)\(-84.8258\)\(-5.3016\)\(-84.7059\)
24\(1.9032\cdot 10^{8}\)\(-37.5888\)\(-1.5662\)\(-37.5652\)
32\(1.0713\cdot 10^{9}\)\(-21.1218\)\(-0.6601\)\(-21.1144\)
40\(4.09\cdot 10^{9}\)\(-13.5115\)\(-0.3378\)\(-13.5084\)
M₂ из плоскости: -501.883…289.156 кН·мM₁₂ крутящий: -42.699…42.699 кН·мопоры: 8 шт. равноотстоящих
Момент из плоскости и крутящий момент по (11.69) и (11.70) для кольца на равноотстоящих опорах

7. Проверки

Проверяется то, что в решении не участвовало.

ПроверкаВыражениеОтносительная невязка
Тождество Бине\(R^{2}+2R'^{2}-RR''-R^{3}(u''+u)\)\(0\)
Согласие (11.58) и (11.60)\(H_\varphi-H_s\,ds/d\varphi\)\(0\)
Равновесие по нормали\(N\sigma-q_n\)\(0\)
Равновесие по касательной\(dN/ds+q_t\)\(0\)
Вырождение (11.67): \(K_1=(n^{2}-1)^{2}\)\(\bar H_s=0,\ \bar k_1=0\)\(0\)
Вырождение (11.71): \(K_2=n^{2}(n^{2}-1)^{2}\)\(\bar H_s=0,\ k_2=0\)\(0\)
Круг: \(N=\bar H_sR\)\(N-\bar H_sR\)\(5.6843\cdot 10^{-16}\)
Вертикальное равновесие\(\sum V-2\pi RV_s\)\(0\)
Самые содержательные — третья и четвёртая строки. Оба уравнения равновесия кривого стержня без момента собираются заново и проверяются в найденном решении, не пользуясь ни (11.57), ни (11.58), ни (11.60). Совпадение до машинного нуля означает, что найденный закон нагружения действительно безмоментен. Строки про вырождения проверяют сами формулы книги: при снятых распоре и упругой среде они обязаны обратиться в классические решения кольца — и обращаются точно.

8. Что принимать в проект

ВеличинаЗначениеОткуда
Наибольшее сжатие кольца\(1200\) кНпо всему контуру
Изгибающий момент в плоскости\(759.6315\) кН·мс учётом упругой среды и продольной силы
Момент из плоскости\(501.8833\) кН·мкольцо на 8 опорах
Крутящий момент\(42.6993\) кН·мто же
Опорная реакция\(282.7433\) кНравномерная нагрузка, поровну на опоры
Отличие распора от безмоментного\(16.7\) %мера того, насколько ось близка к кривой давления
Кольцо работает прежде всего на сжатие, и изгиб — плата за отступление оси от кривой давления. Если отличие велико, стоит сначала подобрать очертание обратной задачей, а уже потом считать моменты. Устойчивость кольца в плоскости и из плоскости в п. 11.2.5 не рассматривается, но близость \(K_1(n)\) или \(K_2(n)\) к нулю — прямой признак того, что до неё недалеко.