Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Расчёт внецентренно сжатого железобетонного элемента по предельным усилиям

СП 63.13330.2018 «Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения», пп. 8.1.14–8.1.17
Пункты действуют в базовой редакции: Изменение № 1 в подразделе 8.1 затронуло только 8.1.1 и 8.1.48, Изменение № 2 — только 8.1.34
Дата формирования: 09.10.2026 19:19

1. Исходные данные

ПараметрОбозн.ЗначениеЕд.
Сечение—прямоугольное 400×400 мм—
Класс бетона—B25—
Класс арматуры—А500—
Площадь арматуры A_s\(A_s\)1018мм²
Площадь арматуры A'_s\(A'_s\)1018мм²
Расстояния до центров тяжести\(a,\ a'\)40 / 40мм
Продольная сила\(N\)1200кН
Момент из статического расчёта\(M\)60кН·м
Длина элемента\(l\)4000мм
Конструкция—статически неопределимая—
Доля длительной нагрузки\(M_{l1}/M_1\)1—
\[h_0=h-a=400-40=360\ \text{мм}\]

2. Характеристики материалов

ВеличинаОбозн.ЗначениеЕд.
Сопротивление бетона сжатию\(R_b\)13.05МПа
Начальный модуль упругости бетона\(E_b\)30000МПа
Сопротивление арматуры растяжению\(R_s\)435МПа
Сопротивление арматуры сжатию\(R_{sc}\)435МПа
Модуль упругости арматуры\(E_s\)200000МПа

3. Граничная относительная высота сжатой зоны (п. 8.1.6)

(8.2)\[\varepsilon_{s,el}=\frac{R_s}{E_s}=\frac{435}{200000}=2.175\cdot10^{-3}\]
(8.1)\[\xi_R=\frac{0.8}{1+\dfrac{\varepsilon_{s,el}}{\varepsilon_{b2}}}=\frac{0.8}{1+\dfrac{2.175}{3.5}}=\boxed{0.4934}\]

4. Эксцентриситеты (п. 8.1.7)

\[e_a=\max\left(\frac{l}{600};\ \frac{h}{30};\ 10\right)=\max\left(6.67;\ 13.33;\ 10\right)=\boxed{13.33\ \text{мм}}\]
\[e_{stat}=\frac{M}{N}=\frac{60\cdot10^6}{1200\cdot10^3}=50\ \text{мм}\]

Конструкция статически неопределимая: принимают эксцентриситет из расчёта, но не менее случайного.

\[e_0=\max\left(50;\ 13.33\right)=\boxed{50\ \text{мм}}\]

5. Расчётная длина (п. 8.1.17)

Первый абзац пункта требует определять \(l_0\) как для элемента рамной конструкции с учётом её деформированного состояния. Для элементов постоянного сечения свод допускает брать её по перечню закреплений.

\[l_0=1l=1\cdot4000=4000\ \text{мм}\]

Случай: шарнирное опирание на двух концах.

6. Влияние прогиба (п. 8.1.15)

\[\lambda=\frac{l_0}{i}=\frac{4000}{115.47}=34.64\]

Жёсткость берут по п. 8.1.15. В отличие от бетонных элементов раздела 7, здесь работает и второе слагаемое: арматура есть, и её момент инерции считается относительно центра тяжести сечения.

\[\delta_e=\frac{e_0}{h}=\frac{50}{400}=0.125\ \Rightarrow\ \text{принято }0.15\quad(0{,}15\le\delta_e\le1{,}5)\]
\[\varphi_l=1+\frac{M_{l1}}{M_1}=1+1=2\quad(\text{но не более }2)\]
\[k_b=\frac{0{,}15}{\varphi_l\left(0{,}3+\delta_e\right)}=\frac{0{,}15}{2\cdot\left(0{,}3+0.15\right)}=0.16667\]
\[I=\frac{bh^3}{12}=2.1333\cdot 10^{9}\ \text{мм}^4;\qquad I_s=A_s\left(\frac{h}{2}-a\right)^2+A'_s\left(\frac{h}{2}-a'\right)^2=5.2122\cdot 10^{7}\ \text{мм}^4\]
\[D=k_b E_b I+k_s E_s I_s=0.16667\cdot30000\cdot2.1333\cdot 10^{9}+0{,}7\cdot200000\cdot5.2122\cdot 10^{7}=1.7964\cdot 10^{13}\ \text{Н}\cdot\text{мм}^2\]
(8.15)\[N_{cr}=\frac{\pi^2 D}{l_0^2}=\frac{\pi^2\cdot1.7964\cdot 10^{13}}{4000^2}=11080.9\ \text{кН}\]
(8.14)\[\eta=\frac{1}{1-\dfrac{N}{N_{cr}}}=\frac{1}{1-\dfrac{1200}{11080.9}}=\boxed{1.1214}\]

7. Расстояние от силы до арматуры (8.11)

Расстояние отсчитывают до центра тяжести растянутой — или наименее сжатой, если сечение сжато целиком, — арматуры.

(8.11)\[e=e_0\eta+\frac{h_0-a'}{2}=50\cdot1.1214+\frac{360-40}{2}=\boxed{216.07\ \text{мм}}\]

8. Высота сжатой зоны (п. 8.1.14)

Свод делит случаи по тому же признаку, что и при изгибе: сравнением относительной высоты сжатой зоны с граничной. Сначала считают по формуле (8.12) — она отвечает предпосылке, что растянутая арматура дошла до \(R_s\).

(8.12)\[x=\frac{N+R_s A_s-R_{sc}A'_s}{R_b b}=\frac{1200000+435\cdot1018-435\cdot1018}{13.05\cdot400}=229.89\ \text{мм}\]
\[\xi=\frac{x}{h_0}=\frac{229.89}{360}=0.6386\quad>\quad\xi_R=0.4934\]

Граница превышена: растянутая арматура до \(R_s\) не доходит, и напряжение в ней меньше расчётного. Высоту сжатой зоны пересчитывают по формуле (8.13), где эта неполная работа учтена линейной зависимостью напряжения от \(x\).

(8.13)\[x=\frac{N+R_s A_s\dfrac{1+\xi_R}{1-\xi_R}-R_{sc}A'_s}{R_b b+\dfrac{2R_s A_s}{h_0\left(1-\xi_R\right)}}=\boxed{204.7\ \text{мм}}\]
\[\xi=\frac{204.7}{360}=0.5686\]
hh0Ne′eRbRbAbRscAs′RsAsxabAsAs′
Рисунок 8.3 — схема усилий и эпюра напряжений в сечении, нормальном к продольной оси внецентренно сжатого элемента. Сжатая зона заштрихована.

9. Условие прочности (8.10)

(8.10)\[N\cdot e\le R_b b x\left(h_0-0{,}5x\right)+R_{sc}A'_s\left(h_0-a'\right)\]
\[1200\cdot0.2161=259.29\ \text{кН}\cdot\text{м}\]
\[13.05\cdot400\cdot204.7\cdot\left(360-0{,}5\cdot204.7\right)+435\cdot1018\cdot\left(360-40\right)=\boxed{417.01\ \text{кН}\cdot\text{м}}\]
\[N e=259.29\ \le\ 417.01\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

Прочность обеспечена. Отношение предельного момента к действующему — 1.608.

10. Упрощённое условие (8.16), (8.17) — п. 8.1.16

Не применяется: оно допускается при \(e_0\le h/30\) и \(l_0/h\le 20\), а здесь \(e_0=50\) мм при \(h/30=13.33\) мм и \(l_0/h=10\).