Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Радиальное покрытие диаметром 60 м (рис. 11.8)

Радиальная вантовая система — п. 11.2.3 справочника, рис. 11.8, формулы (11.37)–(11.41)
Дата формирования: 01.09.2026 12:31

1. Исходные данные

ВеличинаОбозначениеЗначениеЕд.
Тип системы—двухпоясная, пояса связаны по всей длине (рис. 11.8)—
Радиус контура\(R\)\(30\)м
Площадь покрытия в плане\(A\)\(2827.4334\)м²
Стрела напрягающего пояса\(f_1\)\(2\)м
Уклон напрягающего пояса у полюса\(\beta_1\)\(0\)—
Вант в напрягающем поясе\(n_1\)24шт.
Жёсткость ванты напрягающего пояса\(EF_1\)\(150000\)кН
Начальное усилие в ванте\(T_1^{н}\)\(400\)кН
Стрела несущего пояса\(f_2\)\(3\)м
Уклон несущего пояса у полюса\(\beta_2\)\(0\)—
Вант в несущем поясе\(n_2\)24шт.
Жёсткость ванты несущего пояса\(EF_2\)\(300000\)кН
Начальное усилие в ванте\(T_2^{н}\)\(266.6667\)кН
Осесимметричная нагрузка\(q_0\)\(2\)кН/м²
Составляющие по cos φ и sin φ\(q_c,\ q_s\)\(0\) / \(0.6\)кН/м²
Доля нагрузки на напрягающий пояс\(\alpha\)\(0\)—
Разнос внутренних колец по высоте\(e\)\(5\)м
Точек по углу\(n_\varphi\)72шт.
кольцоφ = 0R = 30.00 м, вант 24
План покрытия: опорный контур, радиальные ванты и внутреннее кольцо; отсчёт угла φ от оси x

2. Расчётные предпосылки и очертания

Покрытие закреплено на недеформируемом опорном контуре, а внутреннее кольцо представлено узлом, в котором скреплены все нити. Ванта угловой ширины \(d\varphi\) собирает нагрузку с площади \(r\,d\varphi\,dr\), поэтому погонная нагрузка на неё растёт линейно с радиусом — и равновесное очертание получается не параболой, как у плоской системы, а кубикой:

(11.37)\[z_1=r\left(\beta_1+\frac{r^{2}}{R^{2}}\vartheta_1\right),\qquad z_2=r\left(\beta_2-\frac{r^{2}}{R^{2}}\vartheta_2\right)\]
(11.38)\[\vartheta_1=\eta_1-\beta_1,\qquad \vartheta_2=\eta_2+\beta_2,\qquad \eta_{1(2)}=\frac{f_{1(2)}}{R}\]

Эта форма равновесна для нагрузки, распределённой равномерно по площади покрытия. Остальные предпосылки те же, что у плоских двухпоясных систем: пологость \(\cos\beta\approx1\) и предварительное напряжение, уравновешенное самой системой.

Ординаты здесь записаны с нулём в полюсе, но в уравнения очертания входят только производными \(z'\) и \(z''\) — значит у каждого пояса своя произвольная постоянная, а разность этих постоянных есть не что иное, как разнос внутренних колец по высоте \(e=5\ \text{м}\). При \(e=f_1+f_2=5\ \text{м}\) оба пояса сходятся у наружного контура, как на рис. 11.8. Ни одно число расчёта от этого выбора не зависит — меняются только чертёж и таблица очертаний.
ВеличинаЗначение при φ = 0Смысл
\(\eta_1=f_1/R\)\(0.066667\)относительная стрела напрягающего пояса
\(\vartheta_1\)\(0.066667\)кубический параметр его очертания
\(\eta_2=f_2/R\)\(0.1\)относительная стрела несущего пояса
\(\vartheta_2\)\(0.1\)кубический параметр его очертания
f₁ = 2.00 мf₂ = 3.00 м2R = 60.00 м
Диаметральный разрез φ = 0…π: очертания поясов, внутренний узел и наружный контур

3. Приведение к полоске dφ = 1

Усилия \(T_{1(2)}\) и податливости \(\Psi_{1(2)}\) в уравнениях относятся к полоске \(d\varphi=1\), содержащей постоянное число нитей. Перевод в обе стороны:

\[\Psi=\frac{2\pi}{n\,EF},\qquad T_{\text{полоски}}=\frac{n\,T_{\text{ванты}}}{2\pi},\qquad T_{\text{ванты}}=\frac{2\pi\,T_{\text{полоски}}}{n}\]
ВеличинаЗначениеЕд.
\(\Psi_1\)\(1.7453\cdot 10^{-6}\)1/кН
\(T_1^{н}\) полоски\(1527.8875\)кН
\(\Psi_2\)\(8.7266\cdot 10^{-7}\)1/кН
\(T_2^{н}\) полоски\(1018.5916\)кН

Начальные усилия уравновешены самой системой: ненагруженное состояние равновесно, когда одновременно \(T_1^{н}\vartheta_1=T_2^{н}\vartheta_2\) и \(T_1^{н}\eta_1=T_2^{н}\eta_2\); отсюда и \(\beta_2=-(f_2/f_1)\beta_1\), и знакомое \(T_1^{н}f_1=T_2^{н}f_2\).

\[T_2^{н}=T_1^{н}\frac{f_1}{f_2}=1527.8875\cdot\frac{2}{3}=1018.5916\ \text{кН}\quad\text{(полоски)}\]

4. Система уравнений

Совместность каждого пояса: изменение длины ванты от изменения очертания равно упругому и температурному удлинению вместе с укорочением от горизонтального смещения внутреннего кольца. Коэффициенты 4/5, 2/5 и 1/2 — прямое следствие кубических очертаний (у плоской системы на их месте 4/3, 2/3 и 1/6):

(11.39)\[\left(T_1-T_1^{н}\right)\Psi_1+\frac{4}{5}\vartheta_1V-\frac{2}{5}V^{2}+\eta_1Z-\frac{1}{2}Z^{2}+X_1\cos\varphi+Y_1\sin\varphi+D_1=0\]
\[\left(T_2-T_2^{н}\right)\Psi_2-\frac{4}{5}\vartheta_2V-\frac{2}{5}V^{2}-\eta_2Z-\frac{1}{2}Z^{2}+X_2\cos\varphi+Y_2\sin\varphi+D_2=0\]

Пояса связаны по всей длине, поэтому прогиб у них общий — и параметр \(V\) один на оба, — а нагрузку они несут вместе:

(11.40)\[\left(\vartheta_1-V\right)T_1-\left(\vartheta_2+V\right)T_2+P=0,\qquad P=\frac{qR^{2}}{6}\]

Равновесие внутреннего узла — интегральные уравнения: горизонтальное по каждому поясу и вертикальное на всю систему:

\[\int_{0}^{2\pi}T_i\cos\varphi\,d\varphi=0,\qquad \int_{0}^{2\pi}T_i\sin\varphi\,d\varphi=0\]
\[Q_0+\int_{0}^{2\pi}\left[P+T_1\left(\eta_1-Z\right)-T_2\left(\eta_2+Z\right)\right]d\varphi=0\]
Грузовой член в этом уравнении книга выписывает явно — и это подтверждает член \(Q\), восстановленный в четвёртом уравнении (11.33) плоской системы, где он был потерян при наборе.
\[P=\frac{qR^{2}}{6}=\frac{2\cdot30^{2}}{6}=300\ \text{кН}\quad\text{при }\varphi=0\]

5. Решение

Неизвестные двух родов: в каждом сечении \(\varphi\) — усилия и параметр изменения очертания, а на всю систему — перемещения внутренних узлов. Книга решает это шаговым методом: из локальных уравнений усилия выражаются через приращения перемещений, эти выражения подставляются в интегральные уравнения, и те дают малую систему для перемещений (табл. 11.4).

\[\vartheta^{i}=\vartheta\mp V^{i},\qquad \eta_1^{i}=\eta_1-Z^{i},\qquad \eta_2^{i}=\eta_2+Z^{i}\]
Этапдоля нагрузки\(T_1\), кН\(T_2\), кН\(\bar{z}\), м\(\bar{x}_2\), м
10.050\(1490.73149\)\(1130.05953\)\(0.01621\)\(-3.8479\cdot 10^{-18}\)
20.100\(1454.50444\)\(1240.98013\)\(0.03208\)\(-1.5302\cdot 10^{-17}\)
100.500\(1185.10977\)\(2115.63202\)\(0.15289\)\(-2.0096\cdot 10^{-17}\)
201.000\(893.34732\)\(3178.31549\)\(0.29243\)\(-2.2346\cdot 10^{-17}\)

Тот же ответ даёт Ньютон по полной системе — сошёлся за 3 итераций; расхождение с шаговым ходом и есть его погрешность.

6. Усилия и перемещения

ВеличинаЗначениеЕд.
Усилие в ванте напрягающего пояса\(233.93269\) … \(267.69432\)кН
Усилие в ванте несущего пояса\(831.5339\) … \(862.33904\)кН
Осадка внутреннего узла\(0.29238\)м
Смещение внутреннего кольца пояса 1\(4.2101\cdot 10^{-18}\) / \(-0.02907\)м
Смещение внутреннего кольца пояса 2\(-2.5257\cdot 10^{-17}\) / \(0.055694\)м
0°90°180°270°360°T₁: 233.933…267.694 кНT₂: 831.534…862.339 кНусилие в одной ванте, кН
Усилия в вантах по углу: у круглого плана они постоянны, у некруглого меняются
Круглые в плане системы обладают замечательной особенностью работы на неравномерные нагрузки, меняющиеся по закону sin φ или cos φ (снег, ветер): если считать систему линейно деформируемой, то при осесимметричной постоянной и синусоидальной временной нагрузке усилия во всех вантах обоих поясов одинаковы, и контурное кольцо не испытывает изгиба в своей плоскости. Здесь это видно прямо: в первом приближении разброс усилий по углу составляет \(3.0422\cdot 10^{-13}\) %.
осадка внутреннего узла z̄ = 0.2924 м (перемещения увеличены в 4 раза)
Тот же разрез под нагрузкой: бледным — начальное очертание, ярким — деформированное; перемещения показаны в увеличенном масштабе

7. Проверки

Проверяется то, что в решении не участвовало.

ПроверкаВыражениеНевязкаЕд.
Уравнения системы в найденной точке\(\max|F|\)\(2.483\cdot 10^{-13}\)—
Совместность напрягающего пояса интегрированием\(\frac{1}{R}\int_0^R\left(z'w'+\tfrac12 w'^{2}\right)dr-\varepsilon_1\)\(6.5052\cdot 10^{-19}\)—
Совместность несущего пояса интегрированием\(\frac{1}{R}\int_0^R\left(z'w'+\tfrac12 w'^{2}\right)dr-\varepsilon_2\)\(1.301\cdot 10^{-18}\)—
Локальное равновесие численным дифференцированием\(\sum T_iz_i''+q\,r\)\(1.5818\cdot 10^{-7}\)кН/м
Вертикальное равновесие покрытия в целом\(\sum(-T_iz_i'(R))+N_{ст}-\left(\iint q\,dA+Q_0\right)\)\(1.819\cdot 10^{-12}\)кН
Шаговый метод против Ньютона\(\max|\Delta T|\)\(0.214\)кН
Самонапряжение ненагруженной системы\(T_1^{н}\vartheta_1-T_2^{н}\vartheta_2\)\(-1.4211\cdot 10^{-14}\)кН
Вторая и третья строки — самая содержательная проверка: изменение длины ванты считается численным интегрированием по действительным очертаниям, без коэффициентов 4/5, 2/5 и 1/2 из уравнений. Совпадение означает, что эти коэффициенты выведены верно.