Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Момент образования нормальных трещин

СП 63.13330.2018 с Изменениями № 1, 2, пп. 8.2.4, 8.2.8–8.2.13. Отчёт от 09.10.2026 19:19

Проверяется, образуются ли в элементе трещины, нормальные к его продольной оси: условие (8.116) \(M>M_{crc}\), а у центрально-растянутого элемента — (8.117) \(N>N_{crc}\) (п. 8.2.4). Момент образования трещин — по формуле (8.121) п. 8.2.11 с упругопластическим моментом сопротивления \(W_{pl}\). Сечение прямоугольное, тавровое или двутавровое с арматурой у верхней и нижней граней — для него второй абзац п. 8.2.8 разрешает этот расчёт; общий случай — по деформационной модели п. 8.2.14.

1. Исходные данные

Величина	Обозн.	Значение	Ед.
Бетон	—	B25, тяжёлый	—
Сечение	—	прямоугольное 300×600 мм	—
Продольная арматура	—	А500	—
Нижняя арматура	\(A_s\)	1256	мм²
до её центра тяжести от нижней грани	\(a\)	50	мм
Верхняя арматура	\(A'_s\)	226	мм²
до её центра тяжести от верхней грани	\(a'\)	40	мм
Изгибающий момент	\(M\)	80	кН·м
Продольная сила	\(N\)	0	кН
Упругопластический момент сопротивления	\(W_{pl}\)	с учётом неупругих деформаций растянутого бетона по положениям п. 8.2.10	—
Момент сопротивления приведённого сечения	\(W_{red}\)	с учётом арматуры	—

Положительный \(M\) растягивает нижнюю грань, отрицательный — верхнюю. Продольная сила: растяжение — плюс, сжатие — минус; она приложена в центре тяжести приведённого сечения, а момент взят относительно оси через этот центр (п. 8.2.4). Усилия — от внешней нагрузки: для недопущения трещин — с \(\gamma_f>1\), для вспомогательного расчёта при раскрытии трещин и деформациях — с \(\gamma_f=1\) (п. 8.2.3).

2. Характеристики материалов

Расчёт по предельным состояниям второй группы: сопротивление бетона растяжению — нормативное, коэффициенты условий работы п. 6.1.12 в него не входят.

Обозн.	Значение	Ед.	Основание
\(R_{bt,ser}=R_{bt,n}\)	1.55	МПа	таблица 6.7
\(E_b\)	30000	МПа	таблица 6.11, п. 6.1.15
\(E_s\)	200000	МПа	п. 6.2.12
\(\alpha=E_s/E_b\)	6.6667	—	п. 8.2.12

3. Приведённое сечение — п. 8.2.12

Растянута нижняя грань; расстояния ниже отсчитываются от неё. Арматура у растянутой грани — \(A_s\), у сжатой — \(A'_s\).

(8.126)\[A=180000\ \text{мм}^2;\qquad A_{red}=A+A_s\alpha+A'_s\alpha=180000+1256\cdot 6.6667+226\cdot 6.6667=189880\ \text{мм}^2\]

\[S_{t,red}=5.5262\cdot 10^{7}\ \text{мм}^3;\qquad y_t=\frac{S_{t,red}}{A_{red}}=\frac{5.5262\cdot 10^{7}}{189880}=291.04\ \text{мм}\]

(8.125)\[I_{red}=I+I_s\alpha+I'_s\alpha=5.4145\cdot 10^{9}+7.2973\cdot 10^{7}\cdot 6.6667+1.6349\cdot 10^{7}\cdot 6.6667=6.0099\cdot 10^{9}\ \text{мм}^4\]

(8.123)\[W_{red}=\frac{I_{red}}{y_t}=\frac{6.0099\cdot 10^{9}}{291.04}=2.065\cdot 10^{7}\ \text{мм}^3\]

(8.124)\[e_x=\frac{W_{red}}{A_{red}}=\frac{2.065\cdot 10^{7}}{189880}=108.75\ \text{мм}\]

\(I\), \(I_s\), \(I'_s\) — моменты инерции бетона и арматуры относительно центра тяжести приведённого сечения; площадь бетона под стержнями не вычитается — так сложены (8.125) и (8.126).

4. Упругопластический момент сопротивления

4.1. По положениям п. 8.2.10 (рисунок 8.17, а)

сечения после деформирования остаются плоскими;
эпюра напряжений в сжатой зоне — треугольная, как для упругого тела: \(\sigma_b=E_b\varepsilon_b\);
эпюра в растянутой зоне — трапециевидная с напряжениями не более \(R_{bt,ser}\);
деформация крайнего растянутого волокна равна \(\varepsilon_{bt,ult}=0{,}00015\) — эпюра деформаций двузначная;
напряжения в арматуре — как для упругого тела: \(\sigma_s=E_s\varepsilon_s\).

Наклонная сторона растянутой трапеции на рисунке 8.17 — продолжение той же прямой, что и сжатый треугольник, поэтому она идёт с модулем \(E_b\), а напряжение \(R_{bt,ser}\) достигается при

\[\varepsilon_{el}=\frac{R_{bt,ser}}{E_b}=\frac{1.55}{30000}=5.1667\cdot 10^{-5}\]

Неизвестна одна величина — высота растянутой зоны \(x_t\): при ней кривизна равна \(\varepsilon_{bt,ult}/x_t\), и напряжения во всём сечении известны. Её находят из равновесия — сумма сил в сечении при изгибе равна нулю:

\[\int\limits_{A}\sigma_b\,dA+\sigma_sA_s+\sigma'_sA'_s=0\quad\Rightarrow\quad x_t=327.44\ \text{мм};\qquad x=h-x_t=272.56\ \text{мм}\]

\[\varepsilon_b=\varepsilon_{bt,ult}\frac{x}{x_t}=1.2486\cdot 10^{-4};\qquad \sigma_b=E_b\varepsilon_b=3.746\ \text{МПа};\qquad \sigma_s=25.42;\qquad \sigma'_s=-21.31\ \text{МПа}\]

Полка \(R_{bt,ser}\) растянутой эпюры занимает 214.65 мм от растянутой грани, упругий участок — ещё 112.78 мм до нейтральной оси. Напряжения в арматуре — растяжение со знаком плюс.

Сила	F, кН	y от растянутой грани, мм	плечо до ц. т., мм	M, кН·м
растянутый бетон, σ = R_bt,ser	99.814	107.33	183.71	18.337
растянутый бетон, упругий участок	26.222	252.25	38.79	1.0172
сжатый бетон	-153.147	509.15	-218.11	33.4024
арматура у растянутой грани	31.926	50	241.04	7.6955
арматура у сжатой грани	-4.815	560	-268.96	1.2952

Сумма сил — -4.6e-14 кН: это проверка найденного \(x_t\). При нулевой сумме момент сил от выбора оси не зависит; он взят относительно центра тяжести приведённого сечения.

\[M_{crc,0}=\sum F_iz_i=61.7472\ \text{кН}\cdot\text{м};\qquad W_{pl}=\frac{M_{crc,0}}{R_{bt,ser}}=\frac{6.1747\cdot 10^{7}}{1.55}=3.9837\cdot 10^{7}\ \text{мм}^3=1.929\,W_{red}\]

4.2. Принятое значение

Принят \(W_{pl}\) по п. 8.2.10: \(W_{pl}=3.9837\cdot 10^{7}\) мм³.

Для сравнения — все три способа:

Способ	W_pl, мм³	W_pl / W_red	M_crc, кН·м
по п. 8.2.10	\(3.9837\cdot 10^{7}\)	1.929	61.747
по (8.122)	\(2.6845\cdot 10^{7}\)	1.3	41.61
по п. 8.2.9	\(2.065\cdot 10^{7}\)	1	32.007

5. Момент образования трещин — п. 8.2.11

(8.121)\[M_{crc}=R_{bt,ser}W_{pl}=1.55\cdot 3.9837\cdot 10^{7}=61.747\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

6. Образуются ли трещины — п. 8.2.4

(8.116)\[M=80\ >\ M_{crc}=61.747\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

Отношение \(M/M_{crc}=1.296\).

Примечания

Общий случай — момент образования трещин по нелинейной деформационной модели (пп. 8.2.8, 8.2.14) — в расчёте «Момент образования трещин по деформационной модели».
Трещины образуются, поэтому нужен расчёт по раскрытию трещин (п. 8.2.5): пп. 8.2.6, 8.2.7, 8.2.15–8.2.17.

Итог

Трещины, нормальные к продольной оси, образуются: M > M_crc, условие (8.116) выполняется.