Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Трёхшарнирная арка — расчёт на постоянную нагрузку — линии влияния

Построение линий влияния по п. 5.6.2, формулы (5.208)
Дата формирования: 01.09.2026 12:57

1. Исходные данные

Параметр	Обозн.	Значение	Ед.
Пролёт	\(l\)	24.000	м
Стрела подъёма	\(f\)	6.000	м
Абсцисса ключевого шарнира	\(x_C\)	12.000	м
Превышение опоры B	\(y_B\)	0.000	м
Сечение, для которого строятся л. в.	\(x_m\)	6.000	м

Расчётная схема; линии влияния строятся для сечения x_m = 6.000 м

Что такое линия влияния. Ордината линии влияния — значение усилия в тот момент, когда единичный вертикальный груз P = 1 стоит в точке с абсциссой u. Линия влияния строится один раз и позволяет найти усилие от любого расположения нагрузки, а также определить невыгодное загружение.

2. Геометрия рассматриваемого сечения

\[y_m=4.500\ \text{м};\qquad \operatorname{tg}\alpha_m=0.5000;\qquad \alpha_m=26.57^\circ\]

\[\sin\alpha_m=0.4472;\qquad \cos\alpha_m=0.8944\]

3. Линии влияния опорных реакций

Линии влияния вертикальных составляющих не отличаются от линий влияния простой балки — это прямые от единицы над опорой до нуля над другой опорой:

\[V_A^{0}=\frac{l-u}{l};\qquad V_B^{0}=\frac{u}{l}\]

Линия влияния распора совпадает с балочной линией влияния изгибающего момента в сечении ключевого шарнира, но с ординатами, уменьшенными в f раз:

(5.203)\[H=\frac{M_C^{0}}{f}\]

Это треугольник с вершиной под ключевым шарниром; наибольшая ордината

\[H_{max}=\frac{x_C\left(l-x_C\right)}{l\,f}=\frac{12\cdot\left(24-12\right)}{24\cdot6}=\boxed{1.0000}\]

4. Линии влияния усилий в сечении

Линии влияния усилий строят на основе формул (5.203), преобразованных к виду (5.208):

(5.208)\[\begin{aligned}M_m&=y_m\left(\frac{M_m^{0}}{y_m}-H\right);\\[3pt]Q_m&=\sin\alpha_m\left(Q_m^{0}\operatorname{ctg}\alpha_m-H\right);\\[3pt]N_m&=-\cos\alpha_m\left(Q_m^{0}\operatorname{tg}\alpha_m+H\right)\end{aligned}\]

Сначала строят линию влияния распора, которая без изменений входит в остальные. С ней алгебраически суммируют балочные линии влияния M⁰ и Q⁰, умноженные на соответствующие коэффициенты; после раскрытия скобок:

\[\begin{aligned}M_m&=M_m^{0}-4.5\,H;\\[3pt]Q_m&=0.8944\,Q_m^{0}-0.4472\,H;\\[3pt]N_m&=-0.4472\,Q_m^{0}-0.8944\,H\end{aligned}\]

Балочные линии влияния: \(M_m^{0}\) — треугольник с вершиной \(x_m(l-x_m)/l\) под сечением; \(Q_m^{0}\) — две параллельные прямые со скачком, равным единице, под сечением.

4.1. Характерные ординаты

\(u\), м	Положение груза	\(V_A\)	\(H\)	\(M^{0}_m\)	\(Q^{0}_m\)	\(M_m\), м	\(Q_m\)	\(N_m\)
0.000	над опорой A	1.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
6.000	под сечением, слева	0.7500	0.5000	4.5000	-0.2500	2.2500	-0.4472	-0.3354
6.000	под сечением, справа	0.7500	0.5000	4.5000	0.7500	2.2500	0.4472	-0.7826
12.000	под ключевым шарниром	0.5000	1.0000	3.0000	0.5000	-1.5000	0.0000	-1.1180
24.000	над опорой B	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000

4.2. Пример вычисления ординаты

Груз стоит над ключевым шарниром, u = 12.000 м:

\[M_m^{0}=\frac{6\cdot\left(24-12\right)}{24}=3.0000\ \text{м};\qquad Q_m^{0}=0.5000;\qquad H=1.0000\]

\[M_m=M_m^{0}-4.5\,H=3-4.5\cdot1=\boxed{-1.5000\ \text{м}}\]

\[Q_m=0.8944\cdot0.5-0.4472\cdot1=\boxed{0.0000}\]

\[N_m=-0.4472\cdot0.5-0.8944\cdot1=\boxed{-1.1180}\]

5. Таблица ординат

\(u\), м	\(V_A\)	\(V_B\)	\(H\)	\(M^{0}_m\)	\(Q^{0}_m\)	\(M_m\), м	\(Q_m\)	\(N_m\)
0.000	1.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
3.000	0.8750	0.1250	0.2500	2.2500	-0.1250	1.1250	-0.2236	-0.1677
6.000 слев.	0.7500	0.2500	0.5000	4.5000	-0.2500	2.2500	-0.4472	-0.3354
6.000 спр.	0.7500	0.2500	0.5000	4.5000	0.7500	2.2500	0.4472	-0.7826
9.000	0.6250	0.3750	0.7500	3.7500	0.6250	0.3750	0.2236	-0.9503
12.000	0.5000	0.5000	1.0000	3.0000	0.5000	-1.5000	0.0000	-1.1180
15.000	0.3750	0.6250	0.7500	2.2500	0.3750	-1.1250	0.0000	-0.8385
18.000	0.2500	0.7500	0.5000	1.5000	0.2500	-0.7500	0.0000	-0.5590
21.000	0.1250	0.8750	0.2500	0.7500	0.1250	-0.3750	0.0000	-0.2795
24.000	0.0000	1.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000

6. Линии влияния

Линия влияния вертикальной реакции V_A

Линия влияния вертикальной реакции V_B

Линия влияния распора H — повторяет балочную л. в. момента в ключевом шарнире с ординатами, уменьшенными в f раз

Линия влияния изгибающего момента в сечении

Линия влияния поперечной силы в сечении

Линия влияния продольной силы в сечении

7. Загружение линий влияния

Усилие от заданной нагрузки получают, загружая линию влияния: сосредоточенную силу умножают на ординату под ней, а распределённую — на площадь линии влияния под нагрузкой:

\[S=\sum P_i\,\eta_i+\int q\,\eta\,du\]

Усилие	по линии влияния	прямой расчёт	Ед.
\(M_m\)	135.000	135.000	кН·м
\(Q_m\)	26.833	26.833	кН
\(N_m\)	-315.286	-315.286	кН

Значения, полученные загружением линий влияния, совпадают с прямым расчётом — линии влияния построены верно.

Приложение. Формулы линий влияния

№	Формула	Назначение
—	\(V_A^{0}=\dfrac{l-u}{l};\quad V_B^{0}=\dfrac{u}{l}\)	л. в. вертикальных составляющих — как у простой балки
5.203	\(H=\dfrac{M_C^{0}}{f}\)	л. в. распора — балочная л. в. момента в ключе, уменьшенная в f раз
5.208	\(M_m=y_m\left(\dfrac{M_m^{0}}{y_m}-H\right)\)\(;\;\;Q_m=\sin\alpha_m\left(Q_m^{0}\operatorname{ctg}\alpha_m-H\right)\)\(;\;\;N_m=-\cos\alpha_m\left(Q_m^{0}\operatorname{tg}\alpha_m+H\right)\)	л. в. усилий в сечении арки
—	\(M_m=M_m^{0}-H'd_m;\;\;Q_m=Q_m^{0}\cos\alpha_m-H'\sin(\alpha_m-\gamma);\)\(\;\;N_m=-Q_m^{0}\sin\alpha_m-H'\cos(\alpha_m-\gamma)\)	то же для ползучей арки; при γ = 0 переходит в (5.208)
—	\(S=\sum P_i\eta_i+\displaystyle\int q\,\eta\,du\)	загружение линии влияния заданной нагрузкой

Тем же способом строят линии влияния двухшарнирной арки. Указания о невыгодном загружении трёхшарнирных арок временной нагрузкой — см. табл. 8.2.3 справочника.