Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Плиты и стены: расчёт по слоям

СП 63.13330.2018 с Изменениями № 1, 2, пп. 8.1.54, 8.1.57. Отчёт от 09.10.2026 19:19

Общий случай расчёта плоского выделенного элемента: элемент разделяют на отдельные слои сжатого бетона и растянутой арматуры и каждый слой считают отдельно на нормальные и сдвигающие силы в нём, полученные от изгибающих и крутящих моментов и нормальных сил (первый абзац п. 8.1.54, первый абзац п. 8.1.57, рисунок 8.15). Расчёт без разделения на слои — условия (8.100)–(8.105) и (8.110)–(8.115) — свод только допускает; там прочность в плоскости и из плоскости проверяют порознь, а здесь обе работы сходятся в одном слое.

1. Исходные данные

Величина	Обозн.	Значение	Ед.
Бетон	—	B25	—
Толщина элемента	\(t\)	200	мм
Продольная арматура	—	А500	—
грань 1, вдоль X	—	Ø12 с шагом 200, a = 30 мм	—
грань 1, вдоль Y	—	Ø12 с шагом 200, a = 30 мм	—
грань 2, вдоль X	—	Ø12 с шагом 200, a = 30 мм	—
грань 2, вдоль Y	—	Ø12 с шагом 200, a = 30 мм	—
Нормальная сила вдоль X	\(N_x\)	0	кН/м
Нормальная сила вдоль Y	\(N_y\)	-200	кН/м
Сдвигающая сила	\(N_{xy}\)	60	кН/м
Изгибающий момент в направлении X	\(M_x\)	16	кН·м/м
Изгибающий момент в направлении Y	\(M_y\)	10	кН·м/м
Крутящий момент	\(M_{xy}\)	5	кН·м/м
Деление на слои	—	подобрано программой	—

Растяжение — плюс, сжатие — минус. Положительные \(M_x\), \(M_y\) растягивают грань 1. \(N_x\) и \(M_x\) действуют по сторонам, перпендикулярным оси X, и их воспринимает арматура, параллельная X. Усилия — на 1 м ширины.

2. Расчётные характеристики

Обозн.	Значение	Ед.	Основание
\(R_b\)	13.05	МПа	таблица 6.8, п. 6.1.12
\(R_s\); \(R_{sc}\)	435; 435	МПа	таблица 6.14 в редакции Изменения № 1

Грань, направление	Стержни	A_s на 1 м, мм²	a, мм
грань 1, вдоль X	Ø12 с шагом 200	565.5	30
грань 1, вдоль Y	Ø12 с шагом 200	565.5	30
грань 2, вдоль X	Ø12 с шагом 200	565.5	30
грань 2, вдоль Y	Ø12 с шагом 200	565.5	30

3. Деление на слои

\[z_1=\frac{t}{2}-\frac{t_1}{2}=\frac{200}{2}-\frac{60}{2}=70\ \text{мм};\qquad z_2=\frac{t}{2}-\frac{t_2}{2}=70\ \text{мм};\qquad z=z_1+z_2=140\ \text{мм}\]

Толщины слоёв свод не назначает, поэтому программа их подобрала: перебрала деления и взяла то, при котором запас наибольший. Так можно по статической теореме предельного равновесия — любое равновесное распределение усилий, при котором каждый слой удовлетворяет своим условиям, даёт оценку снизу. Принято \(t_1 = 60\) мм, \(t_2 = 60\) мм.

Сетка засчитывается в слой, только если слой накрывает её так, что она лежит не глубже его середины, то есть при \(t_i \ge 2a\). Тогда её считают в срединной плоскости слоя, и это идёт в запас: настоящее плечо сетки не меньше. Слой тоньше — он считается бетонным.

Слой	t_i, мм	z_i, мм	A_sx учтено, мм²/м	A_sy учтено, мм²/м
у грани 1	60	70	565.5	565.5
у грани 2	60	70	565.5	565.5

4. Усилия в слоях — из равновесия

Неизвестных шесть, по три на слой; уравнений тоже шесть: три суммы сил и три суммы моментов относительно срединной плоскости. Система распадается на три независимые пары:

\[n_{x,1}=\frac{N_xz_2+M_x}{z};\qquad n_{x,2}=\frac{N_xz_1-M_x}{z}\]

Так же для Y и для сдвига. Нормальная сила делится между слоями пропорционально плечам, изгибающий момент даёт пару сил, крутящий — два противоположных сдвигающих потока.

\[n_{x,1}=\frac{0\cdot 70+16000}{140}=114.286\ \text{кН/м};\qquad n_{x,2}=\frac{0\cdot 70-16000}{140}=-114.286\ \text{кН/м}\]

\[n_{y,1}=\frac{(-200)\cdot 70+10000}{140}=-28.571\ \text{кН/м};\qquad n_{y,2}=\frac{(-200)\cdot 70-10000}{140}=-171.429\ \text{кН/м}\]

\[n_{xy,1}=\frac{60\cdot 70+5000}{140}=65.714\ \text{кН/м};\qquad n_{xy,2}=\frac{60\cdot 70-5000}{140}=-5.714\ \text{кН/м}\]

В числителях моменты переведены в кН·мм/м, чтобы делить на плечо в миллиметрах.

\[n_{x,1}+n_{x,2}=114.286+(-114.286)=0\ \text{кН/м}=N_x;\qquad n_{x,1}z_1-n_{x,2}z_2=16\ \text{кН}\cdot\text{м/м}=M_x\]

Наибольшая невязка равновесия по всем шести усилиям — 7.3e-12. Это проверка самих формул: усилия слоёв пересчитаны обратно.

5. Проверка слоёв — условия п. 8.1.57

\[(N_{x,ult}-n_x)(N_{y,ult}-n_y)-n_{xy}^2\ge 0\quad (8.110);\qquad N_{x,ult}\ge n_x\quad (8.111);\qquad N_{y,ult}\ge n_y\quad (8.112);\qquad N_{xy,ult}\ge n_{xy}\quad (8.113)\]

Каждый слой сам есть плоский выделенный элемент. Условия проверяются дважды — как для растяжения и как для сжатия, потому что по одной оси в слое может быть растяжение, а по другой сжатие. Предельные силы слоя: растягивающая \(R_sA_s\) — сетка лежит в срединной плоскости слоя, то есть растяжение центральное (п. 8.1.18); сжимающая \(R_bA_b+R_{sc}A_s\) с \(A_b=1000t_i\). Сдвигающая — по (8.114) и (8.115) с той же площадью бетона слоя.

Слой у грани 1: t = 60 мм, z = 70 мм

\[n_x=114.286;\qquad n_y=-28.571;\qquad n_{xy}=65.714\qquad \text{кН/м}\]

\[\text{растяжение: }(245.993-114.286)(245.993-(-28.571))-65.714^2=31843.5652\ \ge\ 0\ \text{кН}^2\quad (8.110);\qquad 245.993\ \ge\ 114.286;\qquad 245.993\ \ge\ -28.571\]

\[\text{сжатие: }(1028.993-(-114.286))(1028.993-28.571)-65.714^2=1139441.2487\ \ge\ 0\ \text{кН}^2\quad (8.110);\qquad 1028.993\ \ge\ -114.286;\qquad 1028.993\ \ge\ 28.571\]

\[N_{bxy,ult}=0{,}3R_bA_b=0{,}3\cdot 13.05\cdot 1000\cdot 60=234.9;\qquad N_{sxy,ult}=0{,}5R_s(A_{sx}+A_{sy})=245.993;\qquad N_{xy,ult}=234.9\ \ge\ 65.714\qquad \text{кН/м}\]

Слой у грани 1: условия выполняются.

Слой у грани 2: t = 60 мм, z = 70 мм

\[n_x=-114.286;\qquad n_y=-171.429;\qquad n_{xy}=-5.714\qquad \text{кН/м}\]

\[\text{растяжение: }(245.993-(-114.286))(245.993-(-171.429))-5.714^2=150355.0652\ \ge\ 0\ \text{кН}^2\quad (8.110);\qquad 245.993\ \ge\ -114.286;\qquad 245.993\ \ge\ -171.429\]

\[\text{сжатие: }(1028.993-114.286)(1028.993-171.429)-5.714^2=784386.8916\ \ge\ 0\ \text{кН}^2\quad (8.110);\qquad 1028.993\ \ge\ 114.286;\qquad 1028.993\ \ge\ 171.429\]

\[N_{bxy,ult}=0{,}3R_bA_b=0{,}3\cdot 13.05\cdot 1000\cdot 60=234.9;\qquad N_{sxy,ult}=0{,}5R_s(A_{sx}+A_{sy})=245.993;\qquad N_{xy,ult}=234.9\ \ge\ 5.714\qquad \text{кН/м}\]

Слой у грани 2: условия выполняются.

6. Запас по усилиям

Справочно: во сколько раз можно увеличить все заданные усилия при принятом делении, пока слои удовлетворяют условиям.

\[\lambda=1.7581\]

Примечания

Поперечные силы здесь не проверяются: их несёт середина между слоями, и свод проверяет их отдельно — условие (8.106), пп. 8.1.55, 8.1.58.
Продольный изгиб элемента (коэффициент η по п. 8.1.15) относится к элементу целиком, а не к слою, и в этот расчёт не входит.
Предельная сжимающая сила слоя принята равной R_b·A_b + R_sc·A_s: для отдельного слоя свод её не устанавливает.
Трещиностойкость — по разделу 8.2 (п. 8.1.59).

Итог

Прочность плоского выделенного элемента обеспечена: условия (8.110)–(8.113) выполняются в обоих слоях.