Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Линии влияния балки Гербера

Линии влияния и приёмы построения эпюр — п. 5.5.3, рис. 5.46, 5.47
Дата формирования: 01.09.2026 12:31

1. Исходные данные

ПараметрОбозн.ЗначениеЕд.
Длина балки\(L\)18.000м
Закрепление левого конца—шарнирная опора—
Закрепление правого конца—шарнирная опора—
Исследуемое сечение\(c\)10.500м
Опора для линии влияния\(V\)7.000м

Промежуточные опоры: 7 м, 13 м.

Шарниры: 4.5 м, 9.5 м.

\(a\), м\(b\), м\(q_1\), кН/м\(q_2\), кН/м
0.00013.00012.00012.000
\(x\), м\(P\), кН (вниз +)
15.00040.000
12 кН/м40 кН2711434.820.24.52.52.53.55L = 18 мсечение cопора
Расчётная схема с исследуемым сечением

2. Проверка применимости

Схема статически определима: опорных связей 4 (вертикальных 4, угловых 0), уравнений статики 4 (2 условия равновесия и 2 условий в шарнирах).

Приёмы этого пункта относятся к статически определимым балкам: усилия в них не зависят от жёсткости, поэтому и линия влияния — ломаная из прямых участков с переломами только в шарнирах и в исследуемом сечении.

3. Эпюры от заданной нагрузки

Эпюра QкН27.0027.00−27.00−27.00−57.0057.0027.0027.00−15.0019.8019.80−20.20−20.200
Эпюра поперечных сил Q
Эпюра MкН·м000−105.000021.0060.6000
Эпюра изгибающих моментов M

4. Линии влияния

Ордината линии влияния — значение фактора при единичном грузе в этом сечении. Кинематически линия влияния строится как эпюра перемещений механизма, полученного удалением соответствующей связи (рис. 5.47, г–з):

Линия влиянияУдаляемая связьПризнак
\(V\)опорный стержень укорочен на Λ = 1ордината над своей опорой равна 1, над остальными 0
\(M(c)\)шарнир в сечении, взаимный поворот Θ = 1перелом ординат равен 1
\(Q(c)\)ползун в сечении, взаимный сдвиг Γ = 1скачок ординат равен 1

Линия влияния опорной реакции V (сечение x = 7 м)

Линия влияния опорной реакции V—02.00001.00001.000000
Линия влияния опорной реакции V: ордината над своей опорой равна единице
\(x\), мОрдинатаСечение
0.0000.00000начало балки; опора
4.5002.00000шарнир
7.0001.00000опора; исследуемое сечение
9.5000.00000шарнир
13.0000.00000опора
18.0000.00000конец балки; опора

Проверка: ордината над своей опорой 1.00000000 (должна быть 1); над остальными опорами — 0.00000000, 0.00000000, 0.00000000.

Линия влияния изгибающего момента M(c) (сечение x = 10.5 м)

Линия влияния изгибающего момента M(c)м01.00001.000000−1.0000−1.000000
Линия влияния изгибающего момента M(c): перелом ординат в сечении равен единице
\(x\), мОрдината, мСечение
0.0000.00000начало балки; опора
4.5001.00000шарнир
7.0000.00000опора
9.500-1.00000шарнир
10.5000.00000исследуемое сечение
13.0000.00000опора
18.0000.00000конец балки; опора

Проверка: перелом ординат в сечении 1.00000000 (должен быть 1); ордината в сечении 0.00000 м.

Линия влияния поперечной силы Q(c) (сечение x = 10.5 м)

Линия влияния поперечной силы Q(c)—01.00001.000000−1.0000−1.0000−1.00000
Линия влияния поперечной силы Q(c): скачок ординат в сечении равен единице
\(x\), мОрдинатаСечение
0.0000.00000начало балки; опора
4.5001.00000шарнир
7.0000.00000опора
9.500-1.00000шарнир
10.500-1.00000 / 0.00000исследуемое сечение
13.0000.00000опора
18.0000.00000конец балки; опора

Проверка: скачок ординат в сечении 1.00000000 (должен быть 1); слева -1.00000, справа 0.00000.

5. Замена связей

Шарниры переставляются из пролётов в сечения над опорами — получается ряд простых балок. Действительная эпюра M отличается от эпюр M⁰ этих балок дополнительной прямолинейной эпюрой от опорных моментов, а эпюра Q — прямоугольниками высотой

\[Q_{доп}=\frac{M_B-M_A}{l}\]
Пролёт\(l\), м\(M_A\), кН·м\(M_B\), кН·м\(Q_{доп}\), кН
0…77.0000.000-105.000-15.000
7…136.000-105.00021.00021.000
13…185.00021.0000.000-4.200
\(x\), м\(M\), кН·м
0.0000.000
7.000-105.000
13.00021.000
18.0000.000

В сечениях действительных шарниров момент равен нулю: M(4.5) = 0.00000000, M(9.5) = 0.00000000 — это проверка приёма.

Приём с подбалкой (рис. 5.46) выводится для простой балки под одной равномерной нагрузкой на части пролёта; для этой схемы он не применяется.

6. Результаты

ВеличинаНаибольшее по модулюСечение x, м
Изгибающий момент M, кН·м-105.0007.000
Поперечная сила Q, кН-57.0007.000
Сечение x, мРеакция R, кН
0.00027.0000
7.000114.0000
13.00034.8000
18.00020.2000

Приложение. Использованные положения

ПоложениеСодержание
Определение линии влиянияордината — значение фактора при единичном грузе, стоящем в этом сечении
Свойство определимой балкилиния влияния — ломаная; переломы только в шарнирах и в исследуемом сечении, поэтому участок восстанавливается по двум точкам
Рис. 5.47, г–зкинематические признаки: \(\Lambda=1\), перелом \(\Theta=1\), скачок \(\Gamma=1\)
Рис. 5.47, а–взамена связей: ряд простых балок плюс дополнительная прямолинейная эпюра от опорных моментов
Рис. 5.46подбалка: \(e=db/l\), \(f=da/l\), \(M_{макс}=V_A(a-d/2+e)-pe^{2}/2\)