Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Статически неопределимая арка

Статически неопределимая арка — п. 5.6.3–5.6.4, формулы (5.214)–(5.228)
Дата формирования: 01.09.2026 12:31

1. Исходные данные

Параметр	Обозн.	Значение	Ед.
Тип арки	—	двухшарнирная	—
Степень статической неопределимости	\(n\)	1	—
Очертание оси	—	квадратная парабола	—
Пролёт	\(l\)	24.000	м
Стрела подъёма	\(f\)	6.000	м
Изгибная жёсткость	\(EI\)	500000.0	кН·м² (в ключе)
Закон изменения сечения	—	\(I=I_c/\cos\alpha\)	—
Продольная жёсткость	\(EF\)	9600000.0	кН
Сдвиговая жёсткость	\(GF_y\)	сдвиг не учитывается	кН

№	\(q_1\), кН/м	\(q_2\), кН/м	\(x_1\), м	\(x_2\), м	Направление
1	20.000	20.000	0.000	24.000	вертикальная

№	\(P_x\), кН	\(P_y\), кН	\(x\), м
1	0.000	60.000	6.000

Расчётная схема

2. Основная система

Лишние связи снимаются так, чтобы получилась криволинейная балка на двух опорах: слева — неподвижный шарнир, справа — подвижный. Распор основной системы равен нулю, её усилия обозначаем \(M^{0}\), \(Q^{0}\), \(N^{0}\).

\[M^{0}=V_A^{0}x+\sum M_{\text{лев}},\qquad Q^{0}=\Sigma V\cos\alpha-\Sigma H\sin\alpha,\qquad N^{0}=-\Sigma V\sin\alpha-\Sigma H\cos\alpha\]

\(x\), м	\(y\), м	\(\alpha\)	\(M^{0}\), кН·м	\(Q^{0}\), кН	\(N^{0}\), кН
0.000	0.000	45°	0	201.525	-201.525
3.000	2.625	36.87°	765	180	-135
6.000	4.500	26.57°	1350	147.58	-73.79
9.000	5.625	14.04°	1575	43.656	-10.914
12.000	6.000	0°	1620	-15	0
15.000	5.625	-14.04°	1485	-72.761	-18.19
18.000	4.500	-26.57°	1170	-120.748	-60.374
21.000	2.625	-36.87°	675	-156	-117
24.000	0.000	-45°	0	-180.312	-180.312

3. Характеристики фиктивного профиля

Расчёт ведётся методом сил с вынесением неизвестных в центр гибкости. Упругие характеристики сечения играют роль «толщин» фиктивного профиля (стр. 270):

\[t^{ф}=\frac{1}{EI},\qquad i_s^{ф}=\frac{1}{EF},\qquad i_n^{ф}=\frac{1}{GF_y}\]

(5.217)\[F^{ф}=\int t^{ф}ds,\qquad S^{ф}_x=\int y\,t^{ф}ds,\qquad S^{ф}_y=\int x\,t^{ф}ds\]

(5.218)\[I^{ф}_x=\int y^{2}t^{ф}ds+\int i_s^{ф}\cos^{2}\alpha\,ds+\int i_n^{ф}\sin^{2}\alpha\,ds\]

(5.218)\[I^{ф}_y=\int x^{2}t^{ф}ds+\int i_s^{ф}\sin^{2}\alpha\,ds+\int i_n^{ф}\cos^{2}\alpha\,ds\]

Интегралы берутся численно по оси арки (\(ds=dx/\cos\alpha\), 1202 точек).

У двухшарнирной арки \(F^{ф}=\infty\) и \(I^{ф}_y=\infty\): ось \(x\) соединяет пятовые шарниры, остаётся одна неизвестная — распор.

Характеристика	Значение	Ед.
\(F^{ф}\)	\(4.8\cdot 10^{-5}\)	∞ (шарнир)
\(I^{ф}_x\) — изгибная часть	\(9.216\cdot 10^{-4}\)	м/кН
\(+\int i_s^{ф}\cos^{2}\alpha\,ds\) — обжатие оси	\(1.9635\cdot 10^{-6}\)	м/кН
\(I^{ф}_x\) — итого	\(9.2356\cdot 10^{-4}\)	м/кН
\(s\) — длина оси арки	27.5470	м

4. Грузовые члены

(5.222)\[P^{ф}=\int\frac{M^{0}}{EI}ds\]

(5.222)\[L^{ф}_x=\int\frac{M^{0}}{EI}y\,ds+\int\frac{N^{0}}{EF}\cos\alpha\,ds+\int\frac{Q^{0}}{GF_y}\sin\alpha\,ds\]

(5.222)\[L^{ф}_y=-\int\frac{M^{0}}{EI}x\,ds+\int\frac{N^{0}}{EF}\sin\alpha\,ds-\int\frac{Q^{0}}{GF_y}\cos\alpha\,ds\]

Грузовой член	Значение
\(P^{ф}\)	\(0.05256\)
\(L^{ф}_x\)	\(0.251818\)

5. Лишние неизвестные

При \(F^{ф}=\infty\) момент \(X_1=P^{ф}/F^{ф}=0\); при \(I^{ф}_y=\infty\) вертикальная неизвестная \(V=L^{ф}_y/I^{ф}_y=0\). Остаётся распор:

(5.227)\[H=\frac{L^{ф}_x}{I^{ф}_x}=\frac{0.251818}{9.2356\cdot 10^{-4}}=272.6587\ \text{кН}\]

6. Усилия в сечениях

(5.214)\[M=M^{0}-X_1-H(y-y_0)+V(x-x_0)\]

(5.215)\[Q=Q^{0}+V\cos\alpha-H\sin\alpha\]

(5.216)\[N=N^{0}-V\sin\alpha-H\cos\alpha\]

Например, в сечении \(x=6.000\) м (\(y=4.500\) м, \(\alpha=26.57°\)):

\[M=1350-0-272.659\cdot(4.500-0.000)+0\cdot(6.000-12.000)=123.036\ \text{кН}\cdot\text{м}\]

\[N=\left(-73.79\right)-0\cdot0.4472-272.659\cdot0.8944=-317.664\ \text{кН}\]

\(x\), м	\(y\), м	\(M^{0}\)	\(M\), кН·м	\(Q\), кН	\(N\), кН
0.000	0.000	0	0	8.727	-394.324
3.000	2.625	765	49.271	16.405	-353.127
6.000	4.500	1350	123.036	25.644	-317.664
9.000	5.625	1575	41.295	-22.473	-275.432
12.000	6.000	1620	-15.952	-15	-272.659
15.000	5.625	1485	-48.705	-6.631	-282.708
18.000	4.500	1170	-56.964	1.189	-304.247
21.000	2.625	675	-40.729	7.595	-335.127
24.000	0.000	0	0	12.487	-373.111

Наибольший по модулю изгибающий момент \(M=123.036\) кН·м при \(x=6.000\) м; распор \(H=272.659\) кН.

7. Опорные реакции и проверки

Величина	Значение	Ед.
\(M_A\)	0	кН·м
\(M_B\)	0	кН·м
\(V_A\)	285	кН
\(V_B\)	255	кН
\(H_A\)	272.6587	кН

Проверка	Выражение	Ед.
Сумма вертикальных сил	\(\Sigma Y=V_A+V_B-\Sigma P_y\)	кН
Сумма горизонтальных сил	\(\Sigma X=H_A+H_B+\Sigma P_x\)	кН
Момент в пятовом шарнире	\(M_A\)	кН·м

Невязки равновесия имеют порядок ошибки округления, расчёт согласован.

8. Эпюры усилий

Эпюра изгибающих моментов

Эпюра поперечных сил

Эпюра продольных сил (сжатие отрицательно)

9. Приложение — использованные формулы

Формула	Запись	Смысл
5.217	\(F^{ф}=\int t^{ф}ds\)	гибкость (площадь фикт. профиля)
5.218	\(I^{ф}_x,\;I^{ф}_y\)	моменты инерции гибкости с учётом обжатия и сдвига
5.219	\(x_0=S^{ф}_y/F^{ф};\;\;y_0=S^{ф}_x/F^{ф}\)	положение центра гибкости
5.220–5.221	\(I^{ф}_{xy}=\int xy\,t^{ф}ds+\tfrac12\int(i_n^{ф}-i_s^{ф})\sin 2\alpha\,ds\)	центробежный момент — контроль главности осей
5.222	\(P^{ф},\;L^{ф}_x,\;L^{ф}_y\)	грузовые члены через усилия основной системы
5.214	\(M=M^{0}-X_1-H(y-y_0)+V(x-x_0)\)	изгибающий момент
5.215	\(Q=Q^{0}+V\cos\alpha-H\sin\alpha\)	поперечная сила
5.216	\(N=N^{0}-V\sin\alpha-H\cos\alpha\)	продольная сила
5.223–5.224	\(X_1=P^{ф}/F^{ф};\;\;H=L^{ф}_x/I^{ф}_x;\;\;V=L^{ф}_y/I^{ф}_y\)	лишние неизвестные
5.226–5.227	\(M=M^{0}-Hy;\quad H=L^{ф}_{x}/I^{ф}_{x}\)	двухшарнирная арка
5.228	\(I^{ф}_x+l/E_зF_з\)	податливость затяжки
5.253	\(L^{ф}_x=\alpha t\,l\)	равномерный нагрев

Тип арки задаёт число неизвестных (рис. 5.67): бесшарнирная — три (\(X_1,H,V\)); одношарнирная — две (\(F^{ф}=\infty\), оси через шарнир); двухшарнирная — одна (\(F^{ф}=I^{ф}_y=\infty\), ось \(x\) соединяет шарниры).