Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Двухэтажная рама — расчёт методом сил

Сложная рама — расчёт методом сил, п. 5.7.5, формулы (5.311)–(5.321)
Дата формирования: 01.09.2026 15:41

1. Исходные данные

Узел	\(x\), м	\(y\), м	Закрепление
1	0.000	0.000	заделка
2	6.000	0.000	заделка
3	12.000	0.000	заделка
4	0.000	4.000	свободный узел
5	6.000	4.000	свободный узел
6	12.000	4.000	свободный узел
7	0.000	8.000	свободный узел
8	6.000	8.000	свободный узел
9	12.000	8.000	свободный узел

Стержень	Узлы	\(l\), м	Наклон	\(EI\), кН·м²	Примыкание
1	1 — 4	4.000	90°	40000.0	оба конца жёстко
2	2 — 5	4.000	90°	40000.0	оба конца жёстко
3	3 — 6	4.000	90°	40000.0	оба конца жёстко
4	4 — 7	4.000	90°	40000.0	оба конца жёстко
5	5 — 8	4.000	90°	40000.0	оба конца жёстко
6	6 — 9	4.000	90°	40000.0	оба конца жёстко
7	4 — 5	6.000	0°	60000.0	оба конца жёстко
8	5 — 6	6.000	0°	60000.0	оба конца жёстко
9	7 — 8	6.000	0°	60000.0	оба конца жёстко
10	8 — 9	6.000	0°	60000.0	оба конца жёстко

Стержень	Нагрузка	Положение	Направление
1	равномерная 8.00 кН/м	0.00…4.00 м	по горизонтали вправо
4	равномерная 5.00 кН/м	0.00…4.00 м	по горизонтали вправо
7	равномерная 20.00 кН/м	0.00…6.00 м	по вертикали вниз
8	равномерная 20.00 кН/м	0.00…6.00 м	по вертикали вниз
9	равномерная 14.00 кН/м	0.00…6.00 м	по вертикали вниз
10	равномерная 14.00 кН/м	0.00…6.00 м	по вертикали вниз

Расчётная схема; в скобках — номера стержней

2. Степень статической неопределимости

Из заданной конструкции устраняется столько связей, сколько нужно для превращения её в неизменяемую статически определимую основную систему; действие устранённых связей заменяется лишними неизвестными (стр. 295). Число связей подсчитываем по стержням, узлам, опорным связям и шарнирам:

\[n=(3m+r)-(3j+h)=(3\cdot10+9)-(3\cdot9+0)=12\]

Величина	Обозн.	Значение
Стержней	\(m\)	10
Узлов	\(j\)	9
Опорных связей	\(r\)	9
Шарниров в примыканиях	\(h\)	0
Замкнутых контуров (включая замыкание через основание)	—	4
Лишних неизвестных	\(n\)	12

Тот же результат даёт правило справочника: степень статической неопределимости плоской бесшарнирной рамы равна утроенному числу замкнутых контуров, а каждый шарнир уменьшает её на единицу (стр. 295).

3. Основная система и единичные состояния

Отброшены следующие связи; каждой отвечает своя лишняя неизвестная:

Неизвестная	Отброшенная связь
\(X_{1}\)	продольная связь в сечении у узла 7 (стержень 9)
\(X_{2}\)	поперечная связь в сечении у узла 7 (стержень 9)
\(X_{3}\)	изгибающий момент в сечении у узла 7 (стержень 9)
\(X_{4}\)	продольная связь в сечении у узла 8 (стержень 10)
\(X_{5}\)	поперечная связь в сечении у узла 8 (стержень 10)
\(X_{6}\)	изгибающий момент в сечении у узла 8 (стержень 10)
\(X_{7}\)	горизонтальная реакция в узле 2
\(X_{8}\)	вертикальная реакция в узле 2
\(X_{9}\)	опорный момент в узле 2
\(X_{10}\)	горизонтальная реакция в узле 3
\(X_{11}\)	вертикальная реакция в узле 3
\(X_{12}\)	опорный момент в узле 3

Эпюра \(M_p\) в основной системе — от заданной нагрузки при отброшенных лишних связях

Единичная эпюра \(\bar M_{1}\) — продольная связь в сечении у узла 7 (стержень 9) принята равной единице

Единичная эпюра \(\bar M_{2}\) — поперечная связь в сечении у узла 7 (стержень 9) принята равной единице

Единичная эпюра \(\bar M_{3}\) — изгибающий момент в сечении у узла 7 (стержень 9) принята равной единице

Остальные 9 единичных эпюр строятся так же; ниже приведены только вычисленные по ним коэффициенты.

4. Коэффициенты и грузовые члены

Перемещения вычисляются по формуле Максвелла — Мора; при расчёте рам упругой деформацией сдвига пренебрегают всегда, а удлинения — когда рама не имеет характера вытянутой в одном направлении балки (стр. 296):

(5.313)\[\delta_{ik}=\int\frac{\bar M_i\bar M_k\,ds}{EI}+\int\frac{\bar N_i\bar N_k\,ds}{EF}\]

(5.312)\[\Delta_{ip}=\int\frac{M_p\bar M_i\,ds}{EI}+\int\frac{N_p\bar N_i\,ds}{EF}\]

Интеграл \(\int M_p\bar M_i\,ds/EI\) равен сумме произведений концевых углов поворота простой балки на концевые ординаты единичной эпюры — формула Мюллера — Бреслау (5.315); здесь он берётся численно точной квадратурой, что даёт тот же результат для любой нагрузки.

\(i\)	\(\delta_{i1}\)	\(\delta_{i2}\)	\(\delta_{i3}\)	\(\delta_{i4}\)	\(\delta_{i5}\)	\(\delta_{i6}\)	\(\delta_{i7}\)	\(\delta_{i8}\)	\(\Delta_{ip}\)
1	\(0.0027\)	\(0.0024\)	\(-8\cdot 10^{-4}\)	\(-5.3333\cdot 10^{-4}\)	\(-9.7972\cdot 10^{-27}\)	\(2\cdot 10^{-4}\)	\(-0.0016\)	\(-0.0012\)	\(0.4832\)
2	\(0.0024\)	\(0.006\)	\(-0.0012\)	\(-0.0012\)	\(-1.6\cdot 10^{-10}\)	\(6\cdot 10^{-4}\)	\(-0.0012\)	\(-6\cdot 10^{-4}\)	\(0.1098\)
3	\(-8\cdot 10^{-4}\)	\(-0.0012\)	\(4\cdot 10^{-4}\)	\(2\cdot 10^{-4}\)	\(0\)	\(-1\cdot 10^{-4}\)	\(4\cdot 10^{-4}\)	\(3\cdot 10^{-4}\)	\(-0.0995\)
4	\(-5.3333\cdot 10^{-4}\)	\(-0.0012\)	\(2\cdot 10^{-4}\)	\(0.0027\)	\(0.0024\)	\(-8\cdot 10^{-4}\)	\(0\)	\(0\)	\(0.048\)
5	\(-9.7972\cdot 10^{-27}\)	\(-1.6\cdot 10^{-10}\)	\(0\)	\(0.0024\)	\(0.006\)	\(-0.0012\)	\(0\)	\(0\)	\(-0.1962\)
6	\(2\cdot 10^{-4}\)	\(6\cdot 10^{-4}\)	\(-1\cdot 10^{-4}\)	\(-8\cdot 10^{-4}\)	\(-0.0012\)	\(4\cdot 10^{-4}\)	\(0\)	\(0\)	\(-0.0036\)
7	\(-0.0016\)	\(-0.0012\)	\(4\cdot 10^{-4}\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0.0027\)	\(0.0024\)	\(-1.0427\)
8	\(-0.0012\)	\(-6\cdot 10^{-4}\)	\(3\cdot 10^{-4}\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0.0024\)	\(0.0048\)	\(-2.0372\)

Показаны первые 8 строк матрицы из 12.

Проверка	Выражение	Невязка	Ед.
Взаимность перемещений	\(\delta_{ik}-\delta_{ki}\)	\(0\)	относительная

5. Решение канонических уравнений

(5.311)\[X_1\delta_{i1}+X_2\delta_{i2}+\ldots+X_n\delta_{in}+\Delta_{ip}=0\]

Система решается по схеме Гаусса: матрица приводится к треугольному виду (5.317), после чего неизвестные находятся в порядке, обратном их нумерации (5.318).

Неизвестная	Отброшенная связь	Значение
\(X_{1}\)	продольная связь в сечении у узла 7 (стержень 9)	19.2964
\(X_{2}\)	поперечная связь в сечении у узла 7 (стержень 9)	36.5101
\(X_{3}\)	изгибающий момент в сечении у узла 7 (стержень 9)	21.911
\(X_{4}\)	продольная связь в сечении у узла 8 (стержень 10)	14.6602
\(X_{5}\)	поперечная связь в сечении у узла 8 (стержень 10)	44.0752
\(X_{6}\)	изгибающий момент в сечении у узла 8 (стержень 10)	44.2795
\(X_{7}\)	горизонтальная реакция в узле 2	-13.4663
\(X_{8}\)	вертикальная реакция в узле 2	219.9708
\(X_{9}\)	опорный момент в узле 2	29.1666
\(X_{10}\)	горизонтальная реакция в узле 3	-17.5712
\(X_{11}\)	вертикальная реакция в узле 3	101.6562
\(X_{12}\)	опорный момент в узле 3	34.6397

6. Окончательные усилия

\[M=M_p+\sum_i X_i\bar M_i\]

Стержень	Узлы	\(M_A\), кН·м	\(M_B\), кН·м	\(N\), кН
1	1 — 4	-28.495	-8.645	-86.373
2	2 — 5	-29.167	24.699	-219.971
3	3 — 6	-34.64	35.645	-101.656
4	4 — 7	15.275	-21.911	-36.51
5	5 — 8	-7.974	10.571	-91.565
6	6 — 9	-26.812	31.828	-39.925
7	4 — 5	-23.92	-84.742	-11.741
8	5 — 6	-52.069	-62.457	-2.911
9	7 — 8	-21.911	-54.851	-19.296
10	8 — 9	-44.279	-31.828	-14.66

Усилия в характерных сечениях — концы стержней, границы участков нагрузки и внутренние экстремумы момента:

Стержень	\(x\), м	\(M\), кН·м	\(Q\), кН	\(N\), кН
1	0.000	-28.495	20.962	-86.373
1	2.620	-1.031	0	-86.373
1	4.000	-8.645	-11.038	-86.373
2	0.000	-29.167	13.466	-219.971
2	4.000	24.699	13.466	-219.971
3	0.000	-34.64	17.571	-101.656
3	4.000	35.645	17.571	-101.656
4	0.000	15.275	0.704	-36.51
4	0.141	15.324	0	-36.51
4	4.000	-21.911	-19.296	-36.51
5	0.000	-7.974	4.636	-91.565
5	4.000	10.571	4.636	-91.565
6	0.000	-26.812	14.66	-39.925
6	4.000	31.828	14.66	-39.925
7	0.000	-23.92	49.863	-11.741
7	2.493	38.238	0	-11.741
7	6.000	-84.742	-70.137	-11.741
8	0.000	-52.069	58.269	-2.911
8	2.913	32.812	0	-2.911
8	6.000	-62.457	-61.731	-2.911
9	0.000	-21.911	36.51	-19.296
9	2.608	25.696	0	-19.296
9	6.000	-54.851	-47.49	-19.296
10	0.000	-44.279	44.075	-14.66
10	3.148	25.1	0	-14.66
10	6.000	-31.828	-39.925	-14.66

Наибольший по модулю изгибающий момент \(M=-84.742\) кН·м — стержень 7, сечение \(x=6.000\) м.

7. Проверки

Опорный узел	Закрепление	\(H\), кН	\(V\), кН	\(M\), кН·м
1	заделка	-20.9625	86.373	28.4948
2	заделка	-13.4663	219.9708	29.1666
3	заделка	-17.5712	101.6562	34.6397

Помимо равновесия узлов, которое выполнено по построению, проверяется равновесие фиктивной нагрузки замкнутого контура (5.321): нагрузка \(p^{ф}=M/EI\) вдоль каждого бесшарнирного контура должна быть уравновешена — это условие совместности деформаций, не входящее в канонические уравнения:

(5.321)\[\oint p^{ф}ds=0;\qquad \oint p^{ф}y\,ds=0;\qquad \oint p^{ф}x\,ds=0\]

Контур	Стержней	\(\oint p^{ф}ds\)	\(\oint p^{ф}x\,ds\)	\(\oint p^{ф}y\,ds\)
1	4	\(-8.2203\cdot 10^{-15}\)	\(1.448\cdot 10^{-6}\)	\(4.4709\cdot 10^{-7}\)
2	4	\(-1.712\cdot 10^{-14}\)	\(-1.3683\cdot 10^{-6}\)	\(7.0046\cdot 10^{-7}\)
3	3	\(3.0917\cdot 10^{-14}\)	\(4.3727\cdot 10^{-6}\)	\(8.6465\cdot 10^{-7}\)
4	4	\(1.3943\cdot 10^{-14}\)	\(3.1925\cdot 10^{-7}\)	\(6.8866\cdot 10^{-7}\)

Невязки отнесены к \(\oint|p^{ф}|ds\) и имеют порядок ошибки округления — расчёт согласован.

8. Эпюры усилий

Эпюра изгибающих моментов — ординаты отложены со стороны растянутого волокна

Эпюра поперечных сил

Эпюра продольных сил (сжатие отрицательно)

9. Углы поворота и прогибы

Изгибающие моменты найдены, поэтому упругая линия получается интегрированием кривизны вдоль стержней:

\[\varphi(x)=\varphi_A+\int_0^{x}\frac{M\,dx}{EI},\qquad w(x)=w_A+\int_0^{x}\varphi\,dx\]

Обход ведётся по остовному дереву рамы от опорного узла; произвол в жёстком смещении (поворот и два переноса) снимается условиями закрепления. Стержни, не вошедшие в дерево, в подборе не участвуют — совпадение перемещений на их концах служит проверкой совместности деформаций.

Стержень	Узлы	\(\varphi_A\), мрад	\(\varphi_B\), мрад	наибольший угол, мрад	наибольший прогиб, мм
1	1 — 4	0	-0.79	-0.79 при x = 4.00	-2.242 при x = 4.00
2	2 — 5	0	-0.223	-0.789 при x = 2.20	-2.242 при x = 4.00
3	3 — 6	0	0.05	-0.853 при x = 2.00	-2.243 при x = 3.90
4	4 — 7	-0.79	-0.455	-0.79 при x = 0.00	-3.494 при x = 4.00
5	5 — 8	-0.223	-0.094	-0.395 при x = 1.70	-3.494 при x = 4.00
6	6 — 9	0.05	0.301	-0.563 при x = 1.80	-3.555 при x = 3.60
7	4 — 5	-0.79	-0.223	-0.892 при x = 0.60	-1.602 при x = 2.55
8	5 — 6	-0.223	0.05	-0.664 при x = 1.05	-1.331 при x = 2.85
9	7 — 8	-0.455	-0.094	-0.575 при x = 0.75	-1.081 при x = 2.70
10	8 — 9	-0.094	0.301	0.537 при x = 5.10	-1.087 при x = 3.15

Проверка	Выражение	Невязка	Ед.
Упругая линия сходится на втором торце стержня	\(\varphi(l)-\varphi_B\)	\(1.0376\cdot 10^{-16}\)	рад
То же по прогибу	\(w(l)-w_B\)	\(6.4717\cdot 10^{-16}\)	м

Невязки имеют порядок ошибки округления: условия совместности деформаций, заложенные в канонические уравнения, выполняются.

Эпюра углов поворота сечений (против часовой стрелки — положительные)

Эпюра прогибов: у ригелей подписан прогиб вниз, у стоек — смещение вправо; ординаты отложены в сторону смещения

Изогнутая ось рамы: перемещения показаны в увеличенном масштабе

10. Приложение — использованные формулы

Формула	Запись	Смысл
5.311	\(\sum_k X_k\delta_{ik}+\Delta_{ip}=0\)	канонические уравнения метода сил
5.312	\(\Delta_{ip}=\int\dfrac{M_p\bar M_i ds}{EI}+\int\dfrac{N_p\bar N_i ds}{EF}+\ldots\)	грузовые члены по Максвеллу — Мору
5.313	\(\delta_{ik}=\int\dfrac{\bar M_i\bar M_k ds}{EI}+\int\dfrac{\bar N_i\bar N_k ds}{EF}+\ldots\)	коэффициенты при неизвестных
5.314	\(\int\dfrac{M_p\bar M_i ds}{EI}=\Theta_p\bar M_{i\Theta}\)	правило Верещагина
5.315	\(\int\dfrac{M_p\bar M_i ds}{EI}=\tau_{Ap}\bar M_{iA}+\tau_{Bp}\bar M_{iB}\)	формула Мюллера — Бреслау через концевые углы поворота
5.316–5.318	приведение матрицы к треугольному виду и обратный ход	решение по схеме Гаусса
5.319–5.320	\(X_i=\sum_k\Delta_{kp}\beta_{ik};\quad\beta_{ik}=\beta_{ki}\)	числа влияния и их взаимность
5.321	\(\oint p^{ф}ds=0;\ \oint p^{ф}y\,ds=0;\ \oint p^{ф}x\,ds=0\)	равновесие фиктивной нагрузки замкнутого контура — контроль
стр. 295	n = 3 × число замкнутых контуров − число шарниров	степень статической неопределимости

Единичные состояния здесь строятся как базис самоуравновешенных усилий: решается однородная система уравнений равновесия, и каждый её свободный неизвестный даёт своё состояние. Это и есть выбор основной системы — отброшена та связь, которой отвечает выбранный неизвестный.