Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Двухэтажная рама

Сложная рама — расчёт методом перемещений, п. 5.7.3, формулы (5.291)–(5.304)
Дата формирования: 01.09.2026 12:31

1. Исходные данные

Узел	\(x\), м	\(y\), м	Закрепление
1	0.000	0.000	заделка
2	6.000	0.000	заделка
3	12.000	0.000	заделка
4	0.000	4.000	свободный узел
5	6.000	4.000	свободный узел
6	12.000	4.000	свободный узел
7	0.000	8.000	свободный узел
8	6.000	8.000	свободный узел
9	12.000	8.000	свободный узел

Стержень	Узлы	\(l\), м	Наклон	\(EI\), кН·м²	\(i=EI/l\)	Примыкание
1	1 — 4	4.000	90°	40000.0	10000.00	оба конца жёстко
2	2 — 5	4.000	90°	40000.0	10000.00	оба конца жёстко
3	3 — 6	4.000	90°	40000.0	10000.00	оба конца жёстко
4	4 — 7	4.000	90°	40000.0	10000.00	оба конца жёстко
5	5 — 8	4.000	90°	40000.0	10000.00	оба конца жёстко
6	6 — 9	4.000	90°	40000.0	10000.00	оба конца жёстко
7	4 — 5	6.000	0°	60000.0	10000.00	оба конца жёстко
8	5 — 6	6.000	0°	60000.0	10000.00	оба конца жёстко
9	7 — 8	6.000	0°	60000.0	10000.00	оба конца жёстко
10	8 — 9	6.000	0°	60000.0	10000.00	оба конца жёстко

Стержень	Нагрузка	Положение	Направление
1	равномерная 8.00 кН/м	0.00…4.00 м	x
4	равномерная 5.00 кН/м	0.00…4.00 м	x
7	равномерная 20.00 кН/м	0.00…6.00 м	по вертикали вниз
8	равномерная 20.00 кН/м	0.00…6.00 м	по вертикали вниз
9	равномерная 14.00 кН/м	0.00…6.00 м	по вертикали вниз
10	равномерная 14.00 кН/м	0.00…6.00 м	по вертикали вниз

Расчётная схема; в скобках — номера стержней

2. Основная система и число неизвестных

Основная система метода перемещений получается неподвижным закреплением жёстких узлов рамы (стр. 286). Число неизвестных углов \(\varphi\) равно числу жёстких узлов, не считая опорных; число неизвестных линейных перемещений при пренебрежении упругой деформацией удлинения равно числу степеней свободы шарнирного скелета рамы (стр. 288).

Неизвестные	Число	Примечание
углы поворота узлов \(\varphi\)	6	узлы: 4, 5, 6, 7, 8, 9
линейные перемещения	2	степени свободы шарнирного скелета
всего	8	порядок системы канонических уравнений

Упругой деформацией удлинения стержней пренебрегаем (стр. 287): продольная жёсткость принята в \(1\cdot 10^{7}\) раз больше изгибной, невязка удлинений выводится в проверках.

3. Моменты защемления от местной нагрузки

В закреплённой основной системе каждый стержень работает как балка с защемлёнными концами. Моменты защемления выражаются через концевые углы поворота простой балки \(\tau^{0}_A\), \(\tau^{0}_B\) — фиктивные опорные реакции эпюры \(M^{0}/EI\):

(5.292)\[M_A^{н.з}=-\frac{2EI}{l}\left(2\tau^{0}_A-\tau^{0}_B\right),\qquad M_B^{н.з}=-\frac{2EI}{l}\left(2\tau^{0}_B-\tau^{0}_A\right)\]

(5.295)\[M_B^{н.з}=-\frac{3EI\,\tau^{0}_B}{l}\quad(\text{слева шарнир}),\qquad M_A^{н.з}=-\frac{3EI\,\tau^{0}_A}{l}\quad(\text{справа шарнир})\]

Стержень	\(\tau^{0}_A\)	\(\tau^{0}_B\)	\(M_A^{н.з}\), кН·м	\(M_B^{н.з}\), кН·м
1	\(5.3333\cdot 10^{-4}\)	\(5.3333\cdot 10^{-4}\)	-10.667	-10.667
4	\(3.3333\cdot 10^{-4}\)	\(3.3333\cdot 10^{-4}\)	-6.667	-6.667
7	\(0.003\)	\(0.003\)	-60	-60
8	\(0.003\)	\(0.003\)	-60	-60
9	\(0.0021\)	\(0.0021\)	-42	-42
10	\(0.0021\)	\(0.0021\)	-42	-42

4. Уравнения метода перемещений

Каждому неизвестному отвечает своё уравнение равновесия. Углам поворота — равновесие моментов, действующих на узел (5.299), линейным перемещениям — равновесие проекций сил на направление перемещения (5.303):

(5.299)\[\sum M_A-\sum M_B-L=0\]

(5.302)\[EI_c\varphi_k\left(4\sum_i\frac{1}{l'_{ki}}+3\sum_j\frac{1}{l'_{kj}}\right)+2EI_c\sum_i\frac{\varphi_i}{l'_{ki}}-6EI_c\sum_i\frac{\psi_{ki}}{l'_{ki}}-3EI_c\sum_j\frac{\psi_{kj}}{l'_{kj}}-L_k+\sum M^{*}=0\]

Здесь \(l'=l\,I_c/I\) — приведённые длины; за единичную жёсткость принято \(EI_c=40000.0\) кН·м². Система собирается автоматически по тем же формулам (5.291), (5.295) и решается методом Гаусса. Результат:

Узел	\(\varphi\), рад	\(u\), м (вправо +)	\(v\), м (вниз +)
4	\(-7.9032\cdot 10^{-4}\)	\(0.002242\)	\(1.382\cdot 10^{-8}\)
5	\(-2.2339\cdot 10^{-4}\)	\(0.002242\)	\(3.5195\cdot 10^{-8}\)
6	\(5.0266\cdot 10^{-5}\)	\(0.002242\)	\(1.6265\cdot 10^{-8}\)
7	\(-4.5546\cdot 10^{-4}\)	\(0.003494\)	\(1.9661\cdot 10^{-8}\)
8	\(-9.3539\cdot 10^{-5}\)	\(0.003494\)	\(4.9846\cdot 10^{-8}\)
9	\(3.0107\cdot 10^{-4}\)	\(0.003494\)	\(2.2653\cdot 10^{-8}\)

Углы поворота отсчитываются против часовой стрелки. Для наглядности их часто приводят увеличенными в \(EI_c\) раз (стр. 290): \(EI_c\varphi\).

5. Усилия в защемлениях

Найденные перемещения подставляются обратно в формулы усилий:

(5.291)\[M_A=M_A^{н.з}+\varphi_A\frac{4EI}{l}+\varphi_B\frac{2EI}{l}-\frac{v_B-v_A}{l}\cdot\frac{6EI}{l}\]

(5.291, 5.293)\[M_B=M_B^{н.з}-\varphi_B\frac{4EI}{l}-\varphi_A\frac{2EI}{l}+\frac{v_B-v_A}{l}\cdot\frac{6EI}{l},\qquad Q_x=Q_x^{н.з}+\frac{M_B-M_A}{l}\]

Стержень	Узлы	\(M_A\), кН·м	\(M_B\), кН·м	\(Q_A\), кН	\(Q_B\), кН	\(N\), кН
1	1 — 4	-28.495	-8.645	20.962	-11.038	-86.373
2	2 — 5	-29.167	24.699	13.466	13.466	-219.971
3	3 — 6	-34.64	35.645	17.571	17.571	-101.656
4	4 — 7	15.275	-21.911	0.704	-19.296	-36.51
5	5 — 8	-7.974	10.571	4.636	4.636	-91.565
6	6 — 9	-26.812	31.828	14.66	14.66	-39.925
7	4 — 5	-23.92	-84.742	49.863	-70.137	-11.741
8	5 — 6	-52.069	-62.457	58.269	-61.731	-2.911
9	7 — 8	-21.911	-54.851	36.51	-47.49	-19.296
10	8 — 9	-44.279	-31.828	44.075	-39.925	-14.66

Усилия в характерных сечениях: концы стержней, границы участков нагрузки, точки приложения сил и моментов и внутренние экстремумы момента (там, где \(Q=0\)). Координата \(x\) отсчитывается от первого узла стержня:

Стержень	\(x\), м	\(M\), кН·м	\(Q\), кН	\(N\), кН
1	0.000	-28.495	20.962	-86.373
1	2.620	-1.031	0	-86.373
1	4.000	-8.645	-11.038	-86.373
2	0.000	-29.167	13.466	-219.971
2	4.000	24.699	13.466	-219.971
3	0.000	-34.64	17.571	-101.656
3	4.000	35.645	17.571	-101.656
4	0.000	15.275	0.704	-36.51
4	0.141	15.324	0	-36.51
4	4.000	-21.911	-19.296	-36.51
5	0.000	-7.974	4.636	-91.565
5	4.000	10.571	4.636	-91.565
6	0.000	-26.812	14.66	-39.925
6	4.000	31.828	14.66	-39.925
7	0.000	-23.92	49.863	-11.741
7	2.493	38.238	0	-11.741
7	6.000	-84.742	-70.137	-11.741
8	0.000	-52.069	58.269	-2.911
8	2.913	32.812	0	-2.911
8	6.000	-62.457	-61.731	-2.911
9	0.000	-21.911	36.51	-19.296
9	2.608	25.696	0	-19.296
9	6.000	-54.851	-47.49	-19.296
10	0.000	-44.279	44.075	-14.66
10	3.148	25.1	0	-14.66
10	6.000	-31.828	-39.925	-14.66

Знак момента — по правилу справочника (стр. 289): каждый стержень отмечается с одной стороны, которая считается нижней, если привести стержень в горизонтальное положение; левому концу приписывается обозначение A, правому — B. Здесь это сторона, отвечающая направлению оси стержня от первого узла ко второму.

Наибольший по модулю изгибающий момент \(M=-84.742\) кН·м — стержень 7, сечение \(x=6.000\) м.

6. Опорные реакции и проверки

Опорный узел	Закрепление	\(H\), кН	\(V\), кН	\(M\), кН·м
1	заделка	-20.9625	-86.373	28.4948
2	заделка	-13.4663	-219.9708	29.1666
3	заделка	-17.5712	-101.6562	34.6397

Проверка	Выражение	Невязка	Ед.
Равновесие моментов во всех узлах	\(\sum M_A-\sum M_B-L\)	0	кН·м
Относительное удлинение стержней	\(\Delta l/l\)	\(8.7988\cdot 10^{-9}\)	—
Равновесие рамы в целом	\(\Sigma X;\ \Sigma Y\)	0; 0	кН

Невязки равновесия имеют порядок ошибки округления, расчёт согласован.

7. Эпюры усилий

Эпюра изгибающих моментов — ординаты отложены со стороны растянутого волокна

Эпюра поперечных сил

Эпюра продольных сил (сжатие отрицательно)

8. Углы поворота и прогибы

Перемещения торцов известны из решения системы, поэтому упругая линия каждого стержня получается прямым интегрированием кривизны \(1/\rho=M/EI\):

\[\varphi(x)=\varphi_A+\int_0^{x}\frac{M\,dx}{EI},\qquad w(x)=w_A+\int_0^{x}\varphi\,dx\]

Угол поворота отсчитывается против часовой стрелки, прогиб \(w\) — поперёк оси стержня в сторону местной оси, то есть влево от направления от первого узла ко второму.

Стержень	Узлы	\(\varphi_A\), мрад	\(\varphi_B\), мрад	наибольший угол, мрад	наибольшее перемещение, мм
1	1 — 4	0	-0.79	-0.79 при x = 4.00	2.242 при x = 4.00 (вправо +)
2	2 — 5	0	-0.223	-0.789 при x = 2.13	2.242 при x = 4.00 (вправо +)
3	3 — 6	0	0.05	-0.853 при x = 2.00	2.244 при x = 3.93 (вправо +)
4	4 — 7	-0.79	-0.455	-0.79 при x = 0.00	3.494 при x = 4.00 (вправо +)
5	5 — 8	-0.223	-0.094	-0.395 при x = 1.73	3.494 при x = 4.00 (вправо +)
6	6 — 9	0.05	0.301	-0.563 при x = 1.80	3.555 при x = 3.60 (вправо +)
7	4 — 5	-0.79	-0.223	-0.893 при x = 0.50	1.603 при x = 2.60 (вниз +)
8	5 — 6	-0.223	0.05	-0.664 при x = 1.10	1.332 при x = 2.90 (вниз +)
9	7 — 8	-0.455	-0.094	-0.575 при x = 0.70	1.081 при x = 2.70 (вниз +)
10	8 — 9	-0.094	0.301	0.538 при x = 5.00	1.087 при x = 3.10 (вниз +)

Проверка	Выражение	Невязка	Ед.
Упругая линия сходится с перемещениями второго торца	\(\varphi(l)-\varphi_B\)	\(7.1828\cdot 10^{-19}\)	рад
То же по прогибу	\(w(l)-w_B\)	\(3.5565\cdot 10^{-18}\)	м

Интегрирование ведётся от первого узла стержня, а перемещения второго узла в него не подставляются — совпадение служит независимой проверкой всего расчёта перемещений.

Эпюра углов поворота сечений (против часовой стрелки — положительные)

Эпюра прогибов: у ригелей подписан прогиб вниз, у стоек — смещение вправо; ординаты отложены в сторону смещения

Изогнутая ось рамы: перемещения показаны в увеличенном масштабе

9. Приложение — использованные формулы

Формула	Запись	Смысл
5.291	\(M_A=M_A^{н.з}+\varphi_A\dfrac{4EI}{l}+\varphi_B\dfrac{2EI}{l}-\psi\dfrac{6EI}{l}\)	усилия в защемлениях через перемещения торцов
5.292	\(M_A^{н.з}=-\dfrac{2EI}{l}(2\tau^{0}_A-\tau^{0}_B)\)	моменты защемления от местной нагрузки
5.293	\(Q_x^{н.з}=Q_x^{0}+\dfrac{M_B^{н.з}-M_A^{н.з}}{l}\)	поперечная сила в защемлённой балке
5.295	\(M_B=M_B^{н.з}-\varphi_B\dfrac{3EI}{l}+\psi\dfrac{3EI}{l}\)	стержень с одним шарнирно опертым концом
5.296	\(M_A,\;M_B\) через \(F^{ф},\;I^{ф},\;c_A,\;c_B\)	общий случай стержня переменного сечения
5.299	\(\sum M_A-\sum M_B-L=0\)	уравнение равновесия моментов на узле
5.302	\(EI_c\varphi_k\left(4\sum\frac{1}{l'_{ki}}+3\sum\frac{1}{l'_{kj}}\right)+\ldots=0\)	развёрнутое уравнение моментов в перемещениях
5.303–5.304	\(6EI_c\sum\dfrac{\varphi_н+\varphi_в}{h'h}-12EI_c\sum\dfrac{\psi}{h'h}-\sum Q^{*}+\sum T=0\)	уравнение проекций для этажа
5.305–5.310	\(\varphi_{n-1}r_{n,n-1}+\varphi_n r_{nn}+\varphi_{n+1}r_{n,n+1}+ur_{nu}+r_{np}=0\)	канонические уравнения и их коэффициенты
стр. 288	число φ = число жёстких узлов; число линейных = степеней свободы шарнирного скелета	подсчёт неизвестных

Метод перемещений тем выгоднее, чем меньше число линейных перемещений (стр. 286): для обычных рам характерно большое число неизвестных углов поворота и малое число линейных перемещений.