Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Расчёт нормального сечения по прочности на основе нелинейной деформационной модели

СП 63.13330.2018 «Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения», пп. 8.1.20–8.1.30
Пункты действуют в базовой редакции: Изменение № 1 в подразделе 8.1 затронуло только 8.1.1 и 8.1.48, Изменение № 2 — только 8.1.34
Дата формирования: 09.10.2026 19:19

1. Исходные данные

Параметр	Обозн.	Значение	Ед.
Сечение	—	прямоугольное 300×600 мм	—
Класс бетона	—	B25	—
Диаграмма состояния бетона	—	двухлинейная (п. 6.1.21)	—
Растянутый бетон	—	не учитывается, σ_bi = 0 при ε_bi ≥ 0 — п. 8.1.20	—
Режим	—	изгиб и сжатие в плоскости оси симметрии — пп. 8.1.27, 8.1.28	—
Продольная сила	\(N\)	-500	кН
Момент из статического расчёта	\(M_{xd}\)	200	кН·м
Участков разбивки	—	100 по высоте × 1 по ширине = 100	—

Знаки — по п. 8.1.22. Сжимающая продольная сила, сжимающие напряжения и деформации укорочения берутся со знаком «минус», растягивающие — со знаком «плюс». Здесь \(N=-500\) кН, то есть сжатие.

2. Материалы

Величина	Обозн.	Значение	Ед.
Сопротивление бетона сжатию	\(R_b\)	13.05	МПа
Сопротивление бетона растяжению	\(R_{bt}\)	0.945	МПа
Начальный модуль упругости	\(E_b\)	30000	МПа
Приведённый модуль деформации	\(E_{b,red}\)	4660.7	МПа
Модуль в формулах (8.42)–(8.47)	\(E_{b,red}\)	4660.7	МПа
Деформация при R_b	\(\varepsilon_{b0}\)	0.00340	—
Предельная деформация сжатия	\(\varepsilon_{b2}\)	0.00480	—
Деформация при R_bt	\(\varepsilon_{bt0}\)	0.00024	—
Предельная деформация растяжения	\(\varepsilon_{bt2}\)	0.00031	—

Какой модуль стоит в формулах (8.42)–(8.47). Пункт 8.1.23 велит получать \(\nu_{bi}\) делением \(\sigma_{bi}/\varepsilon_{bi}\) на модуль упругости бетона \(E_b\), «при двухлинейной диаграмме состояния бетона — на приведённый модуль деформации сжатого бетона \(E_{b,red}\)». Значит, и в произведении \(E_b\cdot\nu_{bi}\) формул (8.42)–(8.47) должен стоять тот же модуль: иначе произведение перестанет быть секущим модулем \(\sigma/\varepsilon\), и уравнения (8.39)–(8.41) разойдутся с уравнениями равновесия (8.26)–(8.28). Здесь принята двухлинейная диаграмма, и всюду идёт \(E_{b,red}=4660.7\) МПа.

Класс	R_s, МПа	R_sc, МПа	E_s, МПа	ε_s0	ε_s2	предел текучести
А500	435	435	200000	0.002175	0.0250	физический

3. Сечение и его разбивка (п. 8.1.21)

Свод требует «условно разделить нормальное сечение на малые участки»: при изгибе и сжатии в плоскости оси симметрии — только по высоте, при косом — по высоте и ширине. Напряжения в пределах участка принимаются равномерными.

Величина	Обозн.	Значение	Ед.
Площадь бетонного сечения	\(A_b\)	180000	мм²
Сумма площадей участков	\(\sum A_{bi}\)	180000	мм²
Расхождение разбивки	—	0.0000 %	—
Высота сечения	—	600	мм
Центр тяжести бетона от начала координат	\(y_c,\ x_c\)	0 / 0	мм
Площадь всей арматуры	\(\sum A_{sj}\)	2324	мм²

№	Z_syj, мм	Z_sxj, мм	Задано	A_sj, мм²	Класс
1	-110	255	2Ø22	760	А500
2	110	255	2Ø22	760	А500
3	-110	-260	площадью	402	А500
4	110	-260	площадью	402	А500

Площади стержней, заданных диаметром, взяты из таблицы 1 ГОСТ 34028-2016: 2Ø22 — 760.2 мм².

Сечение, разбитое на малые участки. Начало координат O и оси X, Y — как на рисунке 8.5 свода. Заливкой показан знак деформации: синим — укорочение, розовым — удлинение.

4. Моменты относительно выбранных осей — (8.33), (8.34)

(8.33)\[M_x=M_{xd}+N\cdot e_x=200\cdot10^6+-500\cdot10^3\cdot0=2\cdot 10^{8}\ \text{Н}\cdot\text{мм}\]

Момент \(M_y\) и жёсткости \(D_{12}, D_{22}, D_{23}\) приняты нулевыми: так прямо предписывают пп. 8.1.27 и 8.1.28 для изгиба и внецентренного сжатия в плоскости оси симметрии.

5. Система уравнений (п. 8.1.23)

Неизвестных три: относительная деформация \(\varepsilon_0\) волокна в начале координат и кривизны \(1/r_x\), \(1/r_y\). Уравнения — (8.39)–(8.41).

(8.48)\[M_x=D_{11}\cdot\frac{1}{r_x}+D_{13}\cdot\varepsilon_0\]

(8.49)\[N=D_{13}\cdot\frac{1}{r_x}+D_{33}\cdot\varepsilon_0\]

Деформации по сечению распределены линейно — уравнения (8.29) и (8.30), гипотеза плоских сечений:

(8.29)\[\varepsilon_{bi}=\varepsilon_0+\frac{1}{r_x}Z_{bxi}\]

(8.30)\[\varepsilon_{sj}=\varepsilon_0+\frac{1}{r_x}Z_{sxj}\]

Напряжения — по диаграммам состояния, уравнения (8.31) и (8.32), а коэффициенты упругости — по (8.35) и (8.36):

(8.31, 8.35)\[\sigma_{bi}=E_{b,red}\cdot\nu_{bi}\cdot\varepsilon_{bi};\qquad \nu_{bi}=\frac{\sigma_{bi}}{E_{b,red}\cdot\varepsilon_{bi}}\]

(8.32, 8.36)\[\sigma_{sj}=E_{sj}\cdot\nu_{sj}\cdot\varepsilon_{sj};\qquad \nu_{sj}=\frac{\sigma_{sj}}{E_{sj}\cdot\varepsilon_{sj}}\]

Почему это не линейная система. Коэффициенты \(D_{ij}\) собраны из \(\nu_{bi}\) и \(\nu_{sj}\), а те сами зависят от деформаций — то есть от решения. Способа решать такую систему свод не даёт; здесь идут последовательные приближения: по текущим деформациям считаются \(\nu\), по ним собираются \(D_{ij}\), из системы находятся новые деформации. Неподвижная точка этих приближений — в точности равновесие: подставив (8.29) в (8.47), получаем \(\sum A_{bi}\,E\,\nu_{bi}\,\varepsilon_{bi}=\sum\sigma_{bi}A_{bi}\), то есть уравнение (8.28). Поэтому сходимость проверяется по невязке самих уравнений равновесия (8.26)–(8.28).

6. Жёсткостные характеристики (8.42)–(8.47)

(8.42)\[D_{11}=\sum_i A_{bi}Z_{bxi}^2 E_{b,red}\nu_{bi}+\sum_j A_{sj}Z_{sxj}^2 E_{sj}\nu_{sj}=4.3565\cdot 10^{13}\ \text{Н}\cdot\text{мм}^2\]

(8.45)\[D_{13}=\sum_i A_{bi}Z_{bxi}E_{b,red}\nu_{bi}+\sum_j A_{sj}Z_{sxj}E_{sj}\nu_{sj}=-2.1524\cdot 10^{10}\ \text{Н}\cdot\text{мм}\]

(8.47)\[D_{33}=\sum_i A_{bi}E_{b,red}\nu_{bi}+\sum_j A_{sj}E_{sj}\nu_{sj}=1.0102\cdot 10^{9}\ \text{Н}\]

7. Решение системы

\[\varepsilon_0=-0.0004014;\qquad \frac{1}{r_x}=4.3925\cdot 10^{-6}\ \text{мм}^{-1}\]

То же радиусами кривизны: \(r_x\) = 227.7 м.

Приближений по \(\nu\): 2. Невязка уравнений равновесия — 1.6e-12 от характерного усилия.

(8.48)\[M_x=4.3565\cdot 10^{13}\cdot4.3925\cdot 10^{-6}+\left(-2.1524\cdot 10^{10}\right)\cdot\left(-4.0137\cdot 10^{-4}\right)=2\cdot 10^{8}\ \text{Н}\cdot\text{мм}\]

(8.49)\[N=\left(-2.1524\cdot 10^{10}\right)\cdot4.3925\cdot 10^{-6}+1.0102\cdot 10^{9}\cdot\left(-4.0137\cdot 10^{-4}\right)=-500000\ \text{Н}\]

8. Проверка равновесия — (8.26)–(8.28)

Численное интегрирование напряжений по сечению обязано вернуть заданные усилия. Это и есть проверка того, что решение найдено верно.

(8.28)\[\sum_i\sigma_{bi}A_{bi}+\sum_j\sigma_{sj}A_{sj}=-500000\ \text{Н}\quad\text{против}\quad N=-500000\ \text{Н}\]

(8.26)\[\sum_i\sigma_{bi}A_{bi}Z_{bxi}+\sum_j\sigma_{sj}A_{sj}Z_{sxj}=2\cdot 10^{8}\quad\text{против}\quad M_x=2\cdot 10^{8}\ \text{Н}\cdot\text{мм}\]

9. Участки бетона и стержни арматуры

Участков 100; в таблице — края сечения, самый сжатый и самый растянутый участок и ровная выборка между ними.

№	A_bi, мм²	Z_bxi, мм	ε_bi	σ_bi, МПа	ν_bi
1	1800	-297	-0.001706	-7.951	1
11	1800	-237	-0.001442	-6.723	1
21	1800	-177	-0.001179	-5.494	1
31	1800	-117	-0.000915	-4.266	1
41	1800	-57	-0.000652	-3.038	1
51	1800	3	-0.000388	-1.809	1
61	1800	63	-0.000125	-0.581	1
71	1800	123	0.000139	0	0
81	1800	183	0.000402	0	0
91	1800	243	0.000666	0	0
100	1800	297	0.000903	0	0

№	A_sj, мм²	Z_sxj, мм	Z_syj, мм	ε_sj	σ_sj, МПа	ν_sj
1	760	255	-110	0.000719	143.7	1
2	760	255	110	0.000719	143.7	1
3	402	-260	-110	-0.001543	-308.7	1
4	402	-260	110	-0.001543	-308.7	1

Эпюра деформаций — уравнение (8.29). Прямая линия: гипотеза плоских сечений.

Эпюра напряжений в бетоне — уравнение (8.31). Именно её численное интегрирование даёт обобщённые внутренние усилия (8.26)–(8.28).

10. Предельные деформации (п. 8.1.30)

\[\varepsilon_1=0.000916;\qquad\varepsilon_2=-0.001719\qquad(|\varepsilon_2|\ge|\varepsilon_1|)\]

Эпюра деформаций двузначная — в сечении есть и укорочение, и удлинение. Тогда свод берёт предельные деформации прямо равными деформационным параметрам диаграмм:

\[\varepsilon_{b,ult}=\varepsilon_{b2}=0.00480;\qquad\varepsilon_{bt,ult}=\varepsilon_{bt2}=0.000310\]

\[\varepsilon_{s,ult}=0.0250\]

Пункт 8.1.30: 0,025 — для арматуры с физическим пределом текучести, 0,015 — с условным. Здесь физический.

11. Проверка прочности (п. 8.1.24)

(8.37)\[\left|\varepsilon_{b,max}\right|=0.00172\ \le\ \varepsilon_{b,ult}=0.00480\]

(8.38)\[\varepsilon_{s,max}=0.000719\ \le\ \varepsilon_{s,ult}=0.0250\]

Прочность обеспечена. Наименьший запас по деформациям — 2.792.

Нейтральная линия проходит на уровне \(X=91.4\) мм от начала координат; сжато 65 % площади бетона.

Чего свод правил не устанавливает

число участков разбивки свод не устанавливает — п. 8.1.21 только требует делить сечение «на малые участки». Здесь их 100; сходимость по числу участков проверяйте сами, увеличив разбивку
способа решения системы (8.39)–(8.41) свод не даёт. Здесь последовательные приближения по коэффициентам ν с уточнением по Ньютону; сходимость проверяется по невязке уравнений равновесия (8.26)–(8.28)