Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Стальной канат пролётом 100 м (пример 11.1)

Гибкая нить — п. 11.1 справочника, формулы (11.1)–(11.30)
Дата формирования: 01.09.2026 12:31

1. Исходные данные

Величина	Обозначение	Значение	Ед.
Пролёт	\(l\)	\(100\)	м
Угол наклона хорды	\(\varphi\)	30.0000	°
Перепад отметок опор	\(h=l\,\mathrm{tg}\,\varphi\)	\(57.735\)	м
Длина хорды	\(d=l/\cos\varphi\)	\(115.4701\)	м
Модуль упругости	\(E\)	\(1.6\cdot 10^{7}\)	кН/м²
Площадь сечения	\(F\)	\(0.0016\)	м²
Жёсткость на растяжение	\(\omega=EF\)	\(25536\)	кН
Стрела провеса при постоянной нагрузке	\(f\)	\(10\)	м

№	Нагрузка	Положение	Вид
1	равномерная 0.500 кН/м	0.000…100.000 м	постоянная
2	равномерная 0.420 кН/м	50.000…100.000 м	временная

Расчётная схема: нить, хорда AB и нагрузка

2. Балочная аналогия

Дифференциальное уравнение линии равновесия нити совпадает по виду с уравнением эпюры моментов балки:

(11.1)\[\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\frac{q}{H}\]

(11.2, 11.3)\[\frac{d^{2}M}{dx^{2}}=-q,\qquad \frac{d^{2}v}{dx^{2}}=-\frac{M}{EI}\]

Поэтому линия равновесия нити под вертикальной нагрузкой совпадает с эпюрой изгибающих моментов шарнирно опёртой балки того же пролёта: ординаты уменьшены в \(H\) раз и отложены от хорды AB:

(11.4)\[y=\frac{M}{H}+x\,\mathrm{tg}\,\varphi\]

(11.5, 11.6)\[\mathrm{tg}\,\theta=\frac{dy}{dx}=\frac{Q}{H}+\mathrm{tg}\,\varphi,\qquad T=\sqrt{H^{2}+\left(Q+H\,\mathrm{tg}\,\varphi\right)^{2}}\]

Эпюры балочной аналогии: изгибающий момент M и поперечная сила Q шарнирно опёртой балки того же пролёта

3. Характеристика нагрузки

(11.10)\[D=\int_0^{l}Mq\,dx=\int_0^{l}Q^{2}dx\]

\[D=42927.083333\ \text{кН}^{2}\cdot\text{м}\]

Схема нагружения есть в табл. 11.1 (строка 3), готовая формула даёт то же:

(табл. 11.1)\[D=\frac{g^{2}l^{3}}{12}\left(1+\gamma+\frac{5}{16}\gamma^{2}\right)=42927.083333\ \text{кН}^{2}\cdot\text{м}\]

Расхождение с прямым интегрированием \(0\) % — формула таблицы подтверждается.

4. Положение равнодействующей

Расстояние по горизонтали от левой опоры до линии действия равнодействующей \(R\) внешней нагрузки:

(11.11)\[\alpha=\frac{a}{l}=\frac{57.39437}{100}=0.57394\]

\[R=71\ \text{кН},\qquad a=57.39437\ \text{м}\]

5. Первоначальная стрела и длина заготовки

Стрела провеса задана при постоянной нагрузке \(g=0.5\) кН/м. Сначала — коэффициенты \(d_1\) и \(d_2\) при \(n=l/f=10.0000\):

(11.22, 11.23)\[d_1=\sqrt{\frac{\sec^{2}\varphi}{4}+\frac{2\,\mathrm{tg}\,\varphi}{n\sqrt3}+\frac{4}{3n^{2}}}=0.64291,\qquad d_2=\sqrt{\frac{\sec^{2}\varphi}{4}-\frac{2\,\mathrm{tg}\,\varphi}{n\sqrt3}+\frac{4}{3n^{2}}}=0.52915\]

(11.21)\[k_0=4\left(d_1^{3}+d_2^{3}\right)=4\left(0.64291^{3}+0.52915^{3}\right)=1.65559\]

Первоначальная стрела — то есть стрела при нагрузке, близкой к нулю, когда удлинением нити можно пренебречь:

(11.26)\[f_0=f\sqrt{1-\frac{3gk_0ln^{3}}{64\omega\cos^{2}\varphi}}=10\sqrt{1-\frac{3\cdot0.5\cdot1.6556\cdot100\cdot1000}{64\cdot25536\cdot0.75000}}=8.92970\ \text{м}\]

\[n_0=\frac{l}{f_0}=11.19859\]

Подставляя \(n_0\) в (11.22) и (11.23), получаем \(d_{01}=0.63521\), \(d_{02}=0.53332\), откуда длина заготовки:

(11.25)\[S_0=\left(d_{01}+d_{02}\right)l=\left(0.63521+0.53332\right)100=116.85373\ \text{м}\]

6. Распор нерастяжимой нити

(11.13)\[m=\frac{S_0}{d}=\frac{S_0}{l}\cos\varphi=\frac{116.85373}{100}\cdot0.86603=1.011983\]

(11.12)\[y_c=\frac{l\left(m^{2}-1\right)}{2\left(m^{2}-\sin^{2}\varphi\right)\cos\varphi}\left[\left(1-2\alpha\right)\sin\varphi+m\sqrt{1+\frac{4\alpha(1-\alpha)\cos^{2}\varphi}{m^{2}-1}}\right]=10.06833\ \text{м}\]

(11.9)\[H_0=\frac{\sqrt{D\,\alpha(1-\alpha)\,l}}{y_c}=\frac{\sqrt{42927.08333\cdot0.57394\cdot0.42606\cdot100}}{10.06833}=101.75979\ \text{кН}\]

В книге формула (11.9) набрана так, что \(y_c\) оказался под корнем. По размерности это неверно (\(D\) имеет размерность кН²·м), в примере 11.1 деление выполнено вне корня, и только в таком виде (11.9) тождественно переходит в (11.14) при α = 0,5. Здесь считается по проверенной форме.

7. Распор упругой нити

Учёт продольных деформаций сводится к решению кубического уравнения. Сначала — коэффициент \(k\):

(11.20)\[\eta_c=\frac{y_c}{l}=0.100683\]

(11.18, 11.19)\[r_1=\sqrt{\alpha^{2}+\left(\eta_c+\alpha\,\mathrm{tg}\,\varphi\right)^{2}}=0.71839,\qquad r_2=\sqrt{(1-\alpha)^{2}+\left[(1-\alpha)\mathrm{tg}\,\varphi-\eta_c\right]^{2}}=0.45015\]

(11.17)\[k=\frac{r_1^{3}}{\alpha^{2}}+\frac{r_2^{3}}{(1-\alpha)^{2}}=\frac{0.71839^{3}}{0.57394^{2}}+\frac{0.45015^{3}}{0.42606^{2}}=1.62798\]

(11.16)\[H^{3}+\frac{D\omega\cos^{2}\varphi}{2lkH_0^{2}}H^{2}=\frac{D\omega\cos^{2}\varphi}{2lk}\]

\[H^{3}+243.84523\,H^{2}=2.525\cdot 10^{6}\]

\[\boxed{H=87.31951\ \text{кН}}\]

8. Линия равновесия и усилия

\(x\), м	\(Q\), кН	\(M\), кН·м	\(M/H\), м	\(y\), м	\(\mathrm{tg}\,\theta\)	\(T\), кН
0.000	30.25	0	\(0\)	\(0\)	0.92378	\(118.8754\)
50.000	5.25	887.5	\(10.1638\)	\(39.0313\)	0.63747	\(103.5527\)
55.707	0	902.48	\(10.3354\)	\(42.4975\)	0.57735	\(100.8279\)
100.000	-40.75	0	\(0\)	\(57.735\)	0.11067	\(87.8527\)

Наибольшая стрела провеса от хорды \(10.3354\) м в сечении 55.707 м.

(11.6)\[T_{\max}=\sqrt{H^{2}+\left(Q+H\,\mathrm{tg}\,\varphi\right)^{2}}=\sqrt{87.3195^{2}+\left(30.25+87.3195\cdot0.57735\right)^{2}}=118.87543\ \text{кН}\]

Величина	У опоры A	У опоры B
\(\mathrm{tg}\,\theta\)	0.92378	0.11067
Угол наклона нити	42°43′52.0″	6°18′55.5″
Продольное усилие \(T\), кН	\(118.8754\)	\(87.8527\)
Вертикальная составляющая \(H\,\mathrm{tg}\,\theta\), кН	\(80.6639\)	\(9.6639\)

Распор \(H\) одинаков во всех сечениях нити. Вертикальная составляющая у опоры A направлена вверх, у опоры B — по знаку: положительная означает, что закрепление удерживает нить сверху вниз (так бывает при круто наклонённой хорде).

Линия равновесия нити: ординаты отложены от хорды и равны балочному моменту, делённому на распор

Эпюра продольного усилия в нити

9. Струна

Если длина заготовки равна длине хорды AB, нить превращается в струну, и решение (11.16) принимает вид:

(11.28)\[H=\cos\varphi\sqrt[3]{\frac{D\omega\cos^{2}\varphi}{2l}}=138.72960\ \text{кН}\]

Это не отдельная ветвь расчёта, а предельный случай: при \(S_0\to d\) ордината \(y_c\to0\), коэффициент \(k\to\sec^{3}\varphi\), член с \(H^{2}\) исчезает — и общий путь даёт в точности (11.28). Программа этим и проверяется.

10. Проверки

Проверяется то, что в ходе расчёта не использовалось.

Проверка	Выражение	Невязка	Ед.
Подстановка H в кубическое уравнение	\(H^{3}+AH^{2}-B\)	\(-4.6566\cdot 10^{-10}\)	кН³
Распор одинаков во всех сечениях	\(M/(y-x\,\mathrm{tg}\,\varphi)-H\)	\(0\)	кН
Равновесие по вертикали	\(H\left(\mathrm{tg}\,\theta_A-\mathrm{tg}\,\theta_B\right)-R\)	\(0\)	кН
Точность формулы (11.25) — она приближённая	\(\left(d_1+d_2\right)l-\int\sqrt{1+y'^{2}}\,dx\)	\(0\)	м

Последняя строка — не ошибка расчёта, а погрешность самой формулы (11.25): книга называет её приближённой и указывает, что при φ = 30° и n = l/f = 10 погрешность составляет всего 0,002 % величины S. Здесь она равна \(0\) % длины нити; чем положе нить, тем формула точнее. Первые три строки — настоящие проверки, и они выполняются с точностью округления.

Сверка с точной постановкой

Всё изложенное выше — замкнутое приближённое решение справочника. Ту же задачу можно поставить точно, и тогда она сводится к одному уравнению совместности по длине: нить под нагрузкой ровно настолько длиннее заготовки, насколько она упруго удлинилась.

\[S(H)=\int_0^{l}\sqrt{1+y'^{2}}\,dx,\qquad \Delta S(H)=\int\frac{T\,ds}{EF}=\frac{H}{EF}\int_0^{l}\left(1+y'^{2}\right)dx\]

\[\boxed{S(H)=S_0+\Delta S(H)}\]

В этом уравнении нет ни характеристики нагрузки \(D\), ни ординаты \(y_c\), ни коэффициента \(k\), ни кубического уравнения (11.16) — это совсем другой путь, поэтому сравнение с ним проверяет решение справочника, а не повторяет его.

Величина	Значение	Ед.
Распор по справочнику, (11.16)	\(87.31951\)	кН
Распор из условия совместности	\(88.19519\)	кН
Расхождение	\(-0.8757\)	кН
То же в долях	\(0.993\)	%
Относительная стрела f/l	\(0.1034\)	—

Расхождение — мера приближённости самого метода справочника: он выведен для пологих нитей и точен в пределе \(f/l\to0\), а погрешность растёт примерно как \((f/l)^{2}\) — около 0,13 % при f/l = 1/20, 0,5 % при 1/10 и 1,7 % при 1/5. Здесь f/l = \(0.1034\), и расхождение \(0.993\) % отвечает этой закономерности. Для проектных расчётов канатов и вант такая точность обычна; если нужен точный ответ для крутой нити, следует брать решение из условия совместности.

Формула (11.7) позволяет найти распор по любой известной промежуточной ординате линии равновесия — на этом и построена вторая проверка:

(11.7)\[H=\frac{M}{y-x\,\mathrm{tg}\,\varphi}\]

Величина	Значение	Ед.
Длина нити под нагрузкой	\(117.37153\)	м
Длина заготовки	\(116.85373\)	м
Удлинение	\(0.5178\)	м
То же по закону Гука, \(T_{ср}S_0/\omega\)	\(0.47031\)	м