Библиотека KaTeX не загрузилась (нет доступа в интернет). Формулы показаны в исходной записи TeX — содержание отчёта от этого не меняется.

Расчёт внецентренно сжатого бетонного элемента по предельным усилиям

СП 63.13330.2018 «Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения», пп. 7.1.7–7.1.11
Раздел 7 — в базовой редакции 2018 года: Изменения № 1 и № 2 его не затрагивают
Дата формирования: 09.10.2026 19:19

1. Исходные данные

Параметр	Обозн.	Значение	Ед.
Сечение	—	прямоугольное 400×600 мм	—
Класс бетона	—	B25	—
Вид бетона	—	тяжёлый	—
Продольная сила	\(N\)	800	кН
Момент из статического расчёта	\(M\)	40	кН·м
Длина элемента	\(l\)	3600	мм
Расчётная длина	\(l_0\)	3600	мм
Конструкция	—	статически неопределимая	—
Доля длительной нагрузки	\(M_{l1}/M_1\)	1	—
Трещины не допускаются	—	нет	—

Что такое бетонная конструкция. Та, чья прочность обеспечена одним только бетоном (раздел 7). Сюда же свод относит конструкции с арматурой, площадь которой меньше минимально допустимой по 10.3: считать её работу нельзя, значит её как бы нет.

2. Характеристики бетона

Сопротивления взяты из расчёта характеристик бетона: таблицы 6.7–6.9 с коэффициентами условий работы по п. 6.1.12. Для бетонных конструкций всегда действует \(\gamma_{b2}\) — у них он ниже, чем у железобетонных (таблица 6.10).

Величина	Обозн.	Значение	Ед.
Сопротивление сжатию	\(R_b\)	11.745	МПа
Сопротивление растяжению	\(R_{bt}\)	0.945	МПа
Начальный модуль упругости	\(E_b\)	30000	МПа

3. Геометрические характеристики сечения

\[A=b\cdot h=400\cdot600=240000\ \text{мм}^2\]

\[I=\frac{b\cdot h^3}{12}=\frac{400\cdot600^3}{12}=7200000000\ \text{мм}^4\]

\[i=\sqrt{\frac{I}{A}}=\sqrt{\frac{7200000000}{240000}}=173.21\ \text{мм}\]

4. Эксцентриситеты (п. 7.1.7)

Случайный эксцентриситет принимают не менее трёх величин: 1/600 длины элемента или расстояния между сечениями, закреплёнными от смещения; 1/30 высоты сечения; 10 мм.

\[e_a=\max\left(\frac{l}{600};\ \frac{h}{30};\ 10\right)=\max\left(\frac{3600}{600};\ \frac{600}{30};\ 10\right)=\max\left(6;\ 20;\ 10\right)=\boxed{20\ \text{мм}}\]

Эксцентриситет из статического расчёта:

\[e_{stat}=\frac{M}{N}=\frac{40\cdot10^6}{800\cdot10^3}=50\ \text{мм}\]

Конструкция статически неопределимая: принимают эксцентриситет из расчёта, но не менее случайного.

\[e_0=\max\left(e_{stat};\ e_a\right)=\max\left(50;\ 20\right)=\boxed{50\ \text{мм}}\]

5. Влияние прогиба (пп. 7.1.8, 7.1.11)

\[\lambda=\frac{l_0}{i}=\frac{3600}{173.21}=20.78\]

Гибкость больше 14 — значение \(e_0\) умножают на коэффициент \(\eta\) (п. 7.1.8). Жёсткость берут как для железобетонного элемента, но без учёта арматуры (п. 7.1.11 со ссылкой на 8.1.15): в \(D=k_b E_b I+k_s E_s I_s\) второе слагаемое равно нулю, потому что арматуры нет.

\[\delta_e=\frac{e_0}{h}=\frac{50}{600}=0.0833\ \Rightarrow\ \text{принято }0.15\quad(0{,}15\le\delta_e\le1{,}5)\]

\[\varphi_l=1+\frac{M_{l1}}{M_1}=1+1=2\quad(\text{но не более }2)\]

\[k_b=\frac{0{,}15}{\varphi_l\left(0{,}3+\delta_e\right)}=\frac{0{,}15}{2\cdot\left(0{,}3+0.15\right)}=0.16667\]

\[D=k_b E_b I=0.16667\cdot30000\cdot7200000000=3.6\cdot 10^{13}\ \text{Н}\cdot\text{мм}^2\]

(7.7)\[N_{cr}=\frac{\pi^2 D}{l_0^2}=\frac{\pi^2\cdot3.6\cdot 10^{13}}{3600^2}=27415.6\ \text{кН}\]

(7.6)\[\eta=\frac{1}{1-\dfrac{N}{N_{cr}}}=\frac{1}{1-\dfrac{800}{27415.6}}=\boxed{1.0301}\]

\[e_0\cdot\eta=50\cdot1.0301=51.5\ \text{мм}\]

6. Условие (7.1) — без учёта растянутой зоны

Расчёт по схеме рисунка 7.1: предельное состояние наступает при разрушении сжатого бетона; сопротивление сжатию условно представляют напряжениями \(R_b\), равномерно распределёнными по условной сжатой зоне, центр тяжести которой совпадает с точкой приложения продольной силы (п. 7.1.3).

(7.2)\[A_b=b\cdot h\left(1-\frac{2e_0\eta}{h}\right)=400\cdot600\left(1-\frac{2\cdot51.5}{600}\right)=198798\ \text{мм}^2\]

Высота условной сжатой зоны \(x=h-2e_0\eta=496.99\) мм: её центр тяжести отстоит от сжатой грани на \(x/2\), и на столько же отстоит точка приложения силы.

(7.1)\[N\le R_b\cdot A_b=11.745\cdot198798=\boxed{2334.9\ \text{кН}}\]

Рисунок 7.1 — схема усилий и эпюра напряжений в сечении, нормальном к продольной оси. Сжатая зона заштрихована; её центр тяжести совпадает с точкой приложения продольной силы.

7. Упрощённое условие (7.3)

Не применяется: оно допускается при \(e_0\le h/30\) и \(l_0\le 20h\), а здесь \(e_0=50\) мм при \(h/30=20\) мм и \(l_0=3600\) мм при \(20h=12000\) мм.

8. Условие (7.5) — с учётом растянутой зоны

Не требуется: трещины по условиям эксплуатации допускаются, а продольная сила приложена в пределах сечения (пп. 7.1.3, 7.1.10).

9. Итог

Условие	Предельная сила, кН
Условие (7.1), без растянутой зоны	2334.9
Принято	2334.9

\[N=800\ \text{кН}\ \le\ N_{ult}=2334.9\ \text{кН}\]

Прочность обеспечена. Отношение предельной силы к действующей — 2.919.